精品解析：上海市七宝中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

七宝中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末 2025.6 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 某学校高一、高二、高三学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为42的样本，则应从高三年级抽取__________个学生． 【答案】18 【解析】 【分析】根据分层抽样定义列式得结果. 【详解】根据题意，高三年级在总体中所占的比例为， 所以应从高三年级抽取人. 故答案为：18. 2. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】化简集合A、集合B，由集合交集概念计算即可. 【详解】集合， ， 所以. 故答案为： 3. 已知事件与事件相互独立，且，则__________． 【答案】0.7 【解析】 【分析】利用任意两个事件的和事件的概率计算公式以及相互独立事件的概率乘法公式即可求解． 【详解】因为事件与事件相互独立，， 所以， 所以, 故答案为：0.7． 4. 已知在处可导，若，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】由导数得定义计算即可. 【详解】因为，所以， 即. 故答案为：2. 5. 在的二项式展开式中，项的系数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于3，求的值，即可求得系数. 【详解】展开式的通项为， 令，则， 所以项的系数为. 故答案为： 6. 一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下，根据表格可得回归方程，则实数的值为__________. 零件数x（个） 2 3 4 5 加工时间y（分钟） 30 a 40 50 【答案】36 【解析】 【分析】根据回归方程经过样本中心点，代入即可求得的值. 【详解】根据表中数据可知，， 因为回归方程经过样本中心点， 代入回归直线方程可得，解得， 故答案为：36. 7. 将6名志愿者安排到5个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有___________种． 【答案】1800 【解析】 【分析】先利用组合数的概念从名志愿者中选出人作为一组，再利用排列数的概念将分好的组全排列分配到个小区，最后根据分步乘法计数原理计算出不同的安排方法总数． 【详解】先将2名志愿者看作一组，选法有种， 再将5组志愿者分配到5个小区，分法有种，故不同的安排方法有种． 故答案为： 8. 若是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数，，则不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，在上单调递增，然后由 或，可得答案. 【详解】因是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数， 则，在上单调递增. 则， 又或， 由，可得不等式组无解，由可得. 综上可得满足题意. 故答案为： 9. 已知不等式对任给，恒成立，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用参数分离法将不等式进行转化，利用基本不等式求出式子的最大值即可得到结论． 【详解】解：∵x＞0，y＞0， ∴不等式等价为a恒成立， 设m，则m＞0， 平方得m2＝（）2111+1＝2， 当且仅当x＝y时取等号， ∴m2≤2，则0<m ∴要使a恒成立， 则a， 故答案为[，+∞） 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法以及基本不等式求出最值是解决本题的关键．综合性较强． 10. 若二项式的展开式中，所有的奇数次幂项的系数和为，则实数__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，通过赋值和，即可求解. 【详解】设， 令， 令， 故， 即. 故答案为： 11. 已知，当取最大值时，从这100个实数中任取两个数，则这两个数的和不大于10的概率是__________．（用最简分数表示） 【答案】 【解析】 【分析】要使，则需方差最大，为此应尽可能多取1和10，则可得44个10，55个1，1个5可满足题意，据此可得答案. 【详解】平均数，方差为，则要使取最大值，需方差最大， 则应尽可能多取1和10，假设这组数中有个1，则有个10， 有，解得. 若取45个10，55个1，则和为505，不满题意； 取44个10，55个1，1个5，和为500，满足题意， 设从中任取两个数，和为，则 两数和不大于10，即. 故答案为： 12. 设，，当时，定义的差分运算为.用表示对进行次差分运算，显然，是一个维数组.称满足的最小正整数的值为的深度.若这样的正整数不存在，则称的深度为.则中深度为的数组个数为__________个.（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】当存在，注意到下层中的1可认为由上层中的和生成，0由和生成，故对每个满足条件的下层数组，上层中都有完全相反的两个与之对应，据此可类推得结论；当不存在时，注意到最后一次差分运算后，结果为，可视为不存在，据此可类推得结论. 【详解】易知中仅有一组；中深度的数组有1组； 中深度的数组有2组，为和，，不难发现，下层中的1可认为由上层中的和生成，0由和生成， 故对每个满足条件的下层数组，上层中都有完全相反的两个与之对应， 如对应（）和（）； 中深度的数组有4组，如（）对应（）和（）；对应（）和（）共4个；依此类推中深度的数组仅组. 因为定义不存在时，深度为中，最后一次差分运算后，结果为，则视为不存在，可知中深度为2的数组为两个，中深度为3的数组为共个，依此类推，中深度为的数列有个. 综上，中深度为的数组有组. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分）13，14题4分，15，16题5分. 13. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 【答案】A 【解析】 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为． 则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余， 中位数仍为，A正确． ②原始平均数，后来平均数 平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确 ③ 由②易知，C不正确． ④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解. 14. ＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】通过举特例可判断选项正误. 【详解】驻点不一定是极值点，如， 极值点也不一定是驻点，如. 则＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的既不充分也不必要条件. 故选：D 15. 已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（ ）. A. 关于直线对称 B. 关于点成中心对称 C. 关于点成中心对称 D. 关于点成中心对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的特征可知随增大而增大，故A错误；由可得，故B正确，CD错误. 【详解】由连续型随机变量服从正态分布，可得， 所以正态密度曲线关于直线对称，即. 因为，所以随增大而增大，的图象无对称轴，故A错误. 因为， 所以的图象关于点成中心对称，故B正确，CD错误. 故选：B. 16. 设函数为常数，则下列命题中： 命题（1）：对任意实数，存在实数，使方程有两个不同的实数解； 命题（2）：存在实数，对任意实数，方程有两个不同的实数解； 命题（3）：存在实数，对任意实数，方程有两个不同的实数解； 命题（4）：对任意实数，存在实数，使方程有两个不同的实数解.真命题的个数是（ ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的图象，结合图象可得时，若，则，若，则，根据上述结论结合图象可以依次判断各命题真假. 【详解】作的图象： 当，由函数图象知，即， 当，由函数图象知，即， 对命题（1），任取实数，总存在实数，使，命题（1）成立； 对命题（2），若，当时，与的图象仅一个交点， 若，当时，取，此时与的图象仅一个交点， 若，当时显然不成立，故不存在满足条件的正实数，命题（2）为假命题； 对命题（3），由函数图象知，对固定的实数，若，则，若，则， 由于的图象在特定范围内与平行于轴的直线不恒有两个交点，故不满足任意性，命题（3）为假命题； 对命题（4），由函数图象知，对任意，只需取，都能使有两个解，故命题（4）成立. 故选：B． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）. 17. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）代入，求出集合中元素范围，进而可得； （2）先由，得到，再分和讨论求实数的取值范围. 【详解】（1）， 所以， 当时，， ； （2），， 若，则，解得； 若，要使，则应满足 ，即， 解之得， 综上所述，所求实数的取值范围是. 【点睛】本题考查二次不等式的解法及分式不等式转化二次不等式，考查集合间的运算及二次函数的性质，是中档题. 18. 学工部收到两个班级优秀学生的推荐表，分装两袋，第一袋有4份女生和2份男生的推荐表，第二袋有3份女生和3份男生的推荐表. （1）从两袋中随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到1份女生推荐表和1份男生推荐表的概率； （2）若从第二袋中先后取出两份推荐表，求有一份是女生推荐表的条件下，另一份也是女生推荐表的概率，和第一份是女生推荐表的条件下，第二份也是女生推荐表的概率. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）设＂抽到第一袋＂为事件，＂抽到第二袋＂为事件，由条件概率及全概率公式求解即可； （2）（i）将问题转换成一次性抽取两份，两份都是女生推荐表的概率除以两份不都是男生推荐表的概率或通过缩小样本空间求解即可；（ii）将问题转换成先后抽取两份，第一份是女生推荐表且第二份也是女生推荐表的概率除第一份是女生推荐表的概率，或缩小样本空间求解即可. 【小问1详解】 设＂抽到第一袋＂为事件，＂抽到第二袋＂为事件， ＂恰好抽到1份女生推荐表和1份男生推荐表＂为事件，则 故； 【小问2详解】 （i）有一份是女生推荐表的条件下，另一份也是女生推荐表， 可以看成一次性抽取两份，两份都是女生推荐表的概率除以两份不都是男生推荐表的概率， 故. （或缩小样本空间为女1男1，男1女1，女1男2，男2女1，女1男3，男3女1，女2男1，男1女2，女2男2，男2女2，女2男3，男3女2，女3男1，男1女3，女3男2，男2女3，女3男3，男3女3，女1女2，女2女1，女1女3，女3女1，女2女3，女3女2共24个样本点， 满足条件的有6个，故， （ii）第一份是女生推荐表的条件下，第二份也是女生推荐表， 可以看成先后抽取两份，第一份是女生推荐表且第二份也是女生推荐表的概率除第一份是女生推荐表的概率， 故. （或缩小样本空间为女1男1，女1男2，女1男3，女2男1，女2 男2，女2男3，女3男1，女3男2，女3男3，女1女2，女2女1，女1女3，女3女1，女2女3，女3女2共15个样本点，满足条件的有6个， 故. 19. 已知函数， （1）若是奇函数，求实数的值，并求在此条件下满足的实数的取值范围； （2）若的定义域是. （i）求的单调递增区间； （ii）记在定义域上的最小值是，求的解析式. 【答案】（1） （2）（i）和； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求得，求导可得函数的单调性，列不等式可得结果. （2）（i）通过导数可求的单调递增区间. （ii）分析函数的极小值，与作比较可得结果. 【小问1详解】 由题意得，定义域为，关于原点对称. 因为是奇函数， 所以恒成立， 所以，解得， 所以， 由得，或，由得，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 （i）由题意得，， 由得或. 因为，所以由得，或，由得，， 所以的单调递增区间为和. （ii）由（i）得，在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的极小值为，且. 当，即时，，， 当，即时，，， 综上得，. 20. 某工厂生产了一批高精尖仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家对仪器进行检测，每台仪器被每位专家评议为＂可靠＂的概率均为，且每台仪器是否可靠及每位专家检测的结果相互独立. （1）为调查某零件A的品质对仪器可靠性的影响，现抽取了50台仪器检测，请根据 下述列联表，判断是否有的把握认为“仪器可靠”与“某零件A达优等”有关？ 仪器可靠 仪器不可靠 合计 零件A达优等 41 4 45 零件A未达优等 2 3 5 合计 43 7 50 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.65 10.828 （2）若，现从某批100台仪器中抽取4台，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为，求的分布列、数学期望和方差； （3）为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测.若三位专家中至少有两位检测结果为不可靠，则仪器报废.其余情况，仪器需要回厂返修.拟定每台仪器检测费用为100元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费.现以此方案实施，且抽检仪器为100台，工厂预算2.3万元用于检测和维修，试用表示每台机器所需费用的期望，并估计，100台机器所需的总费用是否有可能会超过预算2.3万元？说明理由. 【答案】（1）无关. （2）分布列见解析，. （3）会超过预算，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据公式可直接得到. （2）该事件满足服从参数为的二项分布，由其概率计算公式分别计算随机变量为为0，1，2，3，4的概率，即可列出分布列，再由计算均值，计算方差. （3）设每台仪器所需费为X元，则X的可能取值为100，400，为100时，即都通过或都不通过，即可计算，再由对立事件概率计算方式求得，即可表示一台仪器花费的数学期望函数，利用导数求得最值，即可判定. 【小问1详解】 设零假设为：“仪器可靠”与“某零件A达优等”无关． 确定显著性水平，计算 统计决断：由，而，则零假设不成立， 故有把握判定“仪器可靠性”与“某零件A达优等”有关. 【小问2详解】 由题意知的所有可能取值为，且服从参数为的二项分布，所以. ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 由二项分布期望公式和方差公式得. 【小问3详解】 每台仪器所需费为元，则的可能取值为100，400. ， ． 所以， 化简得， 令，解得， 当在区间上单调递增， 当在区间上单调递减， 所以当时，的最大值为． 故实施此方案，最高费用为元元，可能会超过预算. 21. 在湖边，我们常看到成排的石柱子之间用铁链相连，这就是悬链线.选择适当的坐标系后，悬链线的解析式是一个双曲余弦函数，记为，其图象是曲线，与之对应的双曲正弦函数，其图象是曲线. （1）类比正余弦的两种性质：①平方关系：，②导数：，写出双曲正弦和双曲余弦的两种性质（不必证明）； （2）若当时，双曲余弦函数的图象曲线终在直线上方，求实数的取值范围； （3）若为坐标原点，直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点，曲线在点处的切线是，曲线在点处的切线是，且与相交于点，记与面积的乘积为，证明：存在两个不同的实数，使，且任意． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）类比，写出平方关系，和角关系和导数关系；（2）构造函数，求导，得到函数单调性，进而得到答案；（3）通过导数求出，，联立求得，由面积公式求导和，则，分类讨论当，，时函数的单调性，再根据题意求解即可. 【小问1详解】 因为正余弦的两种性质：①平方关系：，②导数：， 类比得到①， ②； 【小问2详解】 即当时，恒成立，故， 令，， 由，即，解得（负值舍去）， 当严格减，当严格增， 故， 所以. 【小问3详解】 由题可知：，，， 则，，则， 同理，联立求得， 此时， ； 同理，求得， 则， 当时，记， ，， 当时，，即在严格减， 当时，，即在严格增， 易得，，， 故存在，使， 此时，在严格减，在严格增， 又，故，在严格增，在严格减， 故存在两个不同的，使， 因为即， 此时 ，当且仅当时取等， 因为，故对任意． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七宝中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末 2025.6 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 某学校高一、高二、高三学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为42的样本，则应从高三年级抽取__________个学生． 2. 已知，则__________． 3. 已知事件与事件相互独立，且，则__________． 4. 已知在处可导，若，则__________． 5. 在的二项式展开式中，项的系数是__________. 6. 一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下，根据表格可得回归方程，则实数的值为__________. 零件数x（个） 2 3 4 5 加工时间y（分钟） 30 a 40 50 7. 将6名志愿者安排到5个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有___________种． 8. 若是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数，，则不等式的解集是__________． 9. 已知不等式对任给，恒成立，则实数a的取值范围是______. 10. 若二项式的展开式中，所有的奇数次幂项的系数和为，则实数__________． 11. 已知，当取最大值时，从这100个实数中任取两个数，则这两个数的和不大于10的概率是__________．（用最简分数表示） 12. 设，，当时，定义的差分运算为.用表示对进行次差分运算，显然，是一个维数组.称满足的最小正整数的值为的深度.若这样的正整数不存在，则称的深度为.则中深度为的数组个数为__________个.（用含的代数式表示） 二、选择题（本大题共有4题，满分18分）13，14题4分，15，16题5分. 13. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 14. ＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（ ）. A. 关于直线对称 B. 关于点成中心对称 C. 关于点成中心对称 D. 关于点成中心对称 16. 设函数为常数，则下列命题中： 命题（1）：对任意实数，存在实数，使方程有两个不同的实数解； 命题（2）：存在实数，对任意实数，方程有两个不同的实数解； 命题（3）：存在实数，对任意实数，方程有两个不同的实数解； 命题（4）：对任意实数，存在实数，使方程有两个不同的实数解.真命题的个数是（ ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）. 17. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若求实数的取值范围. 18. 学工部收到两个班级优秀学生的推荐表，分装两袋，第一袋有4份女生和2份男生的推荐表，第二袋有3份女生和3份男生的推荐表. （1）从两袋中随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到1份女生推荐表和1份男生推荐表的概率； （2）若从第二袋中先后取出两份推荐表，求有一份是女生推荐表的条件下，另一份也是女生推荐表的概率，和第一份是女生推荐表的条件下，第二份也是女生推荐表的概率. 19. 已知函数， （1）若是奇函数，求实数的值，并求在此条件下满足的实数的取值范围； （2）若的定义域是. （i）求的单调递增区间； （ii）记在定义域上的最小值是，求的解析式. 20. 某工厂生产了一批高精尖仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家对仪器进行检测，每台仪器被每位专家评议为＂可靠＂的概率均为，且每台仪器是否可靠及每位专家检测的结果相互独立. （1）为调查某零件A的品质对仪器可靠性的影响，现抽取了50台仪器检测，请根据 下述列联表，判断是否有的把握认为“仪器可靠”与“某零件A达优等”有关？ 仪器可靠 仪器不可靠 合计 零件A达优等 41 4 45 零件A未达优等 2 3 5 合计 43 7 50 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.65 10.828 （2）若，现从某批100台仪器中抽取4台，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为，求的分布列、数学期望和方差； （3）为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测.若三位专家中至少有两位检测结果为不可靠，则仪器报废.其余情况，仪器需要回厂返修.拟定每台仪器检测费用为100元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费.现以此方案实施，且抽检仪器为100台，工厂预算2.3万元用于检测和维修，试用表示每台机器所需费用的期望，并估计，100台机器所需的总费用是否有可能会超过预算2.3万元？说明理由. 21. 在湖边，我们常看到成排的石柱子之间用铁链相连，这就是悬链线.选择适当的坐标系后，悬链线的解析式是一个双曲余弦函数，记为，其图象是曲线，与之对应的双曲正弦函数，其图象是曲线. （1）类比正余弦的两种性质：①平方关系：，②导数：，写出双曲正弦和双曲余弦的两种性质（不必证明）； （2）若当时，双曲余弦函数的图象曲线终在直线上方，求实数的取值范围； （3）若为坐标原点，直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点，曲线在点处的切线是，曲线在点处的切线是，且与相交于点，记与面积的乘积为，证明：存在两个不同的实数，使，且任意． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $