第15章 轴对称 本章考点检测训练&综合与实践 最短路径问题-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（人教版2024）

同步练测·八年级数学(上册) (2)如答图，分别作点P关于OM,ON的对称点P′,P",连接 OP,OP′,OP”,P'P”,P'P”交OM,ON M 于点A,B,连接PA,PB,则AP=AP′, P′ BP=BP”, 此时△PAB周长的最小值等于P'P” A× P 的长， 由对称性可得OP′=OP"=OP, ∠P'OA=∠POA, 02 B N ∠P"OB=∠POB, ∴∠P'OP=2∠MON=2×60°=120°, P" ∴∠OP'P"=∠OP"P′=(180°-120°)÷ 6题答图 2=30°,∴.∠OPA=∠OP′A=30°. 同理可得∠BPO=∠OP"B=30°, ∴∠APB=30°+30°=60°. 7.D 8.B 数学活动 1.B 2.解：如答图所示.(答案不唯一) 2题答图 3.(1)①解：依据1:等腰三角形的两个底角相等(或等边对 等角) 依据2:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三 角形全等(或角角边或AAS) ②证明：如答图，连接AD.∵AB=AC,D A 是BC的中点，∴AD是∠BAC的平分 线.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF. (证法不唯一) (2)解：CG=2DE (3)证明：(任选一个证明即可)选择 ①:∵DE,DF分别是△ABD和△ACD 的中线， E巨 F B D C BE=2AB,CF= 2AC 3题答图 ∵AB=AC,∴BE=CF,∠B=∠C. 又∵D是BC的中点， ∴ BD=CD. 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(SAS), ∴DE=DF. 选择②:∵AB=AC,D是BC的中点， ∴∠B=∠C,BD=CD,AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=90°. 又∵DE,DF分别是△ABD和△ACD的角平分线， ∴∠BDE=∠CDF=45°. 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(ASA), ∴DE=DF. 易错疑难集训三 1.解：如答图，直线l?,l2,l?,l?为所求的对称轴. L I? A D l? l? B C 1题答图 X易错分析⋯----⋯ 在确定对称轴时，应严格按照对称轴的定义指出 全部对称轴，还要明确对称轴是直线. 2.A 3.(3,0) 《易错分析-------------------- 错解误将直线y=2当成y轴而出错.当所求的点与点 P(x,y)关于y=a对称时，其对称点P'的坐标为(x,2a- y).∵2a-y=2×2-4=0,:对称点P′的坐标为(3,0). 4.C 5.解：过点A作AD⊥CB交CB的延长线于点D,延长AD至点 A',使A'D=AD,分别连接A'B,A'C,则△A'BC与△ABC关于 直线BC对称，如答图. D A' A- B C 5题答图 X易错分析------------- 没有正确理解轴对称的意义，因为B,C两点在对 称轴BC上，关键是作出点A关于对称轴的对称点A', 即可作出△ABC关于直线BC对称的图形. 6.A X易错分析⋯------⋯ 由已知只能得出点P在线段AB的垂直平分线上. 因为两点才能确定一条直线，所以无法确定直线l是否 为线段AB的垂直平分线.因此，结论①②③都不一定 正确. 7.证明：∵AC是∠BAD的平分线，∴∠BAC=∠DAC. 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(AAS),∴AB=AD,CB=CD, ∴A,C两点都在线段BD的垂直平分线上， ∴AC垂直平分BD,即AC是线段BD的垂直平分线. X易错分析.-⋯----⋯ 过点C的直线有无数条，它们不都是BD的垂直平 分线，所以由点C在BD的垂直平分线上就推得AC垂 直平分BD是错误的.实际上，要判定一条直线是一条 线段的垂直平分线，至少应找出直线上的两点在这条线 段的垂直平分线上： 8.C 9.B 本章考点检测训练 1.C 2.B 3.A ·18· 参考答案及解析 4.解：(1)∵点B(3,-2),点C与点B关于y轴对称，点D与 点B关于x轴对称， ∴点C(-3,-2),点D(3,2). (2)四边形A'B'C'D′如答图所示. y,P 5 4 C 3 D(B2 A lo 4-3-2 23426781 CL 3 BDY)i AI 4题答图 (3)S四边形ABC=S△cBD+S△DBA=—CB·DB+—AD·DB =2×6×4+—×4×4=12+8=20. (4)由题意可知，点P为BC的垂直平分线与AB的垂直平 分线的交点，如答图，结合图形可知，点P的坐标为(0,5). 5.8 6.30°7.D 8.C 9.D 10.2 11.150 12.2 13.解：∵AB=AC=BC=6, ∴△ABC是等边三角形， ∴∠C=60°. ∵△MCN为直角三角形， ∴∠NMC=90°或∠MNC=90°. ①设运动时间为t?s时，∠NMC=90°, ∵∠C=60°, ∴∠CNM=30°, ∴2CM=CN, ∴2(6-t?)=1.5t?,解得；=24; ②设运动时间为t?s时，∠MNC=90°, ∵∠C=60°, ∴∠CMN=30°, ∴2CN=CM, ∴2×1.5t2=6-L2,解得12=2 又∵0≤t≤4,∴.经检验，t?,t?符合题意. 综上所述，当运动时间为s或-2s时，△MCN为直角三 角形. 14.(1)证明：∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠DBC. ∵AD//BC, ∴∠ADB=∠DBC, ∴∠ABD=∠ADB, ∴AB=AD. ∵AB=AC, ∴AC=AD, ∴△ACD为等腰三角形. (2)解：由(1)知∠ABD=∠DBC=∠ADB. ∵∠BAD=140°, ∴∠DBC=∠ABD=∠ADB=—(180°-∠BAD)=20°, ∴∠ABC=40°. ∵AB=AC, ∴∠ACB=∠ABC=40°. 由(1)知AD=AC, ∴∠ACD=∠ADC=∠BDC+∠ADB=∠BDC+20°. ∵AD//BC, ∴∠BCD+∠ADC=180°, ∴40°+2×(∠BDC+20°)=180°, ∴∠BDC=50°. 15.(1)证明：∵AE平分∠CAD, ∴∠CAE=∠DAE. 在△ACE和△ADE中，= u ∴△ACE≌△ADE(SAS), ∴∠ACE=∠ADE. 又∵AB=AC=AD, ∴∠ABD=∠ADE=∠ACE. 又∵∠AFB=∠CFE, ∠BAF=180°-∠ABF-∠AFB, ∠CEF=180°-∠ECF-∠CFE, ∴∠BAF=∠CEF,即∠BAC=∠BEC. (2)解：AE+CE=BE. 理由如下：如答图，在BE上截取BG=CE,连接AG. ∵∠ABC=60°,AB=AC, ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°. 由(1)可知∠ABG=∠ACE. 在△AGC和△ACE中， ACE ∴△ABG≌△ACE(SAS), ∴AG=AE,∠BAG=∠CAE, ∴∠EAG= ∠FAG+∠CAE= ∠FAG+∠BAG= ∠BAC =60°, ∴△AEG是等边三角形， ∴AE=EG,则AE+CE=EG+BG=BE. A E G E D B c 15题答图 综合与实践 最短路径问题 解：【分析问题】∵点B,B′关于I对称， ∴CB=CB′,C'B=C'B', ∴AC+CB=AC+CB′=AB′,AC′+C'B=AC′+C'B'. ∵AB′<AC'+C'B', ∴AC+CB<AC′+C'B, ∴作点B关于l的对称点B′,连接AB'与1交于点C,点C就是 饮马的地方，此时按路线AC-CB走的路程是最短的. 【解决问题】任务一：如答图①所示，分别作点P关于OA,OB 的对称点C,D,连接CD,分别交OA,OB于点E,F,则路线 PE-EF-FP即为所求. C. A PF C E 4 lP M E L? 0 F B BD LN D Qi l? 答图① 答图② 任务二：如答图②所示，分别过点P和点Q作I?,l?的垂线，垂 ·19· 同步练测·八年级数学(上册) 足分别为A,B,在PA上截取PC等于靠近P村的河的宽，在 BQ上截取QD等于靠近Q村的河的宽，连接CD分别交l?,l? 于点E,M,分别过点E,M作l?,l?的垂线，垂足分别为F,N, 连接PF,QN,则路线PF-FE-EM-MN-NQ即为所求. 第十六章 整式的乘法 16.1 幂的运算 16.1.1 同底数幂的乘法 【基础巩固练】 1.C 2.B 3.C 4.B 5.C 6.(1)-a?(2)x3(3)-10? 7.解：(1)原式=-m2+5+7=-m1?. (3)原式=(x-y)?·(x-y)3=(x-y)?+3=(x-y)?. 8.解：(1)∵a3·a"·a2m+1=a2?, ∴3+m+2m+1=25,解得m=7. (2)由题意，得m-n+2n+1=11,m-1+5-n=6, 9.解：(1)2※3=22×23=4×8=32. (2)2※(x+1)=16, 即22×2*+1=2*+3=16=2?, ∴x+3=4,∴x=1. 10.D 11.B 12.27a 16.1.2 幂的乘方与积的乘方 课时1 幂的乘方 【基础巩固练】 (4)-81 (2)原式=a1+2m+2-m=a3+m. ∴a3+m+2m+1=a2?, 解得m=6,n=4,∴mn2=6×42=96. 1.B 2.D 3.(a+b)? 4.解：(1)原式=101?. (2)原式=a?. (4)原式=x3+1. 5.D 6.C 7.B 8.解：(1)∵a"=2,a?=3,∴a2m+a=a2m·a"=(a")2·a"= 微专题5 利用幂的乘方法则比较大小 1.b>c>a 2.A 【变式训练】1.< 2.> 课时2 积的乘方 【基础巩固练】 (3)原式=-(x-y)15. 22×3=4×3=12. (2)∵x2=2,∴(x3”)2-4(x2)2=x-4x?=(x2)3- 4(x2?)2=23-4×22=8-4×4=8-16=-8. 1.A 2.D 3.B 4.(1)-8x3y3(2)81a?b? 5.6.4×101? 6.解：(1)原式=27a3b3. (2)原式=-x?y?z3. (3)原式=x3my3R. (4)原式=8.1×10?. 7.解：因为(x?y·xy?)?=(x2+1yb+1)?=x?a+5y5b+5=x1?y15, 所以5a+5=10,5b+5=15,所以a=1,b=2, 所以3a(b+1)=3×1×(2+1)=9. 8.D 9.B 10.B 11.2 专题9 运用幂的运算法则 巧计算的三种常见类型 1.解：(1)原式=a?. (2)原式=-a?. (3)原式=a?·(-a?)=-a?. 2.解：(1)原式=(a+3)2+3+5=(a+3)1?. (2)解法一 原式=(2y-x)2·(2y-x)3=(2y-x)?. 解法二 原式=(x-2y)2·[-(x-2y)3] =-(x-2y)?. (3)原式=(x-y)3·[-(x-y)?]=-(x-y)?. 3.解：(1)2?+=2”·2"=32×4=128. (2)3m++n+1=3?×3×3=(3")2×(3#)2×3=(3")2× (9")2×3=P2×Q2×3=3P2Q2. 4.解：因为273×9?=(33)3×(32)?=3?×3?=3?=3*, 所以x=17. 5.解：52x+3y=52·53?=(5*)2·(5')3=22×33=108. 6.解：由原方程，得((2)“=[(2), (3) =(3),-.x-1=4,解得x=5. 7.解：(1)原式=()×7×(一57)×139= [(-5)×]×5×3=(-1)?×5×3==1× 9=-9 (2)原式=0.25204×0.25×(-4204)=-(0.25×4)20×0.25 =-0.25. 8.解： 1a"1=2,16'1=3, ∴(ab)?“=a"·b"=(a°)?·(b°)?=(1a°1)?·(1b”"1)?= ()×3?=16×81=16 16.2 整式的乘法 课时1 单项式与单项式相乘 【基础巩固练】 1.C 2.D 3.D 4.(1)2m3n2(2)72a? 5.解：(1)原式=8x2y?z.((2)原式=-3x?y?. (3)原式=-72m?x?. 6.B 7.D 8.3a2 27 9.解：3×10?×5×102=15×10?=1.5×108(km). 答：地球与太阳的距离约是1.5×10?km. 10.解：3125-9m×(-4,7m)=56 课时2 单项式与多项式相乘 【基础巩固练】 1.B 2.D 3.A 4.(1)a2b+ab(2)-2x?-x3 5.解：(1)原式=22·2x+—2=x3+22 (2)原式=3a2b·3ab-3ab3·3ab =2a3b2-9a2b3. (3)原式=-232+5y·2xy-2.3 =-523+522-3m2 (4)原式=6x3-3x2+3x-2x2+3x-4+4x2 =6x3-x2+6x-4. 6.C 7.(2a+6b) ·20· 第十五章 轴对称 本章考点检测训练 [答案 P18] 考点①)轴对称与轴对称图形 1(跨学科(衡阳中考)下面四种化学仪器的示意 图是轴对称图形的是 ( ) A B C D 2 如图，在平面直角坐标系中，点A与点B关于 y轴对称，将点A向右平移4个单位长度后，点A 的坐标为(6,-1),则点B的坐标是 ( ) A.(-3,-1) B.(-2,-1) C.(-1,-1) D.(-3,-2) y4 A B0 X A B D B'C 2题图 3题图 3(哈尔滨中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC= 90°,∠B=50°,AD⊥BC,垂足为D,△ADB与 △ADB′关于直线AD对称，点B对称点是点B′, 则∠CAB′的度数为 ( ) A.10° B.20° C.30° D.40° 4如图，已知A(7,2),B(3,-2),点C与点B关于 y轴对称，且点D与点B关于x轴对称. (1)求点C,D的坐标； (2)作出四边形ABCD关于x轴对称的四边形 A'B'C′D'; (3)求四边形ABCD的面积； (4)在平面直角坐标系中找一点P,使其到A,B, C三点的距离相等，求点P的坐标. y 5 4E2 10 32+ 2 3.45!6Z8 23 [B 4题图 见此图标眼微信扫码 难题轻松解练出好成绩 考点②线段的垂直平分线的性质 5如图，在△ABE中，AD垂直平分BC,CF垂直平 分AE,若AB=4,BD=2,则BE=______. A 4 p F E F B D C E B D C 5题图 6题图 6 如图，在△ABC中，∠B=75°,分别以点A,C为 圆心，大于4C的长为半径作弧，两弧在AC两 侧分别交于点P,Q,作直线PQ,交BC于点D, 交AC于点E,F是AD上一点，且AB=CF,若 ∠DAC=45°,则∠ACF的度数为_______. 考点③等腰三角形的性质与判定 7如图，直线a//b,点A和点B分别在直线a和b 上，点C在直线a,b之间，且BC=AC,∠ACB= 120°,∠1=45°,则∠2的度数是 ( ) A.60° B.65° C.70° D.75° B 1 b C 2 A\ a C D b E A B 7题图 8题图 8 如图，CE平分∠ACB且CE⊥DB于点E,∠DAB =∠DBA,AC=14,△CDB的周长为22,则DC 的长为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 9 如图，某亭子的入口可以抽象成一个等边三角 形ABC,立柱DE的端点D在AB上，且立柱 DE 与地面垂直(即DE⊥BC,垂足为E),则BD与 BE的比值为 ( ) A D B E C 9题图 A上 B. c.2 D.2 65 同步练测·八年级数学(上册) 10 (江西中考)将含30°角的直角三角板和直尺按 如图所示的方式放置，已知∠α=60°,点B,C表 示的刻度分别为1 cm,3 cm,则线段AB的长为___ cm. A. B/ C 0 2 45 10题图 11如图，在点A处有AB,AC两条路，甲、乙两车同 时从点A出发，甲车沿南偏西60°方向行驶至点 C,乙车沿正西方向行驶至点B.经测量，点C位 于点B的南偏东15°方向上，若AB=300米，则 点C到公路AB的距离为______米. 北 B A 60 15° C A D 0 E B C 11题图 12题图 12如图，△ABC为等边三角形，CD垂直平分AB, BE垂直平分AC,CD与BE交于点0,若BE=6, 则点0到BC的距离为_______ 13如图，在△ABC中，AB=AC=BC=6,点M,N分 别是BC,CA边上的动点.点M从点B运动到点 C,点N从点C运动到点A,已知点M的速度为 每秒1个单位长度，点N的速度为每秒1.5个 单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之 停止运动.设运动时间为ts,当△MCN为直角三 角形时，求t的值. A N B C M 13题图 66 见此图标眼微信扫码难题轻松解练出好 成绩 14如图，在△ABC中，AB=AC,过点A作BC的平 行线交∠ABC的平分线于点D,连接CD. (1)求证：△ACD为等腰三角形； (2)若∠BAD=140°,求∠BDC的度数. A D B C 14题图 15 如图，在△ABC中，AB=AC,AD是AC右侧的线 段，且AD=AC,∠CAD的平分线AE与BD交于 点E,BD与AC交于点F,连接CE. (1)求证：∠BAC=∠BEC; (2)若∠ABC=60°,求线段AE,CE,BE之间存在 怎样的数量关系，并写出你的理由. A E E >D B C 15题图 第十五章 轴对称 综合与实践 最短路径问题 [答案 P19] 综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数 学问题——将军饮马.如图①,将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他 时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢? 【分析问题】 小亮：如图②,作点B关于l的对称点B′,连接AB′与l交于点C,点C就是饮马的地方，此时按路线AC- CB走的路程就是最短的. 小慧：你能详细解释原因吗? B A* 1 图① 7 B A C B' 图② B A I C C B′ 图③ A ·P 0 B 图④ 小亮：如图③,在l上另取一点C′,连接AC′,BC′,B'C′,只要证明AC+CB<AC′+C'B即可.请写出小亮的 证明过程. 【解决问题】 任务一：如图④,将军牵马从军营P处出发，先到河边OA饮马，再到草地OB牧马，最后回到P处，试分别 在OA和OB上各找一点E,F,使得将军走过的路程最短(保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径 用实线); 任务二：如图⑤,在P,Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条 河.现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥EF,MN,则这两座桥EF,MN造在何处可使 由P村到Q村的路程最短(要求在图上标出道路和大桥的位置)? ·P L l? L? Q· l? 图⑤ 知识精讲 A1匹配资源 AT智能工具 A1方法指导 见此图标眼微信扫码|难题轻松解 练出好成绩 抖音/微信 扫码进阶 67