精品解析：江苏省淮安市2024-2025学年高二下学期期末调研测试数学试题

2024－2025学年度第二学期期末高二调研测试 数学试题 2025.06 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，只要将答题卡交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，集合，所以，故中的元素个数为3. 故选：C． 2. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数中真数大于零列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：A 3. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列数计算公式判断AB，根据组合数计算公式判断CD. 【详解】对于A，因为，所以，错误； 对于B，因为，所以，错误； 对于C，因为， 所以，错误； 对于D，因为，所以，正确. 故选：D 4. 下列函数中，其图象与函数的图象关于坐标原点对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点的对称性，代入中，求出函数的解析式，结合选项即可判断. 【详解】设函数的图象关于坐标原点对称的函数为， 设函数图象上任一点，则点关于原点对称的点， 将Q坐标代入得，即，所以函数为. 由选项可知，只有A选项符合题意. 故选：A 5. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据在上单调递增列不等式组求解的取值范围，然后利用充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以，解得，所以的取值范围为， 由能推出，但是由得不出， 所以“”是“在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B 6. 已知为正数，，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，然后根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【详解】因为为正数，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 7. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】因为点分别为的中点，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 又，则，所以. 故选：D. 8. 已知函数定义域为为偶函数，是奇函数且，则（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】B 【解析】 【分析】由为奇函数得对称中心为，结合为偶函数，求周期为，从而求出，利用周期性即可求解. 【详解】因为为奇函数，则，且函数的图象关于中心对称，即， 因为为偶函数，所以，则， 所以，，所以，故的周期为， 因为， 所以 . 故选：B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设随机变量，则 B. 设离散型随机变量满足，则 C. 设随机变量服从正态分布，则 D. 从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式求解判断A，根据均值的性质求解判断B，根据正态分布的对称性判断C，结合组合数根据古典概型概率公式求解判断D 【详解】对于A，若随机变量，则，，故A正确； 对于B，若离散型随机变量满足，则，故B错误； 对于C，随机变量服从正态分布，均值为，则，故C正确； 对于D，，，所以，故D错误. 故选：AC 10. 为了探讨学生的物理成绩与数学成绩之间的关系，从某批学生中随机抽取10名学生的成绩，并计算出，物理成绩关于数学成绩的线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当某学生数学成绩为100时，物理成绩一定为92.5 C. 相关系数 D. 现发现10位同学中有两位同学数据（70，65）和（90，100）误差较大，剔除这两对数据后，得到的线性回归方程为，则实数的值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AD：根据线性回归方程必过样本中心点运算求解；对于B：代入，结合回归方程的意义分析判断；对于C：根据正相关的定义分析判断. 【详解】对于选项A：因为线性回归方程必过样本中心点， 由题意可得：，故A正确； 对于选项B：令，可得， 但回归方程只能用于预测结果，并不一定与实际结果完全相等， 所以预测物理成绩为92.5，故B错误； 对于选项C：因为，即线性回归方程为的图象是上升的， 可知与满足正相关，所以相关系数，故C正确； 剔除这两对数据后，， ， 因为线性回归方程必过样本中心点， 所以，则，D正确. 故选：ACD 11. 已知，则下列说法中正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则中含项的系数为48 D. 若为偶数，则能被4整除 【答案】ABD 【解析】 【分析】逆用二项式定理求得，解方程判断AB；先求出，再根据这一项的生成过程分类讨论求解系数判断C；，结合二项展开式可得能被4整除判断D. 【详解】因为，所以，即， 对于A，若，则，解得，正确； 对于B，若，则，即， 由单调递减，及，可得，正确； 对于C，若，则，解得， 对于二项式，要生成这一项，相当于从5个含有的括号中， 若2个取出，1个取出，2个取出，则， 若1个取出，3个取出，1个取出，则， 若5个取出，则， 所以的系数为，错误； 对于D，，偶数，不妨记， 则 能被8整除，所以能被4整除，正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则该函数在处的切线斜率为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】求出即可得解. 【详解】已知函数， ，则， 所以函数在处的切线斜率为. 故答案为： 13. 已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】由空间四点构成梯形，则四点首先共面，利用空间向量基本定理可求，再代入验证即可. 【详解】因为空间四点构成梯形，所以四点首先共面， 则，即， ， 当时，，所以， 即，且，此时为梯形， 所以. 故答案为：4. 14. 学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的套餐和套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，则第2天选择套餐的概率为_____，设开学4天后，他累计选套餐的天数为，则_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由已知结合全概率公式即可求解第2天选择套餐的概率；先求出第天选择套餐的概率，再由得解. 【详解】设“第天选择套餐”，则“第天选择套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式，得； 设“第天选择套餐”， 则，，，， 由全概率公式，得， 即， 则， 则. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知（为常数）． （1）当时，求的二项展开式中各项系数的和； （2）若的二项展开式中常数项为24，求实数的值． 【答案】（1）256． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，令即可得解； （2）利用二项展开式通项公式求解. 【小问1详解】 当时， 因为，令时， 则的二项展开式中各项系数的和为． 【小问2详解】 因为的二项展开式的第项， ， 因为的二项展开式中常数项为24， 所以，即， 又因为，所以，即． 16. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了50人，得到如下列联表： 正常 不正常 合计 患该疾病 7 18 25 未患该疾病 19 6 25 合计 26 24 50 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关． 附：． 【答案】（1） （2）认为主场作战与比赛胜负与主场有关联 【解析】 【分析】（1）根据古典概型计算求解； （2）计算卡方，与临界值比较即可判断. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ：假设超声波检查结果与患该疾病有关没有关联． 根据小概率值的独立性检验，认为超声波检查结果与患该疾病有关联. 17. 已知为奇函数，． （1）求实数的值； （2）求函数的值域； （3）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质求得，然后检验满足即可得解； （2）根据，结合不等式性质求解函数的值域； （3）先判断为增函数，令，然后将函数有两个零点转化为在上有两不等根，最后利用二次函数根的分布列不等式组求解即可. 【小问1详解】 函数定义域为， 因为为奇函数，所以 当时，，所以，故， 则，经检验，满足条件，故． 【小问2详解】 因为，所以， 所以，即，所以， 所以函数的值域． 【小问3详解】 因为为增函数，所以为增函数，为减函数， 所以为增函数．令，则． 由（2）可知，当时，仅一根， 所以在上有两不等根， 所以，解得，所以． 18. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，．平面，点为棱上的点，点为棱上的点，点为棱上的点． （1）若、分别为棱，的中点，证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）若，当取何值时，三棱锥体积取得最大． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用线面平行的判定定理证明平面，平面，进而利用面面平行的判定定理证明平面平面，最后利用面面平行的性质定理证明线面平行. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解线面角的正弦值. （3）法一：设点到平面的距离为，三棱锥体积为，利用向量法求得点到平面距离，即得点到平面距离，利用等面积法求得点到棱的距离，进而求出的面积及，利用导数法求得其最大值； 法二：由等积法可知，设，利用导数法求得其最大值． 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为、分别为棱，的中点， 所以， 因为平面平面， 所以平面，同理平面， 因为平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面. 【小问2详解】 由题意中平面得两两垂直， 以为正交基底建立空间直角坐标系， 则因为， 所以， 所以． 设平面的一个法向量， 则， 不妨设，则，即：， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 法一：设点到平面（也即平面）的距离为， 三棱锥体积为，则， 由（2）可知平面的一个法向量， 点到平面距离， 因为，所以点到平面距离． ， 所以，即直角三角形，所以， 所以点到棱的距离为， 又因为，所以，且点到边的距离为， 所以的面积为． 所以，其中． 所以，所以， 令可得，列表如下： + 0 － 递增 极大值（最大值） 递减 答：当取何值时，三棱锥体积取得最大． 法二：三棱锥体积为，则， 因为，所以，， 所以， 所以， 则， 令可得，列表如下： + 0 － 递增 极大值（最大值） 递减 答：当取何值时，三棱锥体积取得最大． 19. 在Python编程语言中，数组可以看作是行、列的数表，第行、第列的数记为，例如表示第2行、第3列的数．如果数组中存在，对任意的，都有，且成立，则称该数组为“数组”，满足条件的记为“数组”的“核”． （1）若数组与数组以数表形式表示如下： 判断数组与数组是否为“数组”，如果是，求出它的“核”； （2）已知数组是一个元素互不相同的数组，元素，，在数组是“数组”的条件下，求它的“核”是4的概率； （3）现将这个元素全部填入数组中，满足是“数组”的全体构成一个集合，从集合中任取一个元素，记它的“核”为，求随机变量的数学期望． 【答案】（1）数组不是“数组”；数组是“数组”，它的“核”为7． （2）． （3） 【解析】 【分析】（1）根据“β数组”的定义，逐行、逐列进行验证，易得. （2）设数组是“数组”为事件，数组的“核”是4为事件，分类讨论求出事件的个数及事件N的个数，利用条件概率公式求解即可. （3）求出随机变量取值，求出对应的概率，利用数学期望公式求出期望表达式，最后利用“倒序相加”. 【小问1详解】 根据“β数组”定义，逐行、逐列进行验证，易得： 数组中不存在这样的数，所以数组不是“数组”； 数组中有且仅有7满足题意，数组是“数组”，它的“核”为7． 【小问2详解】 设数组是“数组”为事件，数组的“核”是4为事件． 若数组是“数组”时，可设它的“核”为，因为的每行有2个元素， 每列有3个元素，且，则． 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： 假设一个“数组”中同时存在两不同个“核”和． 若和处于同一行或处于同一列时，根据定义则必有，这与和不同矛盾； 若和不同行也不同列时，不妨设， 根据定义可得：， 所以，同样产生矛盾，所以“数组”的“核”是唯一的． 所以． 答：是“数组”的概率为． 【小问3详解】 根据题意的可能取值为（共个取值）， 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： …… 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”个数为： 由这些计数无重复，故的元素个数为 注意到以上计数具有对称性，即： …… 所以利用“倒序相加”法我们有： ，，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度第二学期期末高二调研测试 数学试题 2025.06 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，只要将答题卡交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，其图象与函数的图象关于坐标原点对称的是（ ） A. B. C D. 5. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 已知为正数，，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 7. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 已知函数定义域为为偶函数，是奇函数且，则（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设随机变量，则 B. 设离散型随机变量满足，则 C. 设随机变量服从正态分布，则 D. 从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则 10. 为了探讨学生的物理成绩与数学成绩之间的关系，从某批学生中随机抽取10名学生的成绩，并计算出，物理成绩关于数学成绩的线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当某学生数学成绩为100时，物理成绩一定为92.5 C 相关系数 D. 现发现10位同学中有两位同学数据（70，65）和（90，100）误差较大，剔除这两对数据后，得到的线性回归方程为，则实数的值为 11. 已知，则下列说法中正确的是（       ） A. 若，则 B 若，则 C. 若，则中含项系数为48 D. 若为偶数，则能被4整除 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则该函数在处的切线斜率为_____． 13. 已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为_____． 14. 学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的套餐和套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，则第2天选择套餐的概率为_____，设开学4天后，他累计选套餐的天数为，则_____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知（为常数）． （1）当时，求的二项展开式中各项系数的和； （2）若的二项展开式中常数项为24，求实数的值． 16. 为研究某疾病与超声波检查结果关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了50人，得到如下列联表： 正常 不正常 合计 患该疾病 7 18 25 未患该疾病 19 6 25 合计 26 24 50 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关． 附：． 17. 已知为奇函数，． （1）求实数的值； （2）求函数的值域； （3）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，．平面，点为棱上的点，点为棱上的点，点为棱上的点． （1）若、分别为棱，的中点，证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）若，当取何值时，三棱锥体积取得最大． 19. 在Python编程语言中，数组可以看作是行、列的数表，第行、第列的数记为，例如表示第2行、第3列的数．如果数组中存在，对任意的，都有，且成立，则称该数组为“数组”，满足条件的记为“数组”的“核”． （1）若数组与数组以数表形式表示如下： 判断数组与数组是否为“数组”，如果是，求出它的“核”； （2）已知数组是一个元素互不相同的数组，元素，，在数组是“数组”的条件下，求它的“核”是4的概率； （3）现将这个元素全部填入数组中，满足是“数组”的全体构成一个集合，从集合中任取一个元素，记它的“核”为，求随机变量的数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$