第1章 勾股定理 综合测试-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（北师大版2024）

参考答案及解析 第一章综合测试 1.A 2.C 3.B 4.B 5.C [解析]如答图，连接BD. SC D S? S? AS? B 5题答图 根据勾股定理，得AD2+AB2=BD2,BC2+CD2=BD2,即S?+ S?=S?+S?,所以S?=100-36=64.故选C. 6.C 7.D [解析]如答图，延长AB,DC交于点F,则△BFC为直角 三角形.由勾股定理，得 BC2=BF2+FC2=(15-3)2+(20- 4)2=122+162=400,所以BC=20 cm,则剪去的直角三角形 的斜边长为20cm.故选D. A- E B F C D 7题答图 8.A [解析]因为AC2+BC2=92+122=225=152=AB2,所以 △ABC是直角三角形，且∠C=90°.根据等面积法得，点C到 AB的距离=ACBBC=9×52=3(cm).故选A. 9.A [解析]如答图，连接AB.在Rt△ABC中，因为AC=120 cm, BC=90cm,所以AB2=1202+902=1502,所以EM=150 cm, 所以h=EF-EM=320-150=170(cm).故选A. En M 120 A C 8 F B 9题答图① 9题答图② 10.B 11.100 12.4 13.13 14.19 [解析]因为在Rt△AEB中，∠AEB=90°,AE=3,BE= 4,所以由勾股定理，得AB2=AE2+BE2=25,所以AB=5,所 以正方形的面积是5×5=25.因为△AEB的面积是2AE BE=2×3×4=6,所以阴影部分的面积是25-6=19. 15.2 [解析]设BD=x(0<x<5),则AD=5-x.因为CD⊥AB 于点D,所以△ACD和△BCD都是直角三角形.根据勾股定 理，得 CD2=AC2-AD2,CD2=BC2-BD2,所以AC2-AD2= BC2-BD2,即62-(5-x)2=42-x2,解得x=0.5.又因为 CE为AB边的中线，所以AE=BE= —AB=2×5=2.5,所 以DE=BE-BD=2.5-0.5=2. 16.解：(1)如答图，连接AC. D C A 口B 16题答图 因为AB=20,BC=15,∠B=90°, 所以由勾股定理，得AC2=202+152=625. 又因为CD=7,AD=24, 所以CD2+AD2=625, 所以AC2=CD2+AD2,所以∠D=90°, 所以∠BAD+∠BCD=360°-∠D-∠B=180°. (2)5amuco=-AD·DC+—AB·BC=—×24×7+÷× 20×15=234. 17.解：设CD的长为x cm,DE=CD=x cm, 所以BE=10-6=4(cm),BD=(8-x)cm, 所以BD2=DE2+BE2,(8-x)2=x2+16, 解得x=3,所以CD的长为3cm. 18.解：因为AD⊥BC,AD=4m,BD=3m, 所以在Rt△ABD中， AB2=AD2+BD2=42+32=25, 所以AB=5m. 因为BC=10.5m, 所以CD=10.5-3=7.5(m). 在Rt△ACD中， AC2=AD2+CD2=42+7.52=72.25(m2), 所以AC=8.5m. 故两条钢丝线的长度各为5m,8.5m. 19.解：从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增2,故第5 组第一个数是11,又发现第二、第三个数相差为1,故设第二 个数为x,则第三个数为x+1.根据勾股定理，得112+x2= (x+1)2,解得x=60,则第⑤组勾股数是11,60,61. 20.解：a2+c2=b2+d2.理由如下： 因为AC⊥BD, 所以∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°, 所以a2=OA2+OB2,b2=OB2+0C2, c2=0C2+OD2,d2=OD2+OA2, 所以a2+c2=OA2+OB2+0C2+OD2, b2+d2=OB2+OC2+OD2+OA2, 所以a2+c2=b2+d. 21.解：(1)因为Sam=-×5×2=5, Sam=-×5×3=7.5, 所以S四边形ABCD=S△ADc+S△ABc=5+7.5=12.5. (2)AD⊥CD.理由： 由勾股定理，得AD2=12+22=5,CD2=42+22=20, 所以AD2+CD2=5+20=25=AC2, 所以△ACD为直角三角形，且∠ADC=90°, 所以AD⊥CD. 22.解：(1)在直角三角形ABD中，根据勾股定理， 得BD2=AB2-AD2=1502-902=14400,所以BD=120km, 所以120÷20=6(h). 答：台风中心经过6h从点B移动到点D. (2)撤离的时间=30÷6=5(h). 又因为台风中心到点D的时间是6h, 所以游人必须在接到台风警报后的1h内撤离，撤离的方向 是DA方向. 23.解：(1)由题图②,得-2ab×4+2=(a+b)(a+b), 整理，得2ab+c2=a2+b2+2ab,即a2+b2=c2. (2)因为a=3,b=4, 所以c2=a2+b2=32+42=25,所以c=5, 所以梯形 ABCD的周长为 a+c+3a+c=4a+2c=4×3+2×5=22. (3)如答图，BD是△ABC的高. C. D A B 23题答图 因为AC2=42+32=25,所以AC=5. 因为SAnc=—AC·BD=—AB×3, 所以BD=3AC=3×3=5 第二章综合测试 1.B 2.D 3.B 4.C [解析]因为√a+2·√a-3=√(a+2)(a-3),所以 a+2≥0,a-3≥0,所以a≥3.故选C. 5.A 6.B 7.B 8.A 9.D [解析]因为√x-3≥0,√3-x≥0,所以x-3≥0,3-x ≥0,所以x=3,所以y=√x-3+√3-x+2=2,所以x3=32 =9.故选D. 10.C [解析]121第1次[121]=11第2次[]=3 第3大[3]=1,,所以对121只需进行3次操作后变为1. 11.√26(答案不唯一)12.2√13 13.5或1 14.1-π或1+π 15.2 16.解：(1)原式=4-4-0.8+π-3.2=-4+π. (2)原式=-2+2√3-3√3+18-16=-√3. 17.解：(1)x=5或x=-5 (2)x=- 18.解：(1)一 乘除混合运算时，未按照从左到右的顺序依次 计算 (2)正确的计算过程： 原式=2√3×2×√2-3√3=√3-3√3=-2√3. 19.解：因为a△b=ab-a+b+1, 所以(-3)△√2=(-3)×√2-(-3)+√2+1=4-2√2, √2△(-3)=√2×(-3)-√2+(-3)+1=-4√2-2. 因为4-2√2>-4√2-2, 所以(-3)△√2>√2△(-3). 20.解：(1)因为a2=4,所以a=±2. 因为√b=4,所以b=16. 因为c3=8,所以c=2. 因为3d=8,所以d=512. (2)当a=2时，√品+a=√16×2+2=6, 当a=-2时，√+a=√16×2-2=2 综上√+a的值为6或2. 21.解：(1)4-√5 (2)由题意得，点A表示的数为-1,点B表示的数为-√5, 点C表示的数为4,点D表示的数为√5, 所以a=1-1-(-√5)I=√5-1,b=14-√51=4-√5, 所以a+b=√5-1+4-√5=3. 22.解：(1)1 √2-1 3 √11-3 [解析]因为1<√2<2,所 以√2的整数部分为1,小数部分为√2-1,即[√2]=1,<√2〉 =√2-1.因为3<√11<4,所以√11的整数部分为3,小数 —19— 八年级数学·上册·北师版 考号 装⋯ 班级 订 姓名 线 -内 不要答⋯题⋯⋯ 第一章综合测试 满分：120分 题 号 一 二 三 总 分 得 分 第一部分 选择题(共30分) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) ①若3,4,a为勾股数，则a的相反数的值为 ( ) A.-5 B.5 C.-5或-7 D.5或7 ②在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,∠A+∠C=90°,则 下列等式成立的是 ( ) A.a2+b2=c2 B.b2+c2=a2 C.a2+c2=b2 D.以上都不对 3定义：如果一个正整数m能表示为两个正整数a,b的平方和，即m= a2+b2,那么称m为广义勾股数.给出下面四个结论：①7不是广义 勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数. 正确的是 ( ) A.②③ B.①② C.①③ D.①②③ ④ 将直角三角形的三边长同时扩大2倍，得到的三角形是 ( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 5(河南洛阳期末)如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°,分 别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，它们的面积分别是S?, S?,S?,S4·若S?+S?=100,S?=36,则S?的值是 ( ) A.8 B.50 C.64 D.136 SC A- E D B S? S? 25m A S? B 7m{ CD 5题图 6题图 7题图 6 如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长25cm,高7m的台阶上铺 设红地毯.已知台阶的宽为3m,则共需购买红地毯( ) A.21m2 B.75m2 C.93m2 D.96m2 7如图，小明将一张长为20cm、宽为15cm的长方形纸(AE>DE)剪去 了一角，量得AB=3cm,CD=4cm,则剪去的直角三角形的斜边长为 ( ) A.5cm B.12cm C.16cm D.20 cm 8小明用火柴棒做成一个三角形木架ABC,经测量，AC=9cm,BC= 12cm,AB=15 cm,则点C到AB的距离是 ( ) A.5cm B25 cm c2cm D2cm 9 将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为 320 cm,在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①.彩旗完全展平时的 尺寸(单位：cm)如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最 小高度h是 ( ) A.170cm B.160 cm C.230 cm D.200 cm D G F 120 H B E C 9题图① 9题图② 10题图 10 如图，正方形ABCD的边长为18,将正方形折叠，使顶点D落在边BC 上的点E处，折痕为GH.若BE:EC=2:1,则线段CH的长是( ) A.6 B.8 C.10 D.12 第二部分 非选择题(共90分) 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11((河南驻马店期中)如图所示的是一个长80 cm、宽60cm的长方形木 框，需在对角的顶点间钉一根木条用来加固，则木条的长至少为____ cm. D B C 11题图 13题图 12在Rt△ABC中，∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，若a2+b2=16,则 C=_____. 13如图，在△ABC中，AB⊥AC,AB=5,AD=6,BD是边AC上的中线，则 BC的长为_____ 14(广东茂名期中)如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°,AE =3,BE=4,则阴影部分的面积是______ A D C E Bl c A E D B 14题图 15题图 15如图，在△ABC中，CE是AB边的中线，CD⊥AB于点D,若AB=5, BC=4,AC=6,则DE的长是______ 三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或 推理过程) 16(10分)如图，在四边形ABCD中，AB=20,BC=15,CD=7,AD=24, ∠B=90°.求： (1)∠A+∠C的度数； (2)四边形ABCD的面积. D C A2 □B 16题图 17(8分)如图，有一个直角三角形纸片，两直角边为AC=6cm,BC= 8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边 AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗? C D B E A 17题图 —1— 18(8分)如图，从塔吊的顶部A处向其横臂上B,C两处扯两条钢丝线， 若AD长为4m,BD长为3m,BC长为10.5m,则两条钢丝线的长度 各为多少? A B D C 18题图 19(8分)观察以下几组勾股数，并寻找规律： ①3,4,5; ②5,12,13; ③7,24,25; ④9,40,41;⋯ 请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：____,并说明理由. 20(8分)如图，AC⊥BD,垂足为0,连接AB,BC,CD,DA,设AB=a, BC=b,CD=c,AD=d,猜想a2,b2,c2,da2之间的关系，用等式表示出 来，并说明理由. A B 0 D ? 20题图 21(8分)如图，每个小方格的边长都为1. (1)求图中格点四边形ABCD的面积； (2)请探究AD与CD的位置关系，并说明理由. D A C B 21题图 22(12分)如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向150 km 的B处有一台风中心正以20 km/h的速度沿BC方向移动，已知城市 A到BC的距离AD=90 km,那么: (1)台风中心经过多长时间从点B移动到点D? (2)如果在距台风中心30 km的圆形区域内都有受到台风破坏的危 险，为让点D的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的多 长时间内撤离(撤离速度为6km/h)?选择什么方向(选“DA方 向”“DC方向”或“DB方向”)? 北 A C 东 D B 22题图 —2— 23(13分)新考法 探索乘法公式时，可以由图形面积的不同表示方法 来验证乘法公式.我国著名的数学家赵爽，就把一个长方形分成四个 全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方 形(如图①),这个图形被称为“赵爽弦图”,验证了一个非常重要的 结论：在直角三角形中，两直角边a,b与斜边c满足a2+b2=c2,此关 系式被称为勾股定理. (1)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的 正方形(如图②),也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证 过程； (2)小明又把这四个全等的直角三角形拼成了一个梯形(如图③), 利用上面探究所得的结论，求当a=3,b=4时，梯形ABCD的 周长； 4 (3)如图④,在每个小正方形的边长都为1的方格纸中，△ABC的顶 点都在方格纸的格点上.请在图中画出△ABC的高BD,利用上面 的结论，求高BD的长. c DC c、 bc c b c b C c a a a C a b A E FaB A; B 23题图① 23题图② 23题图③ 23题图④ 同步练测·八年级数学·上册·北师版 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 色 检 测 第一章 综合测试答题卡 姓 名 准考证号 贴条形码区 缺考 缺考考生由监考员粘贴条形码， 标记 并用2B铅笔涂黑缺考标记。 □ 一、答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指 定的位置上，并核准条形码上的信息是否与本人相符，完全 正确后，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。 填涂样例 正确填涂 注意事项 二、选择题必须在答题卡上用2B铅笔涂黑，非选择题必须用 0.5mm黑色水签字笔答题，字迹要工整、清楚。 三、考生必须在答题卡上每题指定的答题区域内答题。在其他 题号的答题空间答题无效。答案不能超出黑色边框，超出 黑色边框的答案无效。写在试题卷上的答案无效。 四、要保持答题卡整洁，不准折叠，不准弄破。 五、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交给监考员。考生不准 将试题卷或答题卡带出考场，否则，将按有关规定处理。 第一部分 选择题(共30分) 一、选择题(用2B铅笔填涂) 1 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 9 [A][B][C][D] 6 [A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 第二部分 非选择题(共90分) 二、填空题 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题 16. D 16题图 C □B C317. 17题图 D B E A A18. B 18题图 C D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19. 20. A B 0 D ? 20题图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21. D A B 21题图 A22. 22题图 北 C →东 B 23. b c b c C 23题图① b @ b 23题图② DC b A FaB 色 23题图③ B 23题图④ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效