精品解析：云南省文山州砚山县第一中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

砚山县第一中学6月月考 高一数学 2025.6 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：必修第一册、必修第二册. 一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设，则（ ）． A. 0 B. 1 C. D. 2 2. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，下列四个命题中不正确的是（   ） A. ，，且 B. ， C. ，， D. ， 5. 如图为近一年我国商品零售总额和餐饮收入总额同比增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是（ ） （注：同比，指当前的数据与上一年同期进行比对；环比，指当前数据与上个月的数据进行比对.） A. 2024年月份，商品零售总额同比增长 B. 2023年月份，餐饮收入总额同比都降低 C. 2023年月份，商品零售总额同比都增加 D. 2023年12月，餐饮收入总额环比增速为 6. 已知向量，满足，则在方向上的投影数量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 将棱长为的正方体的六个面的中心的连线所围成的八面体挖空，其中放置一个玻璃球体，要求玻璃球与这个八面体的八个面都相切，则该玻璃球的表面积是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 10. 欧拉公式其中（，i为虚数单位）由瑞士著名数学家欧拉发现，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于对称 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为______. 13. ______． 14. 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征.小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端D的仰角为，他又沿着泉标底部方向前进34.2米，到达B点，又测得泉标顶端D的仰角为，则小明同学求出泉标的高度约为______米. （参考数据：，，） 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 某校对高二年级选学生物的学生的某次测试成绩进行了统计，随机抽取了m名学生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 16 0.2 50 10 4 0.05 合计 （1）求表中n，p的值和频率分布直方图中a的值； （2）如果用分层抽样的方法，从样本成绩在和的学生中共抽取5人，再从5人中选2人，求这2人成绩在的概率. 16. 已知函数，其中，，. （1）求函数在上的单调递减区间； （2）已知函数在上存在零点，求实数的取值范围. 17. 已知，，分别为三个内角A，，的对边，． （1）求证：； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 18. 已知函数满足，当时，，且. （1）求的值，并判断的单调性； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 砚山县第一中学6月月考 高一数学 2025.6 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：必修第一册、必修第二册. 一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设，则（ ）． A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义及模长公式计算即可 【详解】由题意可知，故. 故选：C 2. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理即可列式求解. 【详解】中，，，， 由余弦定理得， 所以. 故选：A 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将不等式移项，通分，转化为，等价于，利用一元二次不等式的求法，即可得出结果. 【详解】不等式可以转化为. 等价于，∴， ∴， ∴不等式的解集为. 故选：A 4. 已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，下列四个命题中不正确的是（   ） A. ，，且 B. ， C. ，， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】对于A项，由，可得，又，则，故A项正确； 对于B项，由，可得或，故B项错误； 对于C项，由，可得，因，故得，即C项正确； 对于D项，由线面垂直的性质易得结论正确. 5. 如图为近一年我国商品零售总额和餐饮收入总额同比增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是（ ） （注：同比，指当前的数据与上一年同期进行比对；环比，指当前数据与上个月的数据进行比对.） A. 2024年月份，商品零售总额同比增长 B. 2023年月份，餐饮收入总额同比都降低 C. 2023年月份，商品零售总额同比都增加 D. 2023年12月，餐饮收入总额环比增速为 【答案】C 【解析】 【分析】根据折线统计图一一分析即可. 【详解】对于A，2024年月份，商品零售总额同比增长，故A错误； 对于B，2023年8月份，餐饮收入总额同比增加，故B错误； 对于C，2023年月份，商品零售总额同比都增加，故C正确； 对于D，2023年12月，餐饮收入总额环比增速并未告知，故D错误. 故选：C 6. 已知向量，满足，则在方向上的投影数量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量数量积的运算律及已知求得，再由投影向量的定义求投影数量. 【详解】，故， 因为， 即， 所以，则在方向上的投影数量为. 故选：B 7. 已知，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将转化为，然后由两角和与差的正弦公式展开化简，由，利用二倍角公式化简最后求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 化简得：， 所以， 又由，可得， 所以，即，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：A 8. 将棱长为的正方体的六个面的中心的连线所围成的八面体挖空，其中放置一个玻璃球体，要求玻璃球与这个八面体的八个面都相切，则该玻璃球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体的棱长得到八面体的棱长，利用八面体的八个面都与玻璃球相切求得玻璃球的半径，进而求解玻璃球的表面积． 【详解】由题知， 该八面体是如图所示的正八面体， 根据正八面体与正方体的位置关系， 可得该正方体的面对角线长为， 从而可知正八面体的棱长为，即， 连接，交于点， 过点作的垂线，垂足为，连接， 则平面平面， 易知四边形与四边形都是边长为2的正方形， ， 在中，由勾股定理可得， 设点到的距离为， 由，即，解得， 从而可知该正八面体的内切球的半径为， 所以所求玻璃球的表面积是． 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查球和正八面体的相关知识，综合性强，充分考查考生的空间想象能力和运算求解能力，以及综合运用数学知识灵活解决问题的能力．与球有关的立体几何问题主要有：外接和内切。常涉及方法有： （1）根据空间几何体的几何特征，判断球心的位置； （2）通过作辅助线或辅助面，确定几何元素的关系； （3）数形结合思想. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 10. 欧拉公式其中（，i为虚数单位）由瑞士著名数学家欧拉发现，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题中欧拉公式结合复数，诱导公式，三角恒等变换化简整理可判断. 【详解】A选项：， 故A正确； B选项：可得， 因为，则， 可得，所以，B正确； C选项：因为， ，故C错误； D选项：因为， ， 则 ， 所以，D正确 故选：ABD 11. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于对称 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和题设条件，推得是周期为4的周期函数，结合周期函数的性质求值，利用单调性比较大小，逐项判定即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以 ,即函数关于对称，C正确; 由函数关于对称可知, 又因为为偶函数，所以 ，即函数关于对称， 则, 所以,即, 所以,所以是周期为4的周期函数， 所以,又, 所以,所以,所以,B正确; 是偶函数，A错误; 对任意的,且,都有,不妨设, 则,由单调性的定义可得函数在上单调递增， 又由函数关于对称，所以在上单调递增 又,, 所以,得，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数，解题关键是合理利用抽象函数的单调性，奇偶性周期性分析题意，然后逐个选项分析即可． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，再根据数量积的坐标运算公式即可得解. 【详解】因为， 所以，解得. 故答案为：. 13. ______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】注意所求式中角的关系，对进行拆角为，利用和角公式化简即得. 【详解】由 故答案为： 14. 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征.小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端D的仰角为，他又沿着泉标底部方向前进34.2米，到达B点，又测得泉标顶端D的仰角为，则小明同学求出泉标的高度约为______米. （参考数据：，，） 【答案】38.3 【解析】 【分析】设，则，在中利用正弦定理求解即可. 【详解】设，在中，，则， 在中，由正弦定理得，所以， 结合，，解得.所以泉标的高度约为38.3米. 故答案为：38.3 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 某校对高二年级选学生物的学生的某次测试成绩进行了统计，随机抽取了m名学生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 16 0.2 50 10 4 0.05 合计 （1）求表中n，p的值和频率分布直方图中a的值； （2）如果用分层抽样的方法，从样本成绩在和的学生中共抽取5人，再从5人中选2人，求这2人成绩在的概率. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布统计表，求出，进而得到n，p与的值； （2）利用分层抽样求出抽取5人中成绩在和的人数，利用列举法求出古典概型的概率. 【小问1详解】 由题意得，故，，； 【小问2详解】 样本成绩在和的学生的人数之比为， 故抽取5人中成绩在的有4人，设为，成绩在的有1人，设为， 再从5人中选2人，这2人可能情况为，共10种情况， 其中这2人成绩均在的有，共6种情况， 故这2人成绩在的概率为. 16. 已知函数，其中，，. （1）求函数在上的单调递减区间； （2）已知函数在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算及辅助角公式得，再应用正弦函数性质求单调递减区间； （2）问题化为在上有解，再应用换元法及正弦型函数、二次函数的性质求右侧值域，即可得参数范围. 【小问1详解】 ， 设，所以， 又在上的单调递减区间为， 由，得， 所以在上的单调递减区间是. 【小问2详解】 由（1）知，所以. 函数在上存在零点， 即在上有解. 因为，所以， 所以，令，， 则，所以， 解得， 所以实数的取值范围为. 17. 已知，，分别为三个内角A，，的对边，． （1）求证：； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】（1） 因为， 由正弦定理可得， 又因为， 代入整理得， 且，则， 可得，整理得， 由可知，则，解得， 可知，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，利用三角恒等变换分析可得，即可得结果； （2）根据题意利用余弦定理可得，，利用正弦定理边化角，结合正弦函数可得，即可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，即， 由余弦定理可得，即， 所以， 由正弦定理可得， 则，， 则， 可得 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则，可知， 所以． 18. 已知函数满足，当时，，且. （1）求的值，并判断的单调性； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），；在上为增函数；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用赋值法求出的值，利用函数的单调性定义判断的单调性即可；（2）利用已知等式把不等式转化为，利用函数的单调性，结合常变量分离法、配方法进行求解即可. 【详解】（1）令，得，得， 令，得，得； 设是任意两个不相等的实数，且，所以，所以 ， 因为，所以，所以， 因此 即在上为增函数； （2）因为，即，即， 又，所以， 又因为在上为增函数，所以在上恒成立； 得在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，当时，取最小值，所以； 即时满足题意. 19. 已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 如图取的中点，连接、. 为的中点， 且， 由平面，平面， ，. 又，， 四边形为平行四边形，则， 平面，平面，平面. （2） 为等边三角形，为的中点， .平面，平面，， ，所以，， 又，、平面，平面， 平面，平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）添加辅助线构成平行四边形按线面平行的判定定理证明即可； （2）由题意先证明平面，再证明平面平面，即由线面垂直证明面面垂直； （3）添加辅助线，依题意找出为和平面所成的角，结合图形求出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图：在平面内，过作于点，连接， 平面平面，平面平面，平面， 平面.为和平面所成的角， 因为，， 则，， 在中，， 直线和平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $