暑假作业02 勾股定理逆定理（预习作业）七年级数学新教材北师大版

**基本信息** 初中数学暑假专项训练，聚焦勾股定理逆定理及勾股数，通过四类题型构建从概念识别到综合应用的训练体系，注重几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |勾股数|3题|识别与计算正整数勾股数组|勾股数是逆定理的特殊正整数解，强化概念应用| |网格图判定直角三角形|3题|结合网格计算边长平方和判定|网格背景强化几何直观，训练边长抽象与平方和计算| |三边构成直角三角形判断|3题|直接应用逆定理验证三边关系|逆定理基本应用，构建概念理解与直接推理能力| |逆定理应用|3题|综合图形面积与四边形计算|实际情境中深化定理应用，培养模型意识与推理意识|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业02勾股定理逆定理 【知识点1 勾股定理逆定理】 如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 【知识点2 勾股数】 勾股数 是指能够构成一个直角三角形三条边的三个正整数，即满足勾股定理  的 ，其中  是斜边（最大数）。 【题型1 勾股数】 1．下列各组数中，是勾股数的是（） A． B．5，12，13 C．0.6，0.8，1 D．1，2，3 【答案】B 【分析】根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方进行分析判断即可． 【详解】解：A．， ∵， ∴ 不是勾股数； B．∵，且5，12，13都是正整数， ∴5，12，13是勾股数； C．∵0.6，0.8，1不都是正整数， ∴0.6，0.8，1不是勾股数； D．， ∴1，2，3不能构成三角形， ∴1，2，3不是勾股数． 2．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．7，8，10 B．8，24，25 C．5，12，13 D．5，10，13 【答案】C 【分析】根据勾股数的定义，勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，利用勾股定理的逆定理逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A中， ， ，，故A不符合题意． 选项B中， ，，，故B不符合题意． 选项C中，，，即，且三个数均为正整数，故C符合题意． 选项D中， ，，，故D不符合题意． 3．若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________． 【答案】25 【分析】分两种情况讨论，为最长边和为最长边，结合勾股定理计算后筛选符合条件的的值． 【详解】解：勾股数是满足勾股定理的三个正整数，分两种情况讨论： 当为最长边时，根据勾股定理得： 由，得 ，是正整数，符合要求； 当为最长边时，根据勾股定理得： 因为不是完全平方数，不是正整数，不符合勾股数定义，舍去． 【题型2 在网格图中判定直角三角形】 4．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 5．如图，在的正方形网格中标出了和，则_____． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【详解】解：如图所示，作，连接，    则， 设每个小正方形的边长为， 则，，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 6．如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，的顶点都在格点（正方形的顶点）上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．根据勾股定理，求出，，的值，再根据勾股定理的逆定理，即可求出． 【详解】解：∵在边长为的小正方形组成的网格中， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【题型3 判断三边能否构成直角三角形】 7．下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（   ） A．6，8，10 B．7，10，17 C．6，9，15 D．5，12，15 【答案】A 【分析】若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，据此对各选项逐一计算判断即可． 【详解】解：A选项，，，，能构成直角三角形，符合题意； B选项，，不能构成三角形，不符合题意； C选项，，不能构成三角形，不符合题意； D选项，，，，不能构成直角三角形，不符合题意．. 8．以下列各组数为三边长的三角形是直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．5，12，15 【答案】C 【分析】本题利用勾股定理的逆定理判断，分别计算每组中两短边的平方和，与最长边的平方比较，若相等则可构成直角三角形． 【详解】解：A ， ，不能构成直角三角形，不符合题意； B ， ，不能构成直角三角形，不符合题意； C ， ，能构成直角三角形，符合题意； D ， ，不能构成直角三角形，不符合题意． 9．将一个直角三角形的三条边长都扩大到原来的2022倍，得到的新三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不能确定 【答案】B 【分析】原直角三角形三边满足勾股定理，三边扩大相同倍数后，仍满足勾股定理，即可判断形状． 【详解】解：设原直角三角形的两直角边长为、，斜边长为， 由勾股定理得， 三边扩大到原来的2022倍后，新三角形三边长为、、， ， 新三角形满足勾股定理的逆定理，新三角形为直角三角形． 【题型4 勾股定理逆定理的应用】 10．如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】根据题意证明，得到，据此根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴． 11．如图，在四边形中，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 12．如图，在中，，，以为边向外作，为边上的高，，，求的度数． 【答案】 【分析】证明为直角三角形即可． 【详解】解：，， ． ，，， ． 由勾股定理的逆定理得． 1．的三边长分别为，由下列条件能判断为直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合要求； B、，，，不能构成直角三角形，不符合要求； C、，，能构成直角三角形，符合要求； D、，，，不能构成直角三角形，不符合要求． 2．如果下列各组数是三角形的三边，那么能组成直角三角形的一组数是（   ） A．6，8，12 B．1，2，3 C．3，4，5 D．2，2，2 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形；三角形三边关系，任意两边的和大于第三边．据此验证各选项即可． 【详解】解：对于选项A， ∵， ∴不能组成直角三角形． 对于选项B， ∵， ∴不能组成三角形． ∴不能组成直角三角形． 对于选项C， ∵， ∴满足条件，能组成直角三角形． 对于选项D， ∵， ∴不能组成直角三角形． 3．李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是、、，据此李老师判断这个教具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是（   ） A．直角三角形两个锐角互余 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和等于 D．勾股定理 【答案】B 【分析】利用勾股定理的逆定理求解即可. 【详解】解：∵ 三角形三边长为、、， 而， 即两条较短边的平方和等于最长边的平方， 这种由边长关系判定直角三角形的依据是勾股定理的逆定理. ∴B符合题意. 4．小亮在某公园里，测得一个三角形花坛的三边长分别是，，，则该花坛的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再根据直角三角形面积公式计算面积即可． 【详解】∵ ， ∴ 该三角形是直角三角形，长为和的边为直角边， ∴ 该花坛的面积 ． 5．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据边长比例设三边长为，，，结合周长求出，再利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，最后计算面积即可． 【详解】解：∵三角形三条边长之比为 ∴设三边长分别为，， ∵三角形周长为 ∴ 解得 ∴三角形三边长分别为，， ∵ ∴该三角形是直角三角形，两条直角边为和 ∴面积为． 6．图中，是直角三角形的序号是________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理求边长及逆定理证明直角三角形；先分别求出每个三角形的边长，再根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：三角形的三边长分别为，，3，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，3，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以是直角三角形，故符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以是直角三角形，故符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 故答案为：． 7．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证； （2）根据即可求解． 【详解】（1）证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． （2）解：∵，，，， ∴． 答：修建的桥梁CD的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形． 试卷第4页，共11页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业02勾股定理逆定理 【知识点1 勾股定理逆定理】 如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 【知识点2 勾股数】 勾股数 是指能够构成一个直角三角形三条边的三个正整数，即满足勾股定理  的 ，其中  是斜边（最大数）。 【题型1 勾股数】 1．下列各组数中，是勾股数的是（） A． B．5，12，13 C．0.6，0.8，1 D．1，2，3 2．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．7，8，10 B．8，24，25 C．5，12，13 D．5，10，13 3．若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________． 【题型2 在网格图中判定直角三角形】 4．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 5．如图，在的正方形网格中标出了和，则_____． 6．如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，的顶点都在格点（正方形的顶点）上．求证：． 【题型3 判断三边能否构成直角三角形】 7．下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（   ） A．6，8，10 B．7，10，17 C．6，9，15 D．5，12，15 8．以下列各组数为三边长的三角形是直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．5，12，15 9．将一个直角三角形的三条边长都扩大到原来的2022倍，得到的新三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不能确定 【题型4 勾股定理逆定理的应用】 10．如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 11．如图，在四边形中，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 12．如图，在中，，，以为边向外作，为边上的高，，，求的度数． 1．的三边长分别为，由下列条件能判断为直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．如果下列各组数是三角形的三边，那么能组成直角三角形的一组数是（   ） A．6，8，12 B．1，2，3 C．3，4，5 D．2，2，2 3．李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是、、，据此李老师判断这个教具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是（   ） A．直角三角形两个锐角互余 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和等于 D．勾股定理 4．小亮在某公园里，测得一个三角形花坛的三边长分别是，，，则该花坛的面积是（   ） A． B． C． D． 5．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 6．图中，是直角三角形的序号是________． 7．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 试卷第4页，共11页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $