第15章 数学活动&易错疑难集训三-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（人教版2024 黑龙江专版）

第十五章 轴对称 数学活动 [答案 P18] 活动①美术字与轴对称 ①汉字是中华文明的标志，它经历了甲骨文、金 文、篆书、隶书、草书、楷书、行书的演变过程，每 种书体都有着鲜明的艺术特征.下面文字属于 轴对称图形的是 ( ) 得饕业蹈 A B C D 活动②利用轴对称设计图案 ② 已知网格中每个小正方形的边长都是1,图①中 的阴影图案是由四个小正方形组成的大正方形 的一条对角线和以其中一个小正方形顶点为圆 心、2为半径所画的圆弧围成的弓形.请你在图 ②中以图①为基本图案，借助轴对称和平移设 计一个图案，使该图案为轴对称图形. 2题图① 2题图② 活动③等腰三角形中相等的线段 3【问题情境】数学活动课上，老师提出了一个问 题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗? 同学们就这个问题展开探究. 【问题初探】 (1)希望小组的同学们根据题意画出了相应的 图形，如图①,在△ABC中，AB=AC,D是BC 的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E, F.经过探究讨论，该小组的同学们得出的结 论是DE=DF,他们的证法如下： 证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠DEB=∠DFC=90°. ∵AB=AC,∴ ∠B=∠C(依据1). ∵D是BC的中点，∴ BD=CD. 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(依据2), ∴DE=DF. ①请写出依据1和依据2的内容： 依据1: 依据2: : ②请你写出另一种证法； 【问题再探】 (2)未来小组的同学们经过探究又有新的发现， 如图②,在△ABC中，D是BC的中点，DE1 AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,作腰AB上的 高CG,则CG与DE有确定的数量关系.请 你直接写出这个数量关系：____; 【类比探究】 (3)奋斗小组的同学们认真研究过后，发现了以 下两个正确结论：①如图③,在△ABC中， AB=AC,D为BC的中点，若DE,DF分别为 △ABD和△ACD的中线，那么DE=DF仍然 成立；②如图④,在△ABC中，AB=AC,D为 BC的中点，若 DE,DF分别为△ABD和 △ACD的角平分线，那么DE = DF仍然成 立.请你选择其中一个结论证明. A E F BDC A G E F BD C A E F B D C A E F B DC 3题图① 3题图② 3题图③ 3题图④ 知识精讲 固 A1匹配资源 AT智能工具 A1方法指导 见此图标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 63 抖音/微信 扫码进阶 同步练测·八年级数学(上册) [答案 P18]易错疑难集训三 易错疑难点③)不能正确理解对称轴的含义 画出图中图形的对称轴. A D B C 1题图 易错疑难点②混淆关于坐标轴对称与其他直线 对称的坐标关系 2 △ABC三个顶点的横坐标不变，纵坐标均乘-1 后得到△DEF,则△ABC与△DEF的位置关系 是 ( ) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.△ABC向下平移1个单位长度后得到△DEF 3点(3,4)关于直线y=2 对称的点的坐标 为____ 易错疑难点③遗漏对称轴条数 4 如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴 共有 ( ) 4题图 A.1条 B.3条 C.5条 D.无数条 易错疑难点④没有正确利用轴对称的性质 5 如图，作出△ABC关于直线BC对称的图形. A B C 5题图 易错疑难点⑤对线段的垂直平分线的判定理解 不清 6 如图，直线l与线段AB交于点0,点P在直线l 上，且PA=PB,则下列结论正确的有( ) ①AO=BO; ②PO⊥AB; ③∠APO=∠BPO; ④点P在线段AB的垂直平分 线上. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 l P A- 0 B 6题图 7如图，平面上的四边形ABCD是一个“风筝”形 的骨架，其中AC是∠BAD的平分线，∠ABC= ∠ADC=90°.求证：AC是线段BD的垂直平 分线. A B← D ? 7题图 易错疑难点⑥网格或平面直角坐标系中确定等 腰三角形个数时漏解 8 在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称 为格点.已知A,B是两格点，如果C也是图中的 格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么点C的 个数是 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 y4 /A B A 0 8题图 9题图 9如图，在平面直角坐标系中，0是原点，OA与 x轴正半轴的夹角为60°,P是x轴上的动点，且 满足△OAP为等腰三角形，点P的可能位置共 有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 64 见此图标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 同步练测·八年级数学(上册) (2)如答图，分别作点P关于OM,ON的对称点P′,P",连接 OP,OP′,OP”,P'P”,P'P”交OM,ON M 于点A,B,连接PA,PB,则AP=AP′, P′ BP=BP”, 此时△PAB周长的最小值等于P'P” A× P 的长， 由对称性可得OP′=OP"=OP, ∠P'OA=∠POA, 02 B N ∠P"OB=∠POB, ∴∠P'OP=2∠MON=2×60°=120°, P" ∴∠OP'P"=∠OP"P′=(180°-120°)÷ 6题答图 2=30°,∴.∠OPA=∠OP′A=30°. 同理可得∠BPO=∠OP"B=30°, ∴∠APB=30°+30°=60°. 7.D 8.B 数学活动 1.B 2.解：如答图所示.(答案不唯一) 2题答图 3.(1)①解：依据1:等腰三角形的两个底角相等(或等边对 等角) 依据2:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三 角形全等(或角角边或AAS) ②证明：如答图，连接AD.∵AB=AC,D A 是BC的中点，∴AD是∠BAC的平分 线.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF. (证法不唯一) (2)解：CG=2DE (3)证明：(任选一个证明即可)选择 ①:∵DE,DF分别是△ABD和△ACD 的中线， E巨 F B D C BE=2AB,CF= 2AC 3题答图 ∵AB=AC,∴BE=CF,∠B=∠C. 又∵D是BC的中点， ∴ BD=CD. 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(SAS), ∴DE=DF. 选择②:∵AB=AC,D是BC的中点， ∴∠B=∠C,BD=CD,AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=90°. 又∵DE,DF分别是△ABD和△ACD的角平分线， ∴∠BDE=∠CDF=45°. 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(ASA), ∴DE=DF. 易错疑难集训三 1.解：如答图，直线l?,l2,l?,l?为所求的对称轴. L I? A D l? l? B C 1题答图 X易错分析⋯----⋯ 在确定对称轴时，应严格按照对称轴的定义指出 全部对称轴，还要明确对称轴是直线. 2.A 3.(3,0) 《易错分析-------------------- 错解误将直线y=2当成y轴而出错.当所求的点与点 P(x,y)关于y=a对称时，其对称点P'的坐标为(x,2a- y).∵2a-y=2×2-4=0,:对称点P′的坐标为(3,0). 4.C 5.解：过点A作AD⊥CB交CB的延长线于点D,延长AD至点 A',使A'D=AD,分别连接A'B,A'C,则△A'BC与△ABC关于 直线BC对称，如答图. D A' A- B C 5题答图 X易错分析------------- 没有正确理解轴对称的意义，因为B,C两点在对 称轴BC上，关键是作出点A关于对称轴的对称点A', 即可作出△ABC关于直线BC对称的图形. 6.A X易错分析⋯------⋯ 由已知只能得出点P在线段AB的垂直平分线上. 因为两点才能确定一条直线，所以无法确定直线l是否 为线段AB的垂直平分线.因此，结论①②③都不一定 正确. 7.证明：∵AC是∠BAD的平分线，∴∠BAC=∠DAC. 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(AAS),∴AB=AD,CB=CD, ∴A,C两点都在线段BD的垂直平分线上， ∴AC垂直平分BD,即AC是线段BD的垂直平分线. X易错分析.-⋯----⋯ 过点C的直线有无数条，它们不都是BD的垂直平 分线，所以由点C在BD的垂直平分线上就推得AC垂 直平分BD是错误的.实际上，要判定一条直线是一条 线段的垂直平分线，至少应找出直线上的两点在这条线 段的垂直平分线上： 8.C 9.B 本章考点检测训练 1.C 2.B 3.A ·18·