专题02 勾股定理与折叠、最短路径问题（6大题型）（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题02 勾股定理与折叠、最短路径问题 题型1 直角三角形中的折叠问题（难点） 题型4 长方体中的最短路径问题（难点） 题型2 长方形中的折叠问题（难点） 题型5 阶梯中的最短路径问题（重点） 题型3 圆柱中的最短路径问题（重点） 题型6 将军饮马与最短路径问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直角三角形中的折叠问题（共4小题） 1．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据折叠性质，勾股定理，解答即可． 本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， 故选：A． 2．（24-25八年级下·北京朝阳·期末）如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为，点刚好落在边上．图中与线段相等的线段是 ；若，，则的长为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知， 设，则， ∵，， ∴，即， 解得， 故答案为：；3． 3．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边，现将三角形纸片沿直线折叠，使点落在斜边上，与点重合，求的长度 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据折叠得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意可得与关于成轴对称， ，，， 在中，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得，即． 4．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，，，． ①求的长； ②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长． (2)如图2，在中，是边上的高，求的长． 【答案】(1)①10；② (2)12 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）①直接运用勾股定理求解即可；②由折叠的性质以及线段的和差可得，再根据勾股定理列方程求解即可； （2）设，则．由勾股定理可得、，然后列出关于x的方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴． ②由折叠得：， ∴， ∴． 在中，， ∴，解得：， ∴的长为． （2）解：设，则． ∵是边上的高， ∴． 在中，， 在中，， ∴，解得：， ∴． 题型二 长方形中的折叠问题（共5小题） 5．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握矩形的性质和翻折的性质； 设，根据翻折性质和勾股定理可得，即可解得答案， 【详解】∵在矩形纸片中，，， 设，则， 将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处， ∴，，， 在中 ， 即 解得． 故答案为∶． 6．（24-25七年级下·湖北荆门·期末）按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，第一次折叠后得到正方形，第二次折叠，得出，由此可解． 【详解】解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ， 第二次折叠，得出， ， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·重庆万州·期末）如图，在矩形中，，点E为线段的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到，点G在线段上，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，翻折定义．根据题意可得，，得出，因为，所以，连接，设，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，，， 连接，设， 可得方程：， 代入数值可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【答案】 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，关键是根据翻折性质以及勾股定理解答． （1）由折叠的性质可得．设，则．在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； （2）当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得．设．由折叠的性质得，．从而得到．在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． 【详解】解：（1）在长方形中， 为线段的中点， ． 由折叠的性质，得． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得． ． 故答案为： （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，如图． ， 在中，由勾股定理得． 设． 由折叠的性质得，． ． 在中，由勾股定理得， ． 解得 线段的值最小时，的长度为． 故答案为： 9．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键． （1）根据折叠的性质，得到，进而得到，利用勾股定理进行求解即可； （2）根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形纸片中，，折叠纸片使边与对角线重合， ∴， ∴，， ∴； （2）∵折叠， ∴， 设，则：， 在中，， ∴， ∴， ∴． 题型三 圆柱中的最短路径问题（共3小题） 10．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即为所求． 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面圆的直径为， ∴圆柱的底面周长为， ∴． ∵，． ∴， 在中，， 即， ∴蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是． 故选：B． 11．（24-25八年级下·山东济宁·期末）农民麦子大丰收，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型（如图所示）．现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），则装饰带的长度最短为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的展开图求最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．根据圆柱的侧面展开图是长方形，画出圆柱的展开图，由勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，最短路线为的长， 则， ∴． 故选：D． 12．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱的展开图，轴对称，勾股定理，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．利用展开图，轴对称，勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，    根据题意，， ∴ 作点Ａ关于直线的对称点G，连接，则为所求最短距离， 则， 过点作，交的延长线于点E， 则四边形是矩形， 故， 故， 故， ∴蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为． 故选：C 13．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股定理进行求解是解题的关键．将容器侧面展开，作A点关于EF的对称点，根据两点之间线段最短即可知的长度即为最短距离．利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴，，， ∴． 故选：C． 14．（24-25八年级上·四川成都·期末）一个圆柱体礼盒高为，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在处，另一端绕礼盒侧面周后粘贴在处（为的中点），则彩带最短为 ． 【答案】30 【分析】将圆柱展开后，可得绕礼盒侧面2周后彩带最短为2AB，据此分析解答．本题考查了平面展开 - 最短路线问题，关键是能理解题意知道求出哪一条线段长． 【详解】解：展开后图形是： ∵底面周长为12cm，高18cm， ∴， ∴绕礼盒侧面2周后彩带最短为（）， 故答案为：30． 题型四 长方体中的最短路径问题（共3小题） 15．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，已知长方体的长为、宽为、高为，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从点爬到点，最短的路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况： （1）沿，，，剪开，得图 ； （2）沿，，，，，剪开，得图 ； （3）沿，，，，，剪开，得图 ； 综上所述，最短路径应为（1）所示，所以，即． 故选：B． 16．（25-26八年级上·全国·期末）如图是一个长、宽、高的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点P关于的对称点A，则，由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，故展开图中，，连接，交于点E，此时最短，解答即可． 本题考查了长方体的展开图，勾股定理，轴对称，熟练掌握定理和展开图是解题的关键． 【详解】解：作点P关于的对称点A，则， 由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖， 故展开图中，， 连接，交于点E，此时最短， 且 故选：D    ． 17．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则一只蚂蚁从顶点出发，经过长方体的前面和右面到顶点的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开—最短路线问题，勾股定理应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离． 【详解】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线． （1）展开前面上面，由勾股定理得； （2）展开前面右面，由勾股定理得； （3）展开前面左面和上面，由勾股定理得； 最短路径的长为 故答案为：． 题型五 阶梯中的最短路径问题（共3小题） 18．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为4米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 米． 【答案】17 【分析】本题考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，将木块表面展开，根据两点之间线段最短结合勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理得应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米，米， 在中，（米． 最短路径为17米． 故答案为：17． 19．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 m的路程． 【答案】 【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，勾股定理. 将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，长度变为半圆周长，连接， ∴，则， 在长方形中，，， 由勾股定理，得， ∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故答案为：． 20．（24-25七年级下·广西玉林·期末）2025年中国轮滑（滑板）公开赛于5月2日在江西崇义站举行，标志着我国乡村体育发展的新突破．如图是一名滑板选手训练的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，该选手从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米． 【答案】50 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题、勾股定理，要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，由与型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于，进而求解即可． 【详解】解：如图是其侧面展开图，则的长为滑行最短距离， （米），（米），（米）， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为50（米）． 故答案为：50． 题型六 将军饮马与最短路径问题（共2小题） 21．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． 例题：求代数式的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长为15，进而解决问题． 类比如上方法，求的最小值为 ． 【答案】10 【分析】借鉴已知解题方法，构造，和，令，，，，则长即为的最小值． 本题考查矩形的性质，线段的最值和勾股定理，利用类比思想，借鉴题目的求解方法是解题的关键． 【详解】解：如图构造图形，中，，，， 则， 延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，， 则， 由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长， 过点E作的垂线，垂足为点F， 根据勾股定理得， ∴的最小值为10． 故答案为：10． 22．（25-26八年级上·河南新乡·期末）某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 【答案】（1）PA ， PD；（2）（3）7 【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题： （1）利用勾股定理，即可得出结果； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长， 利用勾股定理求出的长即可； （3）构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长，利用（1）的方法进行求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：； 故答案为：；； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）如图，构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为7， ∴的最小值为7． 23．（23-24八年级下·山东德州·期末）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【思想应用】 （1）已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小军想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含a的代数式表示________，用含b的代数式表示________． ②据此写出的最小值：________． 【类比应用】 （2）根据上述方法，求代数式的最小值． 【答案】（1）①，；②；（2） 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，求解特定的代数式的最小值，矩形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）①直接利用勾股定理列式表示即可；②由，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交CA的延长线于H，，，证明四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可； （2）如图，设，，，，则，表示，，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交CA的延长线于H，，，证明四边形为矩形，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：①在中， ， ， 在中， ， ， ②，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交CA的延长线于H，，，如图， ∴四边形ABDH为矩形， ∴， 在中， ， ， ∴的最小值为， 即的最小值为． 故答案为：①，；② （2）如图，设，，，，则， 在中，， 在中，， ， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交CA的延长线于H，， 如图， ∴四边形ABDH为矩形， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 即的最小值为． $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02勾股定理与折叠、】 最短路径问题 题型归纳·内容导航 题型1直角三角形中的折叠问题（难点） 题型4长方体中的最短路径问题（难点） 题型2长方形中的折叠问题（难点） 题型5阶梯中的最短路径问题（重点） 题型3圆柱中的最短路径问题（重点) 题型6将军饮马与最短路径问题（难点） 题型通关·靶向提分 题型一直角三角形中的折叠问题（共4小题） 1.(24-25八年级上江苏期末)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=8,将ABC折叠，使点B 恰好落在边AC上，与点B重合，AE为折痕，则EB的长为() B A.3 B.2.5 C.1.5 D.1 2.(24-25八年级下·北京朝阳期末)如图，在ABC中，∠C=90°，点D,E分别在边BC,AB上，连 接DE,将BDE沿DE折叠，点B的对应点为F,点F刚好落在AC边上.图中与线段BD相等的线段 是 ;若BC=5,CF=√5，则BD的长为 D B 3.(24-25八年级下·安徽安庆期末)如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6cm,BC=8cm, 现将三角形纸片沿直线AD折叠，使点B落在斜边AC上，与点E重合，求DE的长度 1/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26八年级上·山西运城期中)综合与实践 图1 图2 (1)如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8,BC=6. ①求AC的长； ②E是BC上一点，将△ABE沿着AE对折，点B恰好落在AC上的点D处，求CE的长. (2)如图2，在ABC中，AC=13,AB=15,BC=4,AD是边BC上的高，求AD的长， 题型二长方形中的折叠问题（共5小题） 5.(24-25八年级上四川成都期末)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=8,将矩形纸片折叠，使 点B与点D重合，点A折叠至点E处，则GD的长为一· 6. (24-25七年级下，湖北荆门期末)按国际标准，A系列纸为长方形.将A4纸按如图所示的方式进行两 次折叠，第一次折叠折痕为AE,点B落在线段AD上的点B处，第二次折叠折痕为AF,点E与点D恰好 重合.则A AB B'D B'D(E) C 7.(23-24八年级下·重庆万州期末)如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=12,点E为线段AB的中点， 连接CE,点F在边AD上，连接CF,将CDF沿CF翻折得到△CGF,点G在线段CE上，则AF的长为 2/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 8.(24-25八年级上河南郑州期末)如图，长方形ABCD中，AD=3,CD=4,点M,N分别在边AB,CD上， 沿着MN折叠长方形ABCD,使点B,C分别落在G,F处. B(M) 图1 图2 (1)如图1，当F落在线段AD的中点位置时，则CN=一； (2)如图2，若点M与点B重合，连接DF,当线段DF+BF的值最小时，CN的长度为_ 9.(23-24八年级上四川成都期末)如图，长方形纸片ABCD中，已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角 线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE,且BE=3. D F B (I)求CF的长； (2)求AB的长. 题型三圆柱中的最短路径问题（共3小题） 10.(24-25七年级下·陕西西安·期末)如图，已知圆柱的底面圆的直径AB为4cm,圆柱的高为10cm,在 圆柱表面的高BC上有一点D,且CD=2cm.一只妈蚊从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短 路程是()（取3） 3/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A B A.12cm B.10cm C.8cm D.6cm 11.(24-25八年级下山东济宁.期末)农民麦子大丰收，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为15cm, 高为10©m的圆柱粮仓模型（如图所示）.现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面 均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C,B为AC的中点），则装饰带的长度最短为() 丰 A.10v5cm B.5v10cm C.20√5cm D.10v10cm 12.(24-25八年级下·安微安庆期末)如图，圆柱形玻璃杯高为7cm,底面周长为16cm.在杯内离杯底 2cm的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与峰蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂 蜜C点的最短距离为() 蚂蚁A C蜂蜜 A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm 13.(24-25八年级下湖北十堰·期末)如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为7cm,底面 周长为30cm,在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上 沿3cm的点A处，则该妈蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是() 4/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.5V10+3cmB.2241cm C.17cm D.√241cm 14.(24-25八年级上·四川成都期末)一个圆柱体礼盒高为18cm,底面周长为12cm.现准备在礼盒表面 粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在A处，另一端绕礼盒侧面2周后粘贴在C处(B为AC的中点)，则彩 带最短为 cm. 题型四长方体中的最短路径问题（共3小题） 15.(24-25八年级下湖北恩施期末)如图，己知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm,一只蚂蚁如 果沿长方体的表面从A点爬到B点，最短的路程是() D' B D B A.(1+25)cm B.5cm c.√29cm D.√37cm 16.(25-26八年级上全国·期末)如图是一个长40cm、宽20cm、高60cm的长方体玻璃水槽，用一个玻 璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有 一滴糖，外侧P处的小妈蚁想去吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径长为() A.20v2cm B.30√2cm C.2010cm D.3010cm 17.(2425八年级下.甘肃陇南期末)如图，长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则一只蚂蚁从顶点A出 发，经过长方体的前面和右面到顶点B的最短路程为 5/8 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 题型五阶梯中的最短路径问题（共3小题） 18.(24-25八年级下·内蒙古通辽·期末)如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块.己 知AD=8米，AB=7米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为4米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过 木块到达C处需要走的最短路程是 米 19.(24-25八年级下·山东临沂·期末)如图所示，地面上铺了一块长方形地毯ABCD,因使用时间而变形， 中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为m,己知AE+BF=7m,BC=Im,一只蚂蚁从A点 爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 m的路程. 20.(24-25七年级下·广西玉林·期末)2025年中国轮滑（滑板）公开赛于5月2日在江西崇义站举行，标 志着我国乡村体育发展的新突破.如图是一名滑板选手训练的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方 体去掉一个“半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是直径为80米的半圆，其边缘AB=CD=40米，点E T 在CD上，CE=10米，该选手从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米。 80 题型六将军饮马与最短路径问题（共2小题）】 21.(24-25八年级下·黑龙江哈尔滨期末)阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想， 6/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用. 例题：求代数式V2+49+V9-x)2+25的最小值. 解决问题时，我们可以如图构造图形，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=7,BC=x(x<9),则AC=√x+49, 延长BC至点D,使BD=9,过点D作BD的垂线，在BD下方的垂线上截取DE=5,连接AE,CE,则 CE=V9-x)+25，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段AE的长，最后过点E作AB的垂线，垂足 为点F,利用勾股定理即可求出AE的长为15，进而解决问题. 类比如上方法，求V2+4+8-x)2+16的最小值为一 √x2+49 C9-xD V(9-x)2+25 F 22. (25-26八年级上河南新乡·期末)某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索 与分析 【提出问题】已知0<x<1,求+x2+1+1-x)2的最小值. 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为V+x2和1+(1-x)2的线 段，将代数求和转化为线段求和问题， 【解决问题】(I)如图，我们可以构造出边长为1的正方形ABCD,P为BC边上的动点，设BP=x,则 CP=1-x,则V1+x2+1+(1-x)2= D B 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)在(1)的条件下，已知0<x<1,请结合图形求V1+x+V1+1-x)2的最小值； 【应用拓展】(3)直接写出9+x+9+(3-x的最小值为 23.(23-24八年级下山东德州期末)数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一 定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来， 通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。 【思想应用】 (1)已知a,b均为正实数，且a+b=2,求Va2+1+√b2+4的最小值.通过分析，小军想到了构造图形 解决此问题：如图，AB=2,AC=1,BD=2,CA⊥AB,DB⊥AB,点E是线段AB上的动点，且不与端 点重合，连接CE,DE,设AE=a,BE=b. ①用含a的代数式表示CE= ,用含b的代数式表示DE= ②据此写出a2+1+√b2+4的最小值： 【类比应用】 (2)根据上述方法，求代数式Vx2+16+√(5-x)2+36的最小值 8/8