精品解析：河北省沧州市四校联考2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题

2024～2025学年高一下学期期末考试 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，请先填写试卷密封线内(或答题卡)考生信息. 3.本试卷主要命题范围：人教A版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，结合题意，列出不等式，求解即可. 【详解】复数在复平面内对应的点为，若其在第二象限， 则，解得. 故选：C. 2. 如图所示，梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD 用斜二测画法得到的直观图， 则平面图形ABCD的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积. 【详解】在梯形中，，则该梯形的高为， 梯形的面积为， 在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的， 所以平面图形的面积. 故选：D. 3. 下列说法正确是（    ） A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C. 若，，则 D. 向量与向量的长度相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题可根据单位向量、平行向量、相等向量等向量的基本概念，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误.  两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误.  当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误.  向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确.  故选：D. 4. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列四个命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，结合直观想象，判断选项. 【详解】A.若，，则或，故A错误； B.若，，，则可能平行，相交，故B错误； C.若，，，则，故C正确； D. 若，，，则可能，比如三棱柱的侧面和侧棱， 也可能三条交线交于一点，比如三棱锥的侧面和侧棱，故D错误. 故选：C. 5. 为了关注学生们的健康成长，学校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了名学生，将他们的身高划分成了、、、、五个层次，根据抽样结果得到如下统计图表，则从图表中不能得出的信息是（ ） A. 样本中层次身高的女生少于男生 B. 样本中层次身高人数最多 C. 样本中层次身高的学生人数占总人数的 D. 样本中层次身高的男生有人 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知和两个统计图表，对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】对于A选项，样本中女生人数为人，则样本中男生人数为人， 样本中层次身高的男生人数为人，女生人数为人， 所以，样本中层次身高的女生少于男生，A对； 对于B选项，因为男生中层次的比例最大，女生中层次的比例最大， 所以样本中层次身高人数最多，B对； 对于C选项，样本中层次身高的女生有人，男生层次的有， 所以样本中层次身高的学生人数占总人数为比例为，C对； 对于D选项，样本中层次身高的女生有人，D错. 故选：D 6. 节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，共种情况，其中一个节气是立春，有种情况，用古典概型概率计算公式即可. 【详解】记立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气分别为、、、，则样本空间，记事件表示“其中一个节气是立春”，则，由古典概型可知． 故选：C． 7. 投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（ ） A. A与B 是互斥事件 B. A 与B 是对立事件 C. A与C是独立事件 D. B与C 是独立事件 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件，对立事件，独立事件概率公式和定义，即可判断选项. 【详解】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确； 事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误 故选：C 8. 在中，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由题意及余弦定理、三角恒等变换等得，即，再根据正弦定理得到，从而得解. 【详解】因为，由正弦定理可得：，即， 所以 , 当且仅当，即时取等号， 即，所以正弦定理可得：，故的最大值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某科研院所共有科研人员200人，统计得到如下数据： 研究学科 性别 数学 物理 化学 生物 合计 女 15 10 24 31 80 男 45 40 18 17 120 合计 60 50 42 48 200 欲了解该所科研人员的创新能力，决定抽取40名科研人员进行调查，那么（ ） A. 若按照研究学科进行分层抽样（比例分配），则数学学科科研人员一定被抽取12人 B. 若按照性别进行分层抽样（比例分配），则男性科研人员可能被抽取20人 C. 若按照简单随机抽样，则女性科研人员一定被抽取10人 D. 若按照简单随机抽样，则可能抽出的均为数学学科科研人员 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A,B利用分层抽样即可判断，选项C,D则利用简单随机抽样判断即可. 【详解】对于选项A：按学科分层抽样，则数学学科抽样比为，则数学学科抽取人数为人，故A正确； 对于选项B：按性别分层抽样，男性抽样比为，则男性科研人员被抽到的人数为人，故选项B错误. 对于选项C：若按照简单随机抽样，则每个人被抽到的概率都相等，则女性科研人员不一定被抽取10人，选项C错误； 对于选项D: 若按照简单随机抽样，则每个人被抽到的概率都相等，则可能抽出的均为数学学科科研人员，故选项D正确； 故选：AD 10. 如图所示，是的边上的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量的加、减、数乘运算及数量积得运算即可求解. 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确； 故选：ABD 11. 如图，圆锥SO底面圆的圆心为O，AB是圆O的一条直径，SA与底面所成角的正弦值为，，P是母线SA的中点，C是母线SB上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥SO的母线长为12 B. 圆锥SO的表面积为 C. 一只蚂蚁沿圆锥SO的侧面上的曲线从点A爬到点P处，在蚂蚁所爬的最短路径中，这只蚂蚁离圆锥SO的顶点S的最短距离是 D. 