第1章 2 一定是直角三角形吗-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（北师大版2024）

同步练测·八年级数学·上册·北师版 所以BC=40m. 因为小汽车2s行驶了40m, 所以它的速度为420=20(m/s). 因为20m/s=72 km/h,且72>70, 所以这辆小汽车超速了. 【能力提升练】 1.C 2.D [解析]设直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,因为 题图①中大正方形的面积是24,所以a2+b2=c2=24.因为 小正方形的面积是4,所以(a-b)2=a2+b2-2ab=4,所以 ab=10,所以题图②中最大的正方形的面积为=c2+4× 2ab=24+2×10=44.故选D. 3.D 4.4.15.13 6.解：由题意可设EC的长为x,则DE=8-x. 因为△ADE折叠后的图形是△AFE, 所以AD=AF,DE=EF. 因为AD=BC=10,所以AF=10. 又因为AB=8,在Rt△ABF中，由勾股定理，得 BF2=AF2-AB2=102-82=36,所以BF=6, 所以FC=BC-BF=10-6=4. 在Rt△EFC中，由勾股定理，得FC2+EC2=EF2, 即42+x2=(8-x)2,解得x=3, 所以EC的长为3. 7.解：如答图，过点A作AE⊥CD于点E. C A E B D 7题答图 由题意知AB=3m,CD=14-1=13(m), BD=24m,则CE=13-3=10(m),AE=24 m. 在Rt△AEC中，AC2=CE2+AE2=102+242=262, 故AC=26m,则26÷5=5.2(s). 答：它至少需要5.2s才能赶回巢中. 2一定是直角三角形吗 【基础巩固练】 1.C 2.C 3.合格 4.直角 5.解：因为AB=15,BC=9,∠ACB=90°, 所以由勾股定理，得AC2=AB2-BC2=152-92=122, 所以AC=12. 因为52+122=132, 所以AD2+AC2=CD2,所以∠DAC=90°, 所以△ACD是直角三角形. 6.解：(1)因为在△ABE中，DE是AB边上的高， DE=5,△ABE的面积为25, 所以S△ABE=2AB×DE= —AB×5=25, 所以AB=10. (2)因为在△ABC中，BC=6,AC=8,AB=10, 所以AC2+BC2=82+62=102, 所以AC2+BC2=AB2,所以△ABC是直角三角形， 所以SABC=2×6×8=24, 所以四边形ACBE的面积为S△ABc+SABE=24+25=49. 7.D 8.16,63,65 【能力提升练】 1.B 2.C [解析]因为当m=3,n=1时，,a=—(m2-n2)= 2(32-12)=4,b=m=3×1=3,c=2(m2+n2)=2(32+ 12)=5,所以选项A不符合题意；因为当m=5,n=1时，a =2(m2-n2)=—(52-12)=12,b=mm=5×1=5,c= 2(m2+n2)=—(52+12)=13,,所以选项B不符合题意； 因为当m=7,n=1时，,a==—(m2-n2)= —(72-12)= 24,b=mm=7×1=7,c=÷—(m2+n2)=2(72+12)=25, 所以选项D不符合题意；因为没有符合条件的m,n使a,b, c各为6,8,10,所以选项C符合题意.故选C. 3.C 4.45°[解析]因为∠A=90°,AC=AB=4,所以∠ACB= ∠ABC=45°.在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=32,则CD2+ BC2=36.因为BD2=62=36,所以CD2+BC2=BD2,所以 ∠BCD=90°,所以∠ACD=∠BCD-∠ACB=45°. 5.45 [解析]如答图，连接EF.根据勾股定理可以得到AE2 =EF2=5,AF2=10,所以AE2+EF2=AF2,所以△AEF是 等腰直角三角形，所以∠EAF=45°. A D F E B C 5题答图 6.解：因为a2c2-b2c2=a?-b?, 即c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2), 当a≠b时，c2=a2+b2,所以△ABC为直角三角形； 当a=b时，△ABC为等腰三角形. 综上所述，△ABC为直角三角形或等腰三角形. ·2· 参考答案及解析 7.解：因为BD2+AD2=62+82=102=AB2, 所以△ABD是直角三角形，所以AD⊥BC. 在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=152, 所以CD=15, 所以BC=BD+CD=6+15=21. 8.解：(1)如答图，连接BE. 因为ED垂直平分AB, 所以AE=BE. 因为CB2=AE2-CE2, 所以CB2=BE2-CE2, 所以CB2+CE2=BE2, 所以△BEC是直角三角形， 所以∠ACB=90°. A D E (2)设CE=x,则AE=12-x. 因为BE=AE,所以BE=12-x. F C B 8题答图 因为∠ECB=90°,BC=9, 所以BC2+CE2=BE2, 所以92+x2=(12-x)2,解得x=38, 即CE=28 3勾股定理的应用 【基础巩固练】 1.C 2.B 3.A 4.D 5.C 6.14.4 7.1.3 8.解：因为小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时 【能力提升练】 间相等，所以BC=AC. 设AC=x dm,则OC=(18-x)dm. 由勾股定理，得OB2+OC2=BC2, 即62+(18-x)2=x2,解得x=10. 答：机器人行走的路程 BC是10 dm. 1.C 2.C 3.4.55 4.9 5.9≤h≤10 [解析]当筷子与杯底垂直时h最大，h最大= 22-12=10(cm).当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时 h最小，此时，筷子在杯中的长度为13cm,故h=22-13= 9(cm).故h的取值范围是9≤h≤10. 6.解：设MN与AC相交于点E,则∠BEC=90°, 因为AB2+BC2=52+122=132=AC2, 所以△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°. 因为∠BEC=90°, 所以走私艇C进入我国领海的最短距离是CE的长. 