第1章 3 勾股定理的应用&专题1 利用勾股定理解决折叠问题-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（北师大版2024）

第一章 勾股定理 3 勾股定理的应用 《基础巩固练 [答案 P3] 知识点( 勾股定理在生活中的应用 ①若要将一块不能弯曲的正方形(厚度忽略不计) 搬进室内，需要通过一扇如图所示的高为2m, 宽为1m的门，以下边长的木块中哪 块可以通过此门? ( )2m A.2.8m B.2.5m C.2.2m 1m 1题图 D.以上答案都不对 ②(山东济南期中)如图，已知钓鱼竿AC的长为 10m,露在水面上的鱼线BC的长为6m,某钓鱼 者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC' 的位置，此时露在水面上的鱼线 B'C'的长为 8m,则BB′的长为 ( ) A.1m B.2m C.3m D.4 m C" C Ac A B' B. D B 0 2题图 3题图 3 如图，一根长为5m的梯子AB斜靠在一面竖直 的墙A0上，这时AO的长为4m.如果梯子的顶 端A沿墙下滑1m,那么梯子底端B外移的距离 BD ( ) A.等于1m B.大于1m C.小于1m D.以上都不对 4 某地区要在公路AB上建一个蔬菜批发厂E,使 得C,D两村庄到E的距离相等，已知AB= 18 km,DA=9km,CB=15km,DA⊥AB于点A, CB⊥AB于点B,则AE的长是 ( ) A.10 kmB.11 km C.12km D.13 km A E B ↑N 9km B15km D A< C P| E 4题图 5题图 5(教材母题变式)如图，某港口P位于东西方向 的海岸线上，甲、乙两轮船同时离开港口，甲船 沿北偏西50°方向，以每小时12海里的速度航 行；乙船沿北偏东40°方向，以每小时16海里的 速度航行.1小时后两船分别位于点A与点B 处，此时两船相距 ( ) A.12海里 B.16海里 C.20海里 D.24海里 6 如图是某种购物车的侧面示意图，测得支架 AC=24cm,BC=18 cm,两轮中心的距离AB= 30 cm,则点C到AB的距离为_________cm. 感应器4 D C 4 B C B 6题图 7题图 7 新情境 某中学在大门口的正上方离地2.1米 的点A处装着一个红外线激光测温仪(如图所 示),当人体进入感应范围内时，测温仪就会显 示人体体温，一个身高1.6米的学生CD正对 门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC = 1.2米),测温仪自动显示体温，则人头顶离测温 仪的距离AD为_____米. 8如图，∠AOB=90°,OA=18 dm,OB=6 dm,一机 器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着 A0方向匀速滚向点0,机器人立即从点B出发， 沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住 了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的 速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少? B 0 C A 8题图 7见此图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源 稳步提升成绩 同步练测·八年级数学·上册·北师版 [答案 P3] 能力提升练 ①(巴中中考)“今有方池一丈，葭生其中央，出水 一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何?”这是 我国数学史上的“葭生池中”问题.即AC=5, DC=1,BD=BA,则BC= ( ) A.8 B.10 C.12 D.13 D- C A B A B C 1题图 2题图 2如图，湖的两岸有A,C两点，在与AC成直角的 BC方向上的点B处测得AB=15m,BC=12m, 则A,C两点间的距离为 ( ) A.3m B.6m C.9m D.10m 3[传统文化]《九章算术》中有一道题：“今有竹 高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?” 大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端 落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高 度为____尺.(1丈=10尺) 4 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子 拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟 后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为 10米，则船向岸边移动_____米. C 8米 D B h 4题图 5题图 5 如图，将一根长为22cm的筷子置于底面直径为 5 cm、高为12 cm的圆柱形水杯中.设筷子露在 杯子外面的长度为h cm,则h的取值范围是 6 如图，MN为我国领海线，其方向为南北方向， MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50 分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我国领海开来，便立 即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密 切注意.此时反走私艇A和走私艇C的距离是 13海里，A,B两艇的距离是5海里，反走私艇 B 和走私艇C的距离是12海里，若走私艇C的速 度不变，则最早会在什么时候进入我国领海? M 北 A C 西一十东 南 B IN 6题图 7为了积极响应新农村建设，某地采用了移动宣 讲的形式进行宣传动员.如图，笔直公路MN的 一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离 AB为800m,假使宣讲车P周围1000 m以内能 听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方 向行驶. (1)该村庄能否听到广播宣传?请说明理由； (2)如果能听到，已知宣讲车的速度是300 m/min, 那么该村庄总共能听到多长时间的广播宣传? A M P B N 7题图 8 见此图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源 稳步提升成绩 第一章 勾股定理 专题1 利用勾股定理解决折叠问题 [答案 P3] 类型③三角形中的折叠问题 1在Rt△ABC中，AB=10,BC=6,∠C=90°.现将 △ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE,则AE的长是 ( ) A5 B24 C.4 D.5 C B D A B D A E C 1题图 2题图 ② 如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC=90°,AB=2, AC=3.沿过点A的直线折叠纸片，使点B落在边 BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重 合，折痕交AC于点E,则AE的长是_____. 3 在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点M,N分别 在BC,AC上，将△ABC沿MN折叠，使得点C与 点A重合，求折痕MN的长. A N B M C 3题图 类型②)长方形中的折叠问题 4(辽宁沈阳期中)如图，长方形纸片ABCD中， AD=4cm,AB=10cm,按如图的方式折叠，使点B 与点D重合，折痕为EF,则DE的长为( ) A E B D 下 C C′ 4题图 A.4.8cm B.5 cm C.5.8cm D.6cm 5如图，在长方形ABCD中，AB=5,BC=13,将长 方形ABCD沿BE折叠，点A落在点A'处，若EA' 的延长线恰好过点C,则AE的长为____. A- E D A B2 C 5题图 6 如图，在长方形ABCD中，AB=8cm,AD=6cm, 将长方形沿直线AC折叠，使点B落在点E处， AE交CD于点F,则AF的长为______cm. E D┌ F C A B l A D B' BP C 6题图 7题图 7如图，在长方形ABCD中，AB=5,BC=6,P是射 线BC上一动点，l为长方形ABCD的一条对称 轴，将△ABP沿AP折叠，当点B的对应点B'落 在l上时，BP的长为_____ 8如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B 落在边AD上的点B′处，点A落在点A'处. (1)试说明：B'E=BF; (2)设AE=a,AB=b,BF=c,猜想a,b,c之间的 关系，并说明理由. A' D_ B' E.A C F B 8题图 见此图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源 稳步提升成绩 9 参考答案及解析 7.解：因为BD2+AD2=62+82=102=AB2, 所以△ABD是直角三角形，所以AD⊥BC. 在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=152, 所以CD=15, 所以BC=BD+CD=6+15=21. 8.解：(1)如答图，连接BE. 因为ED垂直平分AB, 所以AE=BE. 因为CB2=AE2-CE2, 所以CB2=BE2-CE2, 所以CB2+CE2=BE2, 所以△BEC是直角三角形， 所以∠ACB=90°. A D E (2)设CE=x,则AE=12-x. 因为BE=AE,所以BE=12-x. F C B 8题答图 因为∠ECB=90°,BC=9, 所以BC2+CE2=BE2, 所以92+x2=(12-x)2,解得x=38, 即CE=28 3勾股定理的应用 【基础巩固练】 1.C 2.B 3.A 4.D 5.C 6.14.4 7.1.3 8.解：因为小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时 【能力提升练】 间相等，所以BC=AC. 设AC=x dm,则OC=(18-x)dm. 由勾股定理，得OB2+OC2=BC2, 即62+(18-x)2=x2,解得x=10. 答：机器人行走的路程 BC是10 dm. 1.C 2.C 3.4.55 4.9 5.9≤h≤10 [解析]当筷子与杯底垂直时h最大，h最大= 22-12=10(cm).当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时 h最小，此时，筷子在杯中的长度为13cm,故h=22-13= 9(cm).故h的取值范围是9≤h≤10. 6.解：设MN与AC相交于点E,则∠BEC=90°, 因为AB2+BC2=52+122=132=AC2, 所以△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°. 因为∠BEC=90°, 所以走私艇C进入我国领海的最短距离是CE的长. 由SABC=2AB·BC=2AC·BE, 得IBE=13海里. 由CE2+BE2=BC2,得CE=143海里， 143÷13=169≈~0.85(时)=51(分), 所以走私艇C到点E的时间为10时41分. 答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海. 7.解：(1)村庄能听到宣传.理由： 因为村庄A到公路MN的距离为800m<1000 m, 所以村庄能听到宣传. (2)如答图，假设当宣讲车行驶到点P开始影响村庄，行驶 到点Q结束对村庄的影响， 则AP=AQ=1000 m,AB=800m, 所以在Rt△ABP中，BP2=AP2-AB2=10002-8002=6002, 所以BQ=BP=600 m,所以PQ=1 200m, 所以影响村庄的时间为1200÷300=4(min), 所以村庄总共能听到4 min的宣传. M P B N 7题答图 专题1 利用勾股定理解决折叠问题 1.B 2.13 [解析]根据折叠，可知AB=AD,ED= EC,所以∠ADB =∠B,∠EDC=∠C.因为∠BAC=90°,所以∠B+∠C= 90°,所以∠ADB+∠EDC=90°,所以∠ADE=90°.设AE= x,因为AB=2,AC=3,所以AD=2,CE=3-x,所以ED= 3-x.在Rt△ADE中，根据勾股定理，得22+(3-x)2=x2, 解得x=6,所以AE=163.故答案为-6 3.解：如答图，过点A作AD⊥BC于点D. A N B MD C 3题答图 因为AB=AC=5,BC=6, 所以BD=CD=3,所以由勾股定理，得AD=4. 因为将△ABC沿MN折叠，使得点C与点A重合， 所以AM=CM,AN= —Ac=2,MNIAC. 设AM=CM=x,则MD=x-3. 在Rt△ADM中，由勾股定理，得AD2+MD2=AM2, 即42+(x-3)2=x2,解得x=2 在Rt△AMN中，由勾股定理，得 MN2=AM2-AN2=()2-(2)2=19, 所以MN=3 ·3· 同步练测·八年级数学·上册·北师版 4.C 5.1 6.27.5-或15 8.解：(1)由折叠的性质，得B'F=BF,∠B'FE=∠BFE. 在长方形纸片ABCD中，AD//BC, 所以∠B'EF=∠BFE, 所以∠B'FE=∠B'EF,易得B'F=B'E, 所以B'E=BF. (2)a,b,c之间的关系是a2+b2=c2.理由如下： 由(1)知 B'E=BF=c. 由折叠的性质，得∠A'=∠A=90°, A'E=AE=a,A'B'=AB=b. 在△A'B'E中，∠A'=90°, 所以A'E2+A'B12=B'E2,所以a2+b2=c2. ☆问题解决策略：反思 1.B 2.C 3.C 4.15 5.128 6.26 7.解：根据题意，最短路径有以下三种情况： ①如答图①,展开前面、右面： AB'2=(AC+CB)2+BB12=(3+2)2+52=25+25=50; ②如答图②,展开前面、上面： AB'2=AC2+(CC′+C'B')2=32+(5+2)2=9+49=58; ③如答图③,展开左面、上面： AB12=AD2+(DD'+D'B')2=22+(5+3)2=4+64=68. 因为50<58<68, 所以最短路径如答图①所示. A' C′ B' 5 A 3 C2B D'_ B' A'- 2. 5 A2 3 C B' C' 3 D' A' 5 D- 2A 7题答图① 7题答图② 7题答图③ 专题2 勾股定理中的数学思想方法 1.10或13 [解析]分两种情况：①如答图①,当点P是靠近 点B的三等分点时，因为AC=BC=3,所以PB=3BC=1, 所以CP=2,所以AP2=AC2+PC2=13;②如答图②,当点 P是靠近点C的三等分点时，因为AC=BC=3,所以PC= BC=1,,所以AP2=AC2+PC2=10.综上所述，AP2的值 为10或13. C P A4 B C P A B 1题答图① 1题答图② 2.解：分两种情况： ①当高CD在△ABC内部时，如答图①. 因为CD⊥AB,所以∠CDA=90°. 因为CD=4,AD=3, 所以AC2=AD2+CD2=32+42=52, 所以AC=5. 因为AB=2AC,所以AB=10, 所以BD=AB-AD=10-3=7, 所以BC2=BD2+CD2=72+42=65; ②当高CD在△ABC外部时，如答图②. 同理可得AC=5,AB=10, 所以BD=AB+AD=10+3=13, 所以BC2=CD2+BD2=42+132=185. 综上所述，BC2的值为65或185. C B D A 2题答图① C B A D 2题答图② 3.3cm [解析]由折叠的性质，得△CDG≌△FDG, 所以FD=CD=AB=6cm,FG=CG,∠DFG=∠C=90°. 在Rt△BCD中，BC=8cm,CD=AB=6 cm. 根据勾股定理，得BD2=82+62=100=102, 所以BD=10cm, 所以BF=BD-DF=10-6=4(cm). 在Rt△BGF中，设FG=CG=x cm, 则有BG=BC-CG=(8-x)cm. 根据勾股定理，得 BG2=FG2+BF2,即(8-x)2=x2+42, 整理，得-16x+64=16,即16x=48, 解得x=3,则FG=3cm. 4.17 5.解：由折叠性质可知 BE=BC=3cm, DE=DC,∠BED=∠C=90°, 所以∠AED=90°. 因为AB=5 cm,所以AE=AB-BE=2cm. 在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5 cm,BC=3cm, 所以AC2=AB2-BC2=16=42,所以AC=4cm. 设AD=xcm,则DE=DC=AC-AD=(4-x)cm. 在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2, 即22+(4-x)2=x2, 解得x=2.5,所以AD=2.5 cm. 6.B 7.B 易错疑难集训一 1.100或28 2.169或119 3.解：分两种情况求解： 当△ABC为锐角三角形时，如答图①. 在Rt△ACD和Rt△ABD中， 由勾股定理，得CD2=AC2-AD2=52, 所以CD=5. BD2=AB2-AD2=92,所以BD=9, 所以BC=BD+CD=9+5=14, 所以△ABC的周长=AB+AC+BC=15+13+14=42; ·4·