第1章 1 课时2 验证并应用勾股定理-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（北师大版2024）

第一章 勾股定理 课时2 验证并应用勾股定理 《基础巩固练 [答案 P1] 知识点① 验证勾股定理 ①[传统文化]中国古代数学家赵爽注《周髀算经》 时，创造了“赵爽弦图”.如图，勾a=3,弦c=5, 则小正方形ABCD的面积为 ( ) A.1 D B.3 c A C C.4 a B D.9 1题图 2 用4个如图①所示的形状、大小完全一样的直角 三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图②所示的 正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理. b a a C c b c a b c a b a b 2题图① 2题图② (1)图②中大正方形的边长为_______,里面小 正方形的边长为_____; (2)大正方形面积可以表示为_ _,也可以 表示为_ ______; (3)对比这两种表示方法，可得出 ,整理，得 知识点② 勾股定理的简单应用 3 如图，要从电线杆离地面15米处向地面拉一条 17米长的电缆，则地面固定点A到电线杆底部 B的距离为 ( ) A.8米 B.15米 C.17米 D.25米 B A C A B 3题图 4题图 4 如图，一棵高为8m的大树被台风刮断.若树在 离地面3m的点C处折断，则树顶端落在离树底 部 ( ) A.4m处 B.5m处C.6m处 D.7m处 5 如图，校园内有一块长方形草坪ABCD,已知 AB=80m,BC=60m,学校为了方便学生上学， 从点A到点C修建一条笔直小路，则学生沿着 AC走比原来少走______m. C D B A 北 A 西- 0 东 B 南 5题图 6题图 6 如图，在水塔0的东北方向15m处有一抽水站 A,在水塔的东南方向8m处有一建筑工地B,在 A,B间建一条直水管，则水管的长为__ 7新考向某条东西走向的公路上，按规定小汽车 的行驶速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽 车在这条公路上由东向西匀速行驶，某一时刻 刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方30m的 C处，过了2s后，测得小汽车在B处与车速检 测仪A之间的距离为50m.这辆小汽车超速了 吗?请通过计算说明理由. 小汽车 小汽车 B OC A 车速检测仪 7题图 3见此图标眼抖音/微信扫码 领取配套资源 稳步提升成绩 同步练测·八年级数学·上册·北师版 [答案 P2] 能力提升练 ① 如图所示是一段楼梯，高BC是3m,斜边AB是 5m,如果在楼梯上铺地毯，那么地毯的长至少需 要 ( ) B A- c 1题图 A.5m B.6m C.7m D.8m 2(眉山中考)如图，图①是北京国际数学家大会 的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦 图”,由四个全等的直角三角形拼成.若图①中 大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现 将这四个直角三角形拼成图②,则图②中大正 方形的面积为 ( ) 2题图① 2题图② A.24 B.36 C.40 D.44 3小华与同学去玩探宝游戏，按照如图所示的探 宝图，他们从入口A出发到达藏宝点B,则入口 A到藏宝点B的直线距离是 ( ) A.20 B.14 C.11 D.10 1B 6 3 日 0 2 2.5 A 8 4m 3题图 4题图 4 一辆装满货物、宽为2.4m的卡车想要通过如图所 示的单向通行的隧道(隧道截面上侧为半圆，下侧 为长方形),则卡车的高必须低于_____m. 5如图，等腰三角形ABC的底边BC=10cm,腰AB上 的高CD=8cm,则△ABC的面积是___cm2. A D/ B C 5题图 6现有一长方形纸片ABCD,在剪纸过程中需要折 叠.如图，将△ADE沿AE折叠，使点D恰好落在 BC边上的点F处.已知AB=8,BC=10,求EC 的长. A D E B F c 6题图 7如图，有一只喜鹊在一棵3m高的小树顶觅食， 它的巢筑在距离该树24m远的一棵大树上，大 树高14m,且巢离树顶部1m,当它听到巢中幼 鸟的叫声时，立即赶过去，如果它飞行的速度为 5m/s,那么它至少需要多长时间才能赶回巢中? D 大 3m -24m- 7题图 见此图标眼抖音/微信扫码领取配套资源 稳步提升成绩 成绩4 参考答案及解析 学升·同步练测·八年级数学·上册·北师版 参考答案及解析 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 课时1 探索勾股定理 【基础巩固练】 1.D 2.D 3.C 4.8 5.解：(1)因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠CDA=90°. 在Rt△ADB中，因为∠ADB=90°, 所以AD2+BD2=AB2, 所以AD2=AB2-BD2=144. 因为AD>0,所以AD=12. (2)在Rt△ADC中， 因为∠CDA=90°,所以AD2+CD2=AC2, 所以CD2=AC2-AD2=81. 因为CD>0, 所以CD=9,所以BC=BD+CD=5+9=14. 6.D 7.51 cm28.30 9.24 [解析]由勾股定理，得AB2=BC2+AC2,则阴影部分 的面积为-2×()2+2×()2+SaHn2× ()2=-×(BC2+AC2-AB)+24=4(cm2) 10.解：连接AC.因为∠B=∠D=90°, 所以△ABC与△ACD都是直角三角形. 在Rt△ABC中， 根据勾股定理，得AC2=AB2+BC2=202+152=625, 则AC=25m. 在Rt△ACD中， 根据勾股定理，得AD2=AC2-CD2=252-72=576, 则AD=24m, 故S四边形ADCD=S△nc +SAcD=—AB·BC+—AD·CD =2×20×15+2×24×7=234(m2). 答：草坪ABCD的面积为234m2. 【能力提升练】 1.C 2.A 3.A 4.12 [解析]因为△PBC与△PAC是直角三角形，AC=2,BC =4,所以PB2=PC2+BC2,PA2=PC2+AC2,所以PB2- PA2=PC2+BC2=PC2=AC2=BC2=AC2=42-22=16-4 =12. 5.解：因为△ACH为直角三角形， 所以AH2+HC2=AC2. 又因为AH=HC,所以AH2= 2AC2, 所以 S△Acn=2AH×HC=2AH2=4AC2. 同理，S△BCP=—BC2,S△ABE=÷AB2. 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2,AB=3, 所以阴影部分的面积为S△ACH+S△BCR+S△ABE =4AC2+4BC2+4AB2 4(4C2+BC2+AB2) =4×2AB2=2×9=2 6.解：【合作探究】(1)14-x (2)由勾股定理，得AD2=AB2-BD2=152-x2, AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2, 故152-x2=132-(14-x)2,解得x=9. 【类比应用】如答图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D, 则AD2=AB2-BD2=AC2-CD2, 即152-(4+CD)2=132-CD2, 解得CD=5,所以AD=12, 所以 S△AEc=2AD- BC=24. A B C D 6题答图 课时2 验证并应用勾股定理 【基础巩固练】 1.A [解析]因为勾a=3,弦c=5,所以股长为4,所以小正 方形ABCD的边长为4-3=1,所以面积为12=1.故选A. 2.(1)a+b c (2)(a+b)24×2ab+c2 (3)(a+b)2=4×2ab+c2c2=a2+b2 3.A 4.A 5.40 6.17m 7.解：在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=30m,AB=50m, 根据勾股定理，得BC2=AB2-AC2=502-302=1600, ·1· 同步练测·八年级数学·上册·北师版 所以BC=40m. 因为小汽车2s行驶了40m, 所以它的速度为420=20(m/s). 因为20m/s=72 km/h,且72>70, 所以这辆小汽车超速了. 【能力提升练】 1.C 2.D [解析]设直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,因为 题图①中大正方形的面积是24,所以a2+b2=c2=24.因为 小正方形的面积是4,所以(a-b)2=a2+b2-2ab=4,所以 ab=10,所以题图②中最大的正方形的面积为=c2+4× 2ab=24+2×10=44.故选D. 3.D 4.4.15.13 6.解：由题意可设EC的长为x,则DE=8-x. 因为△ADE折叠后的图形是△AFE, 所以AD=AF,DE=EF. 因为AD=BC=10,所以AF=10. 又因为AB=8,在Rt△ABF中，由勾股定理，得 BF2=AF2-AB2=102-82=36,所以BF=6, 所以FC=BC-BF=10-6=4. 在Rt△EFC中，由勾股定理，得FC2+EC2=EF2, 即42+x2=(8-x)2,解得x=3, 所以EC的长为3. 7.解：如答图，过点A作AE⊥CD于点E. C A E B D 7题答图 由题意知AB=3m,CD=14-1=13(m), BD=24m,则CE=13-3=10(m),AE=24 m. 在Rt△AEC中，AC2=CE2+AE2=102+242=262, 故AC=26m,则26÷5=5.2(s). 答：它至少需要5.2s才能赶回巢中. 2一定是直角三角形吗 【基础巩固练】 1.C 2.C 3.合格 4.直角 5.解：因为AB=15,BC=9,∠ACB=90°, 所以由勾股定理，得AC2=AB2-BC2=152-92=122, 所以AC=12. 因为52+122=132, 所以AD2+AC2=CD2,所以∠DAC=90°, 所以△ACD是直角三角形. 6.解：(1)因为在△ABE中，DE是AB边上的高， DE=5,△ABE的面积为25, 所以S△ABE=2AB×DE= —AB×5=25, 所以AB=10. (2)因为在△ABC中，BC=6,AC=8,AB=10, 所以AC2+BC2=82+62=102, 所以AC2+BC2=AB2,所以△ABC是直角三角形， 所以SABC=2×6×8=24, 所以四边形ACBE的面积为S△ABc+SABE=24+25=49. 7.D 8.16,63,65 【能力提升练】 1.B 2.C [解析]因为当m=3,n=1时，,a=—(m2-n2)= 2(32-12)=4,b=m=3×1=3,c=2(m2+n2)=2(32+ 12)=5,所以选项A不符合题意；因为当m=5,n=1时，a =2(m2-n2)=—(52-12)=12,b=mm=5×1=5,c= 2(m2+n2)=—(52+12)=13,,所以选项B不符合题意； 因为当m=7,n=1时，,a==—(m2-n2)= —(72-12)= 24,b=mm=7×1=7,c=÷—(m2+n2)=2(72+12)=25, 所以选项D不符合题意；因为没有符合条件的m,n使a,b, c各为6,8,10,所以选项C符合题意.故选C. 3.C 4.45°[解析]因为∠A=90°,AC=AB=4,所以∠ACB= ∠ABC=45°.在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=32,则CD2+ BC2=36.因为BD2=62=36,所以CD2+BC2=BD2,所以 ∠BCD=90°,所以∠ACD=∠BCD-∠ACB=45°. 5.45 [解析]如答图，连接EF.根据勾股定理可以得到AE2 =EF2=5,AF2=10,所以AE2+EF2=AF2,所以△AEF是 等腰直角三角形，所以∠EAF=45°. A D F E B C 5题答图 6.解：因为a2c2-b2c2=a?-b?, 即c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2), 当a≠b时，c2=a2+b2,所以△ABC为直角三角形； 当a=b时，△ABC为等腰三角形. 综上所述，△ABC为直角三角形或等腰三角形. ·2·