由SABC=2AB·BC=2AC·BE, 得IBE=13海里. 由CE2+BE2=BC2,得CE=143海里， 143÷13=169≈~0.85(时)=51(分), 所以走私艇C到点E的时间为10时41分. 答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海. 7.解：(1)村庄能听到宣传.理由： 因为村庄A到公路MN的距离为800m<1000 m, 所以村庄能听到宣传. (2)如答图，假设当宣讲车行驶到点P开始影响村庄，行驶 到点Q结束对村庄的影响， 则AP=AQ=1000 m,AB=800m, 所以在Rt△ABP中，BP2=AP2-AB2=10002-8002=6002, 所以BQ=BP=600 m,所以PQ=1 200m, 所以影响村庄的时间为1200÷300=4(min), 所以村庄总共能听到4 min的宣传. M P B N 7题答图 专题1 利用勾股定理解决折叠问题 1.B 2.13 [解析]根据折叠，可知AB=AD,ED= EC,所以∠ADB =∠B,∠EDC=∠C.因为∠BAC=90°,所以∠B+∠C= 90°,所以∠ADB+∠EDC=90°,所以∠ADE=90°.设AE= x,因为AB=2,AC=3,所以AD=2,CE=3-x,所以ED= 3-x.在Rt△ADE中，根据勾股定理，得22+(3-x)2=x2, 解得x=6,所以AE=163.故答案为-6 3.解：如答图，过点A作AD⊥BC于点D. A N B MD C 3题答图 因为AB=AC=5,BC=6, 所以BD=CD=3,所以由勾股定理，得AD=4. 因为将△ABC沿MN折叠，使得点C与点A重合， 所以AM=CM,AN= —Ac=2,MNIAC. 设AM=CM=x,则MD=x-3. 在Rt△ADM中，由勾股定理，得AD2+MD2=AM2, 即42+(x-3)2=x2,解得x=2 在Rt△AMN中，由勾股定理，得 MN2=AM2-AN2=()2-(2)2=19, 所以MN=3 ·3· 第一章 勾股定理 2 一定是直角三角形吗 《基础巩固练 [答案 P2] 知识点①直角三角形的判定 1(北京大兴区期末)下列各组数中，能作为直角直角 三角形的三边长的是 ( ) ) A.1.5,2,3 B.2,3,4 C1,4,5 D.5,13,14 ②在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,,b, c,且a2-b2=c2,则下列说法正确的是( ) A.∠C是直角 B.∠B是直角 C.∠A是直角 D.∠A是锐角 3 木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为2.4m,宽, 为1.8m,对角线长为3m,则这个桌面_________.__. (填“合格”或“不合格”) 4(教材母题变式)如图，在4×4的正方形网格 中，小正方形的顶点称为格点.已知△ABC的顶的顶 点都在格点上，则△ABC是_______三角形. A B C 4题图 5 如图，在四边形ABCD中，∠ACB=90°,AB=15,15, BC=9,AD=5,DC=13.试说明：△ACD是直角直角 三角形. C D< A B 5题图 6(广东深圳期中)如图，在△ABC中，BC=6, AC=8,在△ABE中，DE是AB边上的高，DE= 5,△ABE的面积为25. (1)求AB的长； (2)求四边形ACBE的面积. A E D C- B 6题图 知识点②勾股数 7 下列各组数据中，是勾股数的是 ( ) A.3,4,5 B.0.5,1.2,1.3 C.32,42,52 D.6,8,10 8(山东青岛期中)观察下列几组勾股数，并填空： ①4,3,5,②6,8,10,③8,15,17,④10,24,26, ⑤12,35,37,⋯则第⑦组勾股数为_____ 5见此 图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源稳步提升成绩 同步练测·八年级数学·上册·北师版 [答案 P2] 能力提升练 ① 观察下列各组数：①7,12,15,②8,15,17,③7, 24,25,④12,15,20,其中能作为直角三角形三边 长的有 ( ) A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 2(泸州中考)《九章算术》是中国古代重要的数学 著作，该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公 式：a=—(m2-n2),b=mn,c=—(m2+n2),其 中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股 数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是 ( ) A.3,4,5 B.5,12,13 C.6,8,10 D.7,24,25 3 有五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25, 现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是 ( ) 7 25/ 2024 25 2024/ /24 25 20 24 亿 20 15 7 15 7 15 15 25 A B C D 4(浙江温州期中)如图，已知∠A=90°,AC= AB=4,CD=2,BD=6,则∠ACD=____. A D C F D< E A B B C 4题图 5题图 5如图，正方形ABCD由9个边长为1的小正方形 组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接AE, AF,则∠EAF=_____. 6已知a,b,c为△ABC的三边，满足a2c2-b2c2= a?-b?,试判断△ABC的形状. 6 见此图标眼抖音/微信扫码领取配套资源 稳步提升成绩成绩 如图，D是BC边上的一点，若AB=10,AD=8, AC=17,BD=6,求BC的长. C D A B 7题图 8如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB,AC 及BC的延长线于点D,E,F,且CB2=AE2-CE2. (1)试说明：∠ACB=90°; (2)若AC=12,BC=9,求CE的长. 4 D E F C B 8题图