第14章 数学活动&易错疑难集训二-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（人教版2024 辽宁专版）

同步练测·八年级数学(上册) [答案 P9]数学活动 活动①)利用全等设计图案 1 如图①,正方形被划分成16个全等的三角形，将 其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件： (1)涂黑部分的面积是原正方形面积的一半； (2)涂黑部分中存在全等图形. 如图②是一种涂法，请在图④、⑤、⑥中分别设 计另外三种不同的涂法(在所设计的图案中，若 涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图②与 图③). ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 1题图 活动②用全等三角形证明拼图猜想 ② 如图①,在Rt△ABC中，∠C=90°,D是AB的中 点，过点D作DE⊥AC于点E,过点B作BF⊥ ED,交ED的延长线于点F. (1)求证：△DFB≌△DEA; (2)某数学兴趣小组解答(1)后发现，在图中只 需将△AED剪下来拼到△BFD处，就可得到 一个与图①中△ABC等面积的长方形 EFBC.继续讨论后又发现，任意三角形也可 以剪拼成一个等面积的长方形，请你在图② 中画出一种剪拼示意图，并简要说明作法(不 需要证明). A C E D F C- B A B 2题图① 2题图② 38 3小明和小华各买了一副大小不同的三角板.小 明把他们两人的等腰直角三角板的直角的顶点 和一直角边叠在一起拼成如图①的图形(△ABC 和△ADE),∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD =AE,连接BD,CE. (1)求证：BD=CE; (2)小华把小明的拼图动了一下，但两块三角板 的直角顶点还是叠在一起的，如图②,请问 BD和CE还相等吗?证明你的结论； (3)请分别指出两个拼图中，BD与CE的位置关 系，并说明理由. B B E E C C4 A D A D 3题图① 3题图② 见此图标眼微信扫码难题轻松解练出好 绩 第十四章 全等三角形 易错疑难集训二 [答案 P10] 易错疑难点①对全等形的定义理解不透 ①下列说法中正确的是 ( ) A.面积相等的两个图形一定是全等形 B.两个等边三角形是全等形 C.两个全等形的面积一定相等 D.周长相等的两个图形一定是全等形 易错疑难点②对全等三角形的对应关系理解不透 2 如图，△ABC≌△CDA. 下列结论：①AB与AD是对应边； ②AC与CA是对应边； ③∠BAC与∠DAC是对应角； ④∠CAB与∠ACD是对应角. 其中正确的是____.(请填写序号) D C A“ B 2题图 易错疑难点③误用“SSA”证明三角形全等 3 (重庆江津区期中)△ABC和△DEF全等，AB与 DE是对应边，AB=2,BC=4,若△DEF的周长 为奇数，则DF= ( ) A.3 B.4 C.3或5 D.3或4或5 4如图，AB=12m,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点 B,且AC=4m,点P从点B向点A运动，速度为 1m/min,点Q从点B向点D运动，速度为 2 m/min,P,Q两点同时出发，运动_______min 后，△CAP与△PBQ全等. D Q C、 A P B 4题图 5如图，在△ABC中，BD=CD,∠1=∠2.求证：AD 平分∠BAC. A 1 D 2 B C 5题图 易错疑难点④对图形考虑不全面 6两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形 全等吗? 知识精讲 固 A1匹配资源 AT智能工具 A1方法指导 见此图标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 39 抖音/微信 扫码进阶 参考答案及解析 ∵∠A=60°,∴.∠ABC+∠ACB=120°, ∴∠OBC+∠OCB=60°, ∴∠BOE=∠COD=∠OBC+∠OCB=60°, A E D0 B G C 3题答图 在△CDO和△CGO中，25oc ∴△CDO≌△CGO(SAS), ∴∠COD=∠COG=60°, ∴∠BOG=180°-∠BOE-∠COG=60°, ∴∠EOB=∠GOB. 在△BOE和△BOG中，- ∴△BOE≌△BOG(ASA),∴ BE=BG, ∴BC=BG+CG=BE+CD. 4.解：DE+BF=EF. 证明：延长CB至点G,作∠5=∠1,如答图所示. A 5432 D E G B F C 4题答图 ∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC, LEAF=—∠DAB, ∴AB=AD,∠ABC=∠ADE,∠2+∠3=∠1+∠4. ∵∠5=∠1,∴ ∠2+∠3=∠4+∠5,∴∠GAF=∠EAF. 在△AGB和△AED中， ∴△AGB≌△AED(ASA),∴ AG=AE,BG=DE. 在△AGF和△AEF中，5m ∴△AGF≌△AEF(SAS),∴GF=EF, ∴BG+BF=EF,∴DE+BF=EF. 5.证明：如答图，过点P分别作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于 点N. 4 MD P B NEC 5题答图 ∵BP平分∠ABC, ∴PM=PN. 在Rt△DPM和Rt△EPN中，{PM=PN, ∴Rt△DPM≌Rt△EPN(HL), ∴∠PDM=∠PEN,即∠ADP=∠BEP. ∵∠BDP+∠ADP=180°, ∴∠BDP+∠BEP=180°. 6.证明：过点P作PE⊥0A于点E, PF⊥OB于点F,如答图. ∴∠PEO=∠PFO=90°, ∴∠EPF+∠AOB=180°. ∵∠MPN+∠AOB=180°, ∴∠EPF=∠MPN, ∴∠EPM=∠FPN. ∵OP平分∠AOB, PE⊥OA,PF⊥OB, ∴PE=PF. 在△PEM和△PFN中， A ME P 0 NF B 6题答图 ∴△PEM≌△PFN(ASA), ∴PM=PN. 7.证明：如答图，延长AD交BC于点F. ∵AD⊥BE, ∴∠ADB=∠FDB=90°. ∵BE是角平分线， ∴∠ABD=∠FBD. 在△ABD和△FBD中， r∠ABD=∠FBD, 20=B= FDB, A E 2 D C F B 7题答图 ∴△ABD≌△FBD(ASA), ∴∠2=∠AFB. 又∵∠AFB=∠1+∠C, ∴∠2=∠1+∠C. 8.证明：如答图，延长CE,BA交于点F. ∵CE⊥BD,∠BAC=90°, ∴∠ABD=∠ACF,∠BAD=∠CAF=90°. 在△ABD和△ACF中， ∴△ABD≌△ACF(ASA), C DE B A 下 8题答图 ∴BD=CF. ∵BD平分∠ABC, ∴∠CBE=∠FBE. 在△BCE和△BFE中， 0c B ∴△BCE≌△BFE(ASA), ∴CE=FE,即CE= —CF, CE= BD. 数学活动 1.解：如答图①、②、③.(答案不唯一) 1题答图① 1题答图② 1题答图③ ·9· 同步练测·八年级数学(上册) 2.(1)证明：∵DE⊥AC,BF⊥ED,D是AB的中点， ∴∠AED=∠BFD=90°,AD=BD. ∵∠ADE=∠BDF,∴△DFB≌△DEA. (2)解：如答图所示.(答案不唯一) C 中点 A B 2题答图 作法：找AC,BC的中点，过两中点作一条直线，分别过点A, B作该直线的垂线，得到的以AB为边的长方形与△ABC的 面积相等. 3.(1)证明：在△ABD和△ACE中，0= CH-90 ∴△ABD≌△ACE(SAS),∴ BD=CE. (2)解：BD=CE.证明： ∵∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠BAD. 在△ABD和△ACE中，L ∴△ABD≌△ACE(SAS), BD=CE. (3)解：两个拼图中，BD与CE的位置关系均为互相垂直. 理由：如答图①,延长CE交BD于点F. ∵△ABD≌△ACE, ∴∠ADB=∠AEC. ∵∠ABD+∠ADB=90°,∠AEC=∠BEF, ∴∠ABD+∠BEF=90°, ∴CE⊥BD. 如答图②,设AB与CE交于点F. ∵△ABD≌△ACE, ∴∠ACE=∠ABD. ∵∠ACF+∠AFC=90°,∠AFC=∠BFE, ∴∠ABD+∠BFE=90°, ∴CE⊥BD. B E F C A D 3题答图① 易错疑难集训二 B E C4 A D 3题答图② 1.C X易错分析⋯--⋯ 全等形关注的是两个图形的形状和大小，两个全 等形的面积相等，周长也相等，但面积相等或周长相等 并不能保证两个图形一定是全等形.一般地，只有两个 图形的形状和大小完全相同，我们才可以说两个图形 是全等形⋯ 2.②④ 3.D [解析]∵△ABC和△DEF全等，∴ △ABC和△DEF的 周长相等，∴△ABC的周长为奇数，又∵AB=2,BC=4, ∴AC的长为奇数.根据三角形的三边关系，得4-2<AC<4 +2,即2<AC<6,∴ AC=3或5.∵AB与DE是对应边， ∴DF的对应边是AC或BC,∴DF=3或4或5. X易错分析-------------------- 本题的易错之处是没有进行分类讨论，虽然AB与 DE是对应边，但另两边的对应关系不明确，因此需要 分类讨论求解.“全等”与“≌”意义不一样，“≌”表示 对应关系已经确定，而“全等”中的对应关系不确定，因 此，当题中出现“全等”时，应分类讨论进行解答，否则 容易漏解... 4.4 [解析]①若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ,可得 {12-1=22,解得t=4;②若△ACP≌△BQP,则AC=BQ,AP =BP,可得.{4=12-1,无解.综上所述，存在t=4使得 △ACP与△BPQ全等. ∠A=∠B=90° CA⊥AB,DB⊥AB BP=xm,BQ=2xm, 分情况 AP=(12-x)m 设运动时间为xmin 讨论 BP=AC x=4- AP=BQ=8m→△CAP≌△PBQ BP=AP x=6 BQ=12m≠AC-△CAP与△QBP不全等 5.证明：如答图，过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥AC于 点F. ∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠BED= ∠AED= ∠CFD= ∠AFD =90°. 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(AAS), A E F 1 D 2 B 5题答图 C ∴DE=DF. 在Rt△ADE和 Rt△ADF中，{{DE=DF, ∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL), ∴∠DAE=∠DAF,∴AD平分∠BAC. 6.解：不一定全等.如答图. C C' A D B A' 6题答图 B'D' AB=A'B′,BC=B'C′,CD⊥AB,C'D′⊥A'B′,且CD=C'D', 但△ABC与△A'B'C′不全等. 世分析 在证明过程中，如果题中没有给出图形，一定要先 作出图形所有可能的情况，然后再根据已知的条件，结 合图形，用学过的三角形全等的判定方法逐个判定 本章考点检测训练 1.B 2.B 3.B 4.(1,4)5.10 6.90° 7.解：∵∠D=25°,∠AED=105°,∴∠DAE=50°. 又∵△ABC≌△ADE, ∴∠B=∠D=25°,∠BAC=∠DAE=50°. ∵∠DAC=10°,∴∠BAD=60°, ∴∠AMF=∠BAD+∠B=60°+25°=85°, ∴∠DFB=∠AMF-∠D=85°-25°=60°. 8.证明：∵AD//BC,∴∠DAE=∠ACB. ∵∠CED+∠B=180°,∠CED+∠AED=180°, ∴∠AED=∠B. ·10·