9.1.1正弦定理同步练习-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

9.1.1　正弦定理 一．选择题 1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　) A． C． D．1 2．在△ABC中，AB＝，A＝45°，C＝75°，则BC等于(　　) A．3－ B． C．2 D．3＋ 3．在△ABC中，若a＝4，b＝3，cos A＝，则B＝(　　) A． C． 4．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于(　　) A．3∶2∶1 B．∶2∶1 C．∶∶1 D．2∶∶1 5．在△ABC中，已知b＝6，c＝6，C＝30°，则a＝(　　) A．6 B．12 C．6或12 D．无解 C　[由正弦定理，得sin B＝＝． 6．在△ABC中，b＝10，c＝5，C＝60°，则△ABC有(　　) A．一解 B．两解 C．无解 D．不确定 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若<cos A，则△ABC为(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 8．在△ABC中，已知A＝60°，a＝，则＝(　　) A． C． D．2 9．在△ABC中，若sin A>sin B，则角A与角B的大小关系为(　　) A．A>B B．A<B C．A≥B 二．填空题 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＋b＋c＝＋1，sin A＋sin B＝sin C，则c＝________． 11．若△ABC的周长等于2(sin A＋sin B＋sin C)，则其外接圆半径R＝________． 12．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°．若三角形有两解，则x的取值范围是________． 13．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边．若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________． 30°　[因为b＝2a，所以sin B＝2sin A．又因为B＝A＋60°，所以sin (A＋60°)＝2sin A， 三．解答题 14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．如果c＝a，B＝30°，求角C的大小． 15．在△ABC中，A，B为锐角，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos 2A＝，sin B＝． (1)求A＋B的值； (2)若a－b＝－1，求a，b，c的值． 16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cos A＝，sin B＝cos C． (1)求tan C的值； (2)若a＝，求△ABC的面积． 9.1.1　正弦定理 一．选择题 1．B　[由正弦定理，得＝，所以＝，即sin B＝．] 2．A　[由正弦定理，得＝，即＝，所以BC＝＝＝3－．] 3．A　[因为cos A＝>0，所以sin A＝＝，A<．由正弦定理，得＝，所以sin B＝．因为b<a，所以B<A<，故B＝．] 4．D　[因为A∶B∶C＝3∶2∶1，且A＋B＋C＝180°， 所以A＝90°，B＝60°，C＝30°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶∶＝2∶∶1．] 5．C　[由正弦定理，得sin B＝＝． 因为b>c，所以B>C．又因为0°<B<180°，所以B＝60°或B＝120°． 当B＝60°时，A＝90°，所以a＝＝12； 当B＝120°时，A＝C＝30°，所以a＝c＝6． 所以a＝6或a＝12．] 6．A　[由已知及正弦定理，可得sin B＝＝． 因为b<c，所以B<C，所以B＝45°， 所以△ABC只有一解．] 7．A　[在△ABC中，由正弦定理，得＝．又因为<cos A，所以<cos A， 所以sin (A＋B)<sin B cos A， 所以sin A cos B＋cos A sin B<sin B cos A，所以sin A·cos B<0．又sin A>0，所以cos B<0，所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．] 8．B　[由a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，得＝2R＝＝＝．] 9．A　[因为sin A>sin B，所以a>b，所以A>B．] 二．填空题 10． 1　[因为sin A＋sin B＝sin C，所以由正弦定理，得a＋b＝c，所以c＋c＝＋1，所以c＝1．] 11． 1　[由题意知，a＋b＋c＝2(sin A＋sin B＋sin C)，所以＝2． 由正弦定理，得＝＝ ＝＝2R＝2，所以R＝1．] 12． (2，2)　[由题设条件可知 所以2<x<2．] 13．30°　[因为b＝2a，所以sin B＝2sin A．又因为B＝A＋60°，所以sin (A＋60°)＝2sin A， 即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A，化简得sin A＝cos A，所以tan A＝，所以A＝30°．] 三．解答题 14．解：因为c＝a，所以sin C＝sin A＝sin (180°－30°－C)＝sin (30°＋C)＝， 即sin C＝－cos C，所以tan C＝－． 又0°<C<180°，所以C＝120°． 15．解：(1)因为A，B为锐角，sin B＝， 所以cos B＝＝． 又cos2A＝1－2sin2A＝， 所以sinA＝，cos A＝＝， 所以cos(A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B＝＝． 因为0<A＋B<π，所以A＋B＝． (2)由(1)知C＝，所以sin C＝． 由正弦定理＝＝， 得a＝b＝c，即a＝b，c＝b． 因为a－b＝－1，所以b－b＝－1，所以b＝1， 所以a＝，c＝． 16．解：(1)由cos A＝，得sin A＝． 又cos C＝sin B＝sin (A＋C)＝cos C＋sin C， 所以tan C＝． (2)由tan C＝，得sin C＝，cos C＝， 所以sin B＝cos C＝． 由正弦定理，得c＝＝＝， 所以△ABC的面积S＝ac sin B＝＝． 学科网（北京）股份有限公司 $$