在圆锥SO内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据与底面所成角的正弦值得到，然后利用勾股定理列方程，解方程即可；B选项，根据弧长公式得到，然后求面积；C选项，利用余弦定理得到，然后利用等面积的思路求；D选项，利用相似求圆锥内切球的半径，然后求正方体的体积即可. 【详解】 如图1，圆锥的轴截面为等腰三角形，则. 因为与底面所成角的正弦值为，所以， 所以，解得，故错误； 如图2，在圆锥的侧面展开图中，， 则圆锥的侧面积为， 所以圆锥的表面积为，故B正确； 如图2，过点作，垂足为. 中，， 由余弦定理可得， 则，即，解得，故C正确； 如图1，设圆锥内切球的球心为，过点作，垂足分别为， 由题意可知，则，所以. 因为，所以，所以，解得. 设该正方体棱长的最大值为， 则，解得， 所以该正方体的体积的最大值是，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：D选项的解题关键在于得到当正方体为圆锥内切球的内接正方体时，正方体的体积最大，然后通过计算内切球的半径求正方体的体积. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、2000人、3000人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、，估计该校学生的平均身高是______. 【答案】 【解析】 【分析】由分层抽样的概念求出各个年级抽得的人数，计算平均数即可. 【详解】因为高一、高二及高三年级分别有学生1000人、2000人、3000人， 用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本， 则高一、高二及高三年级分别抽人，人，人， 抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、， 所以该校学生的平均身高为. 故答案为：. 13. 已知向量，满足，，则向量与的夹角为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用数量积的运算律和向量的夹角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，，所以，所以， 设向量与的夹角为，则， 又，所以， 即向量与的夹角为， 故答案为： 14. 圆锥的全面积为，则它的体积的最大值为________________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据圆锥全面积得出关系，利用体积公式及二次函数求最值. 【详解】因为，所以， 所以， 即， 当时， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量. （1）若，求的值； （2）若求的值； （3）若向量，若与共线，求 【答案】（1） （2） （3）18 【解析】 【分析】（1）由垂直向量的数量积为零，建立方程求得向量坐标，利用向量的坐标运算，可得答案； （2）由平行向量的坐标表示，建立方程求得向量坐标，利用向量的模长公式，可得答案； （3）由向量坐标运算，求得向量坐标，利用平行向量的坐标表示，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 因为，所以，则，解得， 故，. 【小问2详解】 因为，所以，则，. 【小问3详解】 ，， 若与共线，则，解得，即， 故. 16. 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm. （1）以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； （2）求该三棱柱的外接球的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案； （2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积. 【小问1详解】 因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm， 所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm， 所以. 设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积. 所以剩下的几何体的体积. 【小问2详解】 由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体， 它的外接球的球半径满足，即. 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为. 17. 骰子通常作为桌游小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面的点数从小到大分别为1，2，3，4，5， （1）先后抛掷骰子两次，记“两次点数之和为4”，求事件A的概率； （2）甲、乙两人玩游戏，双方约定：游戏有2关，第一关抛掷一次，所得的点数不小于2，则算闯过第1关；第二关抛掷两次，所得的点数之和不小于7，则算闯过第2关.假定每次闯关互不影响.由甲连续挑战两关并均过关，则甲胜；否则，乙获胜.这种游戏规则公平吗？请说明理由. 【答案】（1） （2）不公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出基本事件总数，利用列举法求出事件包含的基本事件个数，再利用古典概型求解即可； （2）分别求出挑战第一关和第二关通过的概率，根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率求解即可. 【小问1详解】 先后抛掷骰子两次，基本事件总数， 事件包含的基本事件有：共3个， 事件的概率为； 【小问2详解】 抛掷1次骰子有共6种结果， 出现的点数不小于2的情况有共5种，则挑战第一关通过的概率为； 抛掷骰子两次，基本事件总数， 抛掷2次出现的点数之和不小于7的情况有 共21种， 则挑战第2关通过的概率为， 则连续挑战2关并过关的概率为， 所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 因，所以这种游戏不公平． 18. 北京时间2024年8月8日凌晨，中国花样游泳队以遥遥领先的得分优势，历史性地登上巴黎奥运会最高领奖台．赛后采访中，主教练透露自己在编排动作时，特别融入了中国元素，以甲骨文“山”字为造型（图1），体现了中国花游不畏艰难险阻，逐梦不止的精神．某公司也以此为创意，设计了本公司的LOGO，如图2．在中，，，点B，H，C在线段上，且，和都是等腰直角三角形，，交于点D，交于点E． （1）求； （2）求； （3）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定理可求得； （2）由余弦定理可求得，进而利用两角和的正弦公式可求得； （3）利用正弦定理可求得，进而由三角形的面积公式可求结论. 【小问1详解】 在中，由余弦定理， ，所以． 【小问2详解】 在中，，在中，由余弦定理， ， 则， ． 【小问3详解】 在中，，， 由正弦定理，， ， 四边形的面积为． 19. 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组 ，其中第4组，第1组，第2组的频数之比为1：2：4，请根据下面尚未完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理? （2）李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数： 已知这10个分数的平均数 标准差 若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差； （3）从样本数据在 两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自同一小组的概率. 【答案】（1）78 （2）8个分数的平均数是90，方差是 （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据频率比值求，再求百分位数，即可求解； （2）根据平均数和方差公式，再结合10个分数的平均数和方差公式，即可求解； （3）利用编号和列举的方法，结合古典概型概率公式，即可求解. 【小问1详解】 第4组，第1组，第2组的频数之比为1：2：4，所以， 设晋级分数线为分，则， 得， 所以晋级分数划为78分合理； 【小问2详解】 由条件可知，这10个数据的，， 设剩下8个数据的平均数为， 剩下8个数的方差为 【小问3详解】 因为分数在，这两组的频率比为， 所以抽取的6人中，抽取2人，抽取4人， 这组的2人编号为，这组 4人编号为， 6人中所有抽取2人的组合包含，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况 其中2人恰来自同一组包含，，，，，，，共7种情况， 所以两人恰好来自于同一小组的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年高一下学期期末考试 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，请先填写试卷密封线内(或答题卡)考生信息. 3.本试卷主要命题范围：人教A版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（ ） A B. 或 C. D. 2. 如图所示，梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD 用斜二测画法得到的直观图， 则平面图形ABCD的面积为（ ） A 1 B. C. D. 3 3. 下列说法正确的是（    ） A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C. 若，，则 D. 向量与向量的长度相等 4. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列四个命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 为了关注学生们的健康成长，学校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了名学生，将他们的身高划分成了、、、、五个层次，根据抽样结果得到如下统计图表，则从图表中不能得出的信息是（ ） A. 样本中层次身高的女生少于男生 B. 样本中层次身高人数最多 C. 样本中层次身高的学生人数占总人数的 D. 样本中层次身高的男生有人 6. 节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（ ） A. A与B 是互斥事件 B. A 与B 是对立事件 C. A与C是独立事件 D. B与C 是独立事件 8. 在中，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 某科研院所共有科研人员200人，统计得到如下数据： 研究学科 性别 数学 物理 化学 生物 合计 女 15 10 24 31 80 男 45 40 18 17 120 合计 60 50 42 48 200 欲了解该所科研人员的创新能力，决定抽取40名科研人员进行调查，那么（ ） A. 若按照研究学科进行分层抽样（比例分配），则数学学科科研人员一定被抽取12人 B. 若按照性别进行分层抽样（比例分配），则男性科研人员可能被抽取20人 C. 若按照简单随机抽样，则女性科研人员一定被抽取10人 D. 若按照简单随机抽样，则可能抽出的均为数学学科科研人员 10. 如图所示，是的边上的中点，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，圆锥SO底面圆的圆心为O，AB是圆O的一条直径，SA与底面所成角的正弦值为，，P是母线SA的中点，C是母线SB上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥SO的母线长为12 B. 圆锥SO的表面积为 C. 一只蚂蚁沿圆锥SO的侧面上的曲线从点A爬到点P处，在蚂蚁所爬的最短路径中，这只蚂蚁离圆锥SO的顶点S的最短距离是 D. 在圆锥SO内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、2000人、3000人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、，估计该校学生的平均身高是______. 13. 已知向量，满足，，则向量与夹角为________． 14. 圆锥的全面积为，则它的体积的最大值为________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量. （1）若，求的值； （2）若求的值； （3）若向量，若与共线，求 16. 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm. （1）以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； （2）求该三棱柱的外接球的表面积. 17. 骰子通常作为桌游小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面的点数从小到大分别为1，2，3，4，5， （1）先后抛掷骰子两次，记“两次点数之和为4”，求事件A的概率； （2）甲、乙两人玩游戏，双方约定：游戏有2关，第一关抛掷一次，所得的点数不小于2，则算闯过第1关；第二关抛掷两次，所得的点数之和不小于7，则算闯过第2关.假定每次闯关互不影响.由甲连续挑战两关并均过关，则甲胜；否则，乙获胜.这种游戏规则公平吗？请说明理由. 18. 北京时间2024年8月8日凌晨，中国花样游泳队以遥遥领先得分优势，历史性地登上巴黎奥运会最高领奖台．赛后采访中，主教练透露自己在编排动作时，特别融入了中国元素，以甲骨文“山”字为造型（图1），体现了中国花游不畏艰难险阻，逐梦不止的精神．某公司也以此为创意，设计了本公司的LOGO，如图2．在中，，，点B，H，C在线段上，且，和都是等腰直角三角形，，交于点D，交于点E． （1）求； （2）求； （3）求四边形的面积． 19. 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组 ，其中第4组，第1组，第2组的频数之比为1：2：4，请根据下面尚未完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理? （2）李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数： 已知这10个分数的平均数 标准差 若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差； （3）从样本数据在 两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自同一小组的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $