第1章 勾股定理 易错疑难集训一&本章考点检测训练-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（北师大版2024）

同步练测·八年级数学·上册·北师版 [答案 P4]易错疑难集训一 易错疑难点①没有明确斜边与直角边导致漏解 1在直角三角形中，有两边的长分别为6和8,那 么第三边的长的平方为____. 2 已知一个直角三角形的三边长分别为a,b,c,若 a2=25,b2=144,则c2=_____ 3在△ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12.求 △ABC的周长. 易错疑难点②由于图形形状或位置不定导致漏解 ④(通辽中考)在Rt△ABC中，∠C=90°,有一个锐 角为60°,AB=6,若点P在直线AB上(不与点 A,B重合),且∠PCB= 30°,则AP的长为____. 5 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=30 cm, BC=40 cm,动点P从点B出发沿射线 BA 以 2cm/s的速度运动.设运动时间为t s,则当t为 多少时，△BPC为直角三角形? A P B C 5题图 12 见此图标眼抖音/微信扫码领取配套资源 稳步提升成绩成绩 易错疑难点③)判断三角形的形状时易受思维定 式的影响而出错 6判断以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角 形，其中a=4,b=1,c=2 易错疑难点④错 求解立体图形中的最短路程问题 时遗漏展开方式 7如图，在长方体上有一只蚂蚁从顶点A出发，要 沿长方体表面爬行到顶点B去找食物，长方体 的长、宽、高分别为4,1,2.如果蚂蚁走的是最短 路线，你能画出蚂蚁走的路线吗? B 1 2 A 4 7题图 第一章 勾股定理 本章考点检测训练 [答案 P5] 考点①勾股定理的简单应用 1在△ABC中，若∠A=25°,∠B=65°,则下列式列式 子成立的是 ( ) ) A.AC2+AB2=BC2 B.AB2+BC2=AC2 C.AC2+BC2=2AB2 D.AC2+BC2=AB2 ②(山西运城期末)如图是由两个直角三角形和三和三 个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是是 ( ) ) 13 h 12 2题图 A.16 B.25 C.144 D.169 3(吉林中考)图①中有一首古算诗，根据诗中的中的 描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其，其 示意图如图②,其中AB=AB',AB⊥B'C于点C, BC=0.5尺，B'C=2尺.设AC的长度为x尺，可，可 列方程为 B B' 诗文：波平如镜一湖面，半尺 CF 高处生红莲。亭亭多姿湖中立， 突遭狂风吹一边。离开原处二 尺远，花贴湖面象睡莲。 A 3题图① 3题图② 4 如图，直线l?//L?//l?,正方形 A 4 ABCD的三个顶点A,B,C分别 B 4 在直线l?,l?,l?上，点A到直线 >DD l?的距离是3,点C到直线l? C 43 的距离是6,则正方形ABCD的 4题图 面积为______. 5 如图，在△ABC中，∠C=90°,M是BC的中点，点， MD⊥AB于点D,试说明：AD2=AC2+BD2. A DD C M B 5题图 考点②勾股定理的验证 6 我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四 幅图中，不能证明勾股定理的是 ( ) c b a a b a a C c b c b c b ca b a C a C a b A B b a a a b c C ba b a b b a C D 7新考向如图，意大利著名画家达·芬奇用一张 纸片剪拼出不一样的空洞，利用两个空洞的面 积是相等的验证了勾股定理.已知两个空洞中 所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正 方形，若设左边图中空白部分的面积为S?,右边 图中空白部分的面积为S?,则下列等式不正确 的是 ( ) b b 剪开 右边部分 c 上下翻转 c aY aY 7题图 A.S?=a2+b2+2ab B.S?=c2+ab C.S?=a2+b2+ab D.a2+b2=c2 考点③直角三角形的判别 8(辽宁沈阳期末)下列条件中，不能判定△ABC 是直角三角形的是 ( ) A.∠A=∠B+∠C B.a:b:c=5:12:13 C.a2=(b+c)(b-c) D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 9已知a,b,c是△ABC的三边长，若(c-7)2+ Ib-241+(a-25)2=0,则△ABC的形状是—_____. 见此见此图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源稳步提升成绩 13 同步练测·八年级数学·上册·北师版 考点④勾股定理的应用 10某滑雪场U型池的示意图如图所示，该U型池 可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”形成 的，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半 圆，其边缘AB=CD=16,点E在CD上，CE=4. 一名滑雪爱好者从点A滑到点E时，他滑行的 最短路程约为____.(π取3) 勾(a) 弦(c) A D 股(b) B( CrE 10题图 11题图 11(扬州中考)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理 时创制了一幅“勾股圆方图”,后人称之为“赵爽 弦图”,它是由4个全等的直角三角形和一个小 正方形组成.如图，直角三角形的直角边长为a, b,斜边长为c,若b-a=4,c=20,则每个直角三 角形的面积为_____. 12[传统文化]《九章算术》是古代东方数学代表 作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn,这里是门 槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何?题目 大意是：如图，推开双门，双门间隙CD的距离为 2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺= 10寸),则AB的长是___寸. 2寸 6 DIC 1尺 A 0 B 门槛 12题图 13(辽宁沈阳期末)如图，在一条东西走向的河的 一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其 中AB=AC,由于某种原因，由村庄C到取水点A 的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决 定在河边新建一个取水点H(点A,H,B在一条 直线上),并新修一条路CH,测得CB=3 km, CH=2.4 km,BH=1.8km. (1)CH是否为从村庄C到河边的最近路(即CH 与AB是否垂直)?请通过计算说明理由； (2)求原来的路线AC的长. C A/ H B 13题图 14(黄石中考)八年级(11)班的松松同学在学习了 “勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度 CE,得到如下数据： ①测得BD的长度为8m;(注：BD⊥CE) ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC的 长为17m; ③牵线放风筝的松松身高为1.6m. (1)求风筝的高度CE; (2)若松松同学想让风筝沿CD方向下降9m, 则他应该往回收线多少米? ℃ B D 14题图 见此图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源 稳步提升成绩 同步练测·八年级数学·上册·北师版 4.C 5.1 6.27.5-或15 8.解：(1)由折叠的性质，得B'F=BF,∠B'FE=∠BFE. 在长方形纸片ABCD中，AD//BC, 所以∠B'EF=∠BFE, 所以∠B'FE=∠B'EF,易得B'F=B'E, 所以B'E=BF. (2)a,b,c之间的关系是a2+b2=c2.理由如下： 由(1)知 B'E=BF=c. 由折叠的性质，得∠A'=∠A=90°, A'E=AE=a,A'B'=AB=b. 在△A'B'E中，∠A'=90°, 所以A'E2+A'B12=B'E2,所以a2+b2=c2. ☆问题解决策略：反思 1.B 2.C 3.C 4.15 5.128 6.26 7.解：根据题意，最短路径有以下三种情况： ①如答图①,展开前面、右面： AB'2=(AC+CB)2+BB12=(3+2)2+52=25+25=50; ②如答图②,展开前面、上面： AB'2=AC2+(CC′+C'B')2=32+(5+2)2=9+49=58; ③如答图③,展开左面、上面： AB12=AD2+(DD'+D'B')2=22+(5+3)2=4+64=68. 因为50<58<68, 所以最短路径如答图①所示. A' C′ B' 5 A 3 C2B D'_ B' A'- 2. 5 A2 3 C B' C' 3 D' A' 5 D- 2A 7题答图① 7题答图② 7题答图③ 专题2 勾股定理中的数学思想方法 1.10或13 [解析]分两种情况：①如答图①,当点P是靠近 点B的三等分点时，因为AC=BC=3,所以PB=3BC=1, 所以CP=2,所以AP2=AC2+PC2=13;②如答图②,当点 P是靠近点C的三等分点时，因为AC=BC=3,所以PC= BC=1,,所以AP2=AC2+PC2=10.综上所述，AP2的值 为10或13. C P A4 B C P A B 1题答图① 1题答图② 2.解：分两种情况： ①当高CD在△ABC内部时，如答图①. 因为CD⊥AB,所以∠CDA=90°. 因为CD=4,AD=3, 所以AC2=AD2+CD2=32+42=52, 所以AC=5. 因为AB=2AC,所以AB=10, 所以BD=AB-AD=10-3=7, 所以BC2=BD2+CD2=72+42=65; ②当高CD在△ABC外部时，如答图②. 同理可得AC=5,AB=10, 所以BD=AB+AD=10+3=13, 所以BC2=CD2+BD2=42+132=185. 综上所述，BC2的值为65或185. C B D A 2题答图① C B A D 2题答图② 3.3cm [解析]由折叠的性质，得△CDG≌△FDG, 所以FD=CD=AB=6cm,FG=CG,∠DFG=∠C=90°. 在Rt△BCD中，BC=8cm,CD=AB=6 cm. 根据勾股定理，得BD2=82+62=100=102, 所以BD=10cm, 所以BF=BD-DF=10-6=4(cm). 在Rt△BGF中，设FG=CG=x cm, 则有BG=BC-CG=(8-x)cm. 根据勾股定理，得 BG2=FG2+BF2,即(8-x)2=x2+42, 整理，得-16x+64=16,即16x=48, 解得x=3,则FG=3cm. 4.17 5.解：由折叠性质可知 BE=BC=3cm, DE=DC,∠BED=∠C=90°, 所以∠AED=90°. 因为AB=5 cm,所以AE=AB-BE=2cm. 在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5 cm,BC=3cm, 所以AC2=AB2-BC2=16=42,所以AC=4cm. 设AD=xcm,则DE=DC=AC-AD=(4-x)cm. 在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2, 即22+(4-x)2=x2, 解得x=2.5,所以AD=2.5 cm. 6.B 7.B 易错疑难集训一 1.100或28 2.169或119 3.解：分两种情况求解： 当△ABC为锐角三角形时，如答图①. 在Rt△ACD和Rt△ABD中， 由勾股定理，得CD2=AC2-AD2=52, 所以CD=5. BD2=AB2-AD2=92,所以BD=9, 所以BC=BD+CD=9+5=14, 所以△ABC的周长=AB+AC+BC=15+13+14=42; ·4· 参考答案及解析 当△ABC为钝角三角形时，如答图②. 易证CD=5,BD=9, 所以BC=BD-CD=9-5=4, 所以△ABC的周长=AB+AC+BC=15+13+4=32. 综上所述，△ABC的周长为42或32. A B D C A BL C D 3题答图① 3题答图② X易错分析-----⋯ 只考虑到三角形是锐角三角形的情形，容易忽略 了三角形是钝角三角形的情形，因此导致漏解. 4.2,9或3 5.解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°, BC=40cm,AC=30 cm, 所以由勾股定理，得AB2=BC2+AC2=402+302=502, 所以AB=50 cm. 如答图，作AB边上的高CD. 因为SABC=—AB·CD= —AC·BC, 所以CD=4CBC30×4?=24(cm). ①当∠BCP为直角时，点P与点A重合，BP=BA=50 cm, 所以t=50÷2=25; ②当∠BPC为直角时，点P与点D重合， BP=2t cm,CP=24 cm,BC=40 cm. 在Rt△BCP中，因为BP2+CP2=BC2, 所以(2t)2+242=402,解得t=16. 综上，当t=25或16时，△BPC为直角三角形. A D P B 门C 5题答图 6.解：因为a2=(5)2=5,B2=1,22=(2)2=16 所以b2+c2=a2, 所以以a,b,c为边长的三角形是直角三角形(其中a为斜 边长). X易错分析------------------------ 利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时，我 们不能简单地看两边a,b的平方和是否等于边c的平 方，而应先比较a,b,c的大小，找出最大边长，再分别 计算出三边长的平方，最后看两条较小边长的平方和 是否等于最大边长的平方... 7.解：能.分三种情况讨论： 如答图①,沿前侧面和上底面爬行. 由勾股定理，得AB2=42+(2+1)2=25; B 1 2 A 4 B 2 A 4 1 B A2 4 7题答图① 7题答图② 7题答图③ 如答图②,沿前侧面和右侧面爬行. 由勾股定理，得AB2=(4+1)2+22=29; 如答图③,沿左侧面和上底面爬行. 由勾股定理，得AB2=(2+4)2+I2=37. 因为25<29<37,所以沿答图①走的路线AB是最短路线. 如答图④,蚂蚁走的路线为从点A到点C再到点B. C B 1 -2 A 4 7题答图④ 本章考点检测训练 1.D 2.B 3.x2+22=(x+0.5)2[解析]在Rt△AB'C中，由勾股定 理，得AC2+B'C2=AB12,即x2+22=(x+0.5)2.故填x2+ 22=(x+0.5)2. 4.45 [解析]如答图，过点A作AE⊥l?于点E,过点C作 CF⊥l?于点F,所以∠CBF+∠BCF=90°.因为四边形ABCD 是正方形，所以AB=BC=CD=AD,所以∠DAB=∠ABC= ∠BCD= ∠CDA=90°,所以∠ABE+∠CBF=90°,所以 ∠ABE=∠BCF.在△ABE和△BCF中， ,所 以△ABE≌△BCF(AAS),所以AE=BF.因为BF2+CF2= BC2,所以BC2=32+62=45.故答案为45. A -L? B F E L?D C l? 4题答图 5.解：连接MA. 因为MD⊥AB, 所以∠ADM=∠BDM=90°, 所以AD2=AM2-MD2,MD2=BM2-BD2. 因为∠C=90°,所以AM2=AC2+CM2. 因为M为BC中点，所以BM=MC, 所以AD2=AM2-MD2=AM2-BM2+BD2=AM2-MC2+ BD2=AC2+BD2. 6.D 7.A 8.D 9.直角三角形 10.15 11.96 12.101 ·5· 同步练测·八年级数学·上册·北师版 13.解：(1)是.理由：在△CHB中， 因为CH2+HB2=2.42+1.82=9,CB2=9, 所以CH2+HB2=CB2, 所以CH⊥AB, 所以CH是从村庄C到河边的最近路. (2)设AC=x,在Rt△ACH中， 由已知，得AB=AC=x,AH=x-1.8,CH=2.4. 由勾股定理，得AC2=AH2+CH2, 所以x2=(x-1.8)2+(2.4)2, 解得x=2.5. 答：原来的路线AC的长为2.5 km. 14.解：(1)在Rt△CDB中，由勾股定理，得 CD2=BC2-BD2=172-82=225, 所以CD=15, 所以CE=CD+DE=15+1.6=16.6. 答：风筝的高度CE为16.6m. (2)如答图，设风筝沿CD方向下降9m时到达点M,连接 BM,则由题意，得CM=9,所以DM=6, 所以BM2=DM2+BD2=62+82=100=102, 所以BM=10, 所以BC-BM=7. 所以他应该往回收线7m. ℃ M B D 14题答图 第二章 实数 1 认识实数 【基础巩固练】 1.C 2.B 3.D 4.D 5.A 6.D 7.B 8.解：(1)1.2的相反数是-1.2,倒数是-6,绝对值是1.2. (2)-1的相反数是一，,倒数是π,绝对值是- (3)3-π的相反数是π-3,倒数是3-π,绝对值是π-3. 9.D 10.B 【能力提升练】 1.D 2.A 3.C 4.A [解析]由实数a,b在数轴上对应的点的位置可知b<0 <a,lbl<lal,所以b-a<0,a+b>0,所以1b-al+la+ bl-1bl=-(b-a)+a+b-(-b)=-b+a+a+b+b= 2a+b.故选A. 5.2 6.①② 7.解：因为lxl+3=5,1yl=5, 所以x=±2,y= ±5. 因为x,y同号， 所以x=2,y=5或x=-2,y=-5. 当x=2,y=5时，x-2y=2-10=-8; 当x=-2,y=-5时，x-2y=-2+10=8. 综上，x-2y= ±8. 8.解：(1)如答图①,△ABC即为所求(答案不唯一). (2)如答图②,△GHI 即为所求(答案不唯一). A B C 8题答图① G T H 8题答图② 9.解：(1)x不是有理数.理由如下： 由勾股定理可知x2=42+42=32,首先x不可能是整数(因 为52=25,62=36,所以x在5和6之间),其次x也不可能 是分数 因为若x是最简分数-,则()仍是一个分 数，不等于32 .综上可知，x不是有理数. (2)x在5和6之间. 2平方根与立方根 课时1 算术平方根 【基础巩固练】 1.D 2.A 3.A 4.√3 5.-6 6 6 9 1 13.解：(1)因为s=4.9t2,所以； 课时2 平方根 【基础巩固练】 6.D 7.B 8.4 9.— 2=4.9 10.±5 11.4 12.A 因为t>0,所以 4 =√49 (2)当s=176.4时，=√4.9=√7.94=6(s) 故野兔落到峡谷底经过了6s. 1.C 2.A 3.A 4.8 5.25 [解析]设这个正数的一个平方根为x,则另一个平方 根为x-10.因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以 x+x-10=0,解得x=5,则这个正数为52=25. 6.D 7.±3 8.解：(1)I-2251=225,225的平方根是±15,225的算术平 方根是15.用式子表示为±√1-2251=±15,√1-2251 =15. (2)=121.12的平方根是±,的算术平方根 是 用式子表示为±√=±2,√=2 ·6·