精品解析：湖北省八校2024-2025学年高二下学期6月期末联考数学试题

湖北省2024—2025学年下学期八校期末联考 高二数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在四面体OABC中，，，，且，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 圆与圆至少有三条公切线，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上.经过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于、两点.若，线段的中点的纵坐标为，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的前n项和是，且满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 7. 某工厂产品合格概率均为，各产品合格与否相互独立．设为该工厂生产的件商品中合格的数量，其中，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是 A. 人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20% B. 人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20% C. 人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20% D. 人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20% 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：与椭圆：，则下列结论正确是（ ） A. 若与至少有一个公共点，则 B. 若与有且仅有两个公共点，则 C. 若，则上到的距离为5的点只有1个 D. 若，则上到的距离为1的点只有3个 10. 已知等差数列的前n项和为，且满足，，则（ ） A. B. C. 当且仅当时，取最小值 D. 11. 已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 第5次取出的球是红球的概率为 D. 前3次取球恰有2次取到红球的概率是 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 椭圆被直线截得的弦长为________. 13. 若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为________. 14. 乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有_____项． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 如图，直四棱柱底面为菱形，，． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 17. 设函数，. （1）当时，求的单调区间； （2）令，是否存在实数，当时，函数的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 某单位规定每位员工每年至少参加两项专业技能测试，测试通过可获得相应学分，每年得的总学分不低于10分，该年度考核为合格.该单位员工甲今年可参加的专业技能测试有A､B､C､D四项，已知这四项专业技能测试的学分及员工甲通过各项专业技能测试的概率如下表所示，且员工甲各项专业技能测试是否通过相互独立. 培训项目 A B C D 学分 5分 6分 4分 8分 员工甲通过测试的概率 （1）若员工甲参加A､B､C三项测试，求他本年度考核合格的概率： （2）员工甲欲从A､B，C､D中选择三项参加测试，若要使他本年度考核合格概率不低于，应如何选择？请求出所有满足条件的方案. 19. 中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度℃关于时间的回归方程模型，通过实验收集在25℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的数据，并对数据做初步处理得到如下所示散点图． 73.5 3.85 表中： （1）根据散点图判断，①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间x的回归方程： （3）已知该茶水温度降至60℃口感最佳，根据（2）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感? 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ②参考数据：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省2024—2025学年下学期八校期末联考 高二数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在四面体OABC中，，，，且，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何关系，结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】连接ON，因为，所以()， 因为，所以， 所以. 故选：C. 2. 圆与圆至少有三条公切线，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题知两圆的位置关系为外切或相离，进而根据圆心距与半径和的关系求解即可. 【详解】解：将化为标准方程得，即圆心为半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆至少有三条公切线， 所以两圆的位置关系为外切或相离， 所以，即，解得. 故选：D 3. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上.经过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于、两点.若，线段的中点的纵坐标为，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出直线的方程并与抛物线的方程联立，结合以及线段中点的纵坐标求得，进而确定正确答案. 【详解】设抛物线的方程为，焦点， 依题意可知直线斜率存在，设其方程为. ，消去并化简得， 设，则， ， 由于，线段的中点的纵坐标为， 所以， ，， ，解得， 所以抛物线的方程为. 故选：B 4. 已知数列的前n项和是，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推公式，求出数列奇数项和偶数项各自的性质，再根据等比数列求和公式，求出数列前2025项的和. 【详解】因为，所以， 又，所以数列是首项为3，公比为4的等比数列. 因为，， 所以数列是首项为24，公比为4的等比数列. 所以， 故选：C. 5. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件可推得，即有，结合目标式化简可得，令，利用导函数研究其单调性并确定区间最小值，即为的最小值． 【详解】，所以， 则． 于是．所以． 构造函数， 易知当时，单调递增．所以，． 于是， 令，则．在上单调递减， 在单调递增．所以，即． 故选：A 6. 从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用枚举法写出所有的等比数列即可得到答案. 【详解】（2）以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9； 以2为首项的等比数列为2，4，8； 以4为首项的等比数列为4，6，9； 把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列， ∴所求的数列共有2（2＋1＋1）＝8个. 故选：D. 【点睛】本题考查了等比关系的确定，考查了学生观察问题的能力，是中档题. 7. 某工厂产品合格的概率均为，各产品合格与否相互独立．设为该工厂生产的件商品中合格的数量，其中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项分布的分布列求D(X)，P(X=2)，P(X=3)，结合已知求p的范围. 【详解】由已知X服从与参数为5，p的二项分布， ∴ ，，， 又，， ∴ ，， ∴ ， 故选：B. 8. 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是 A. 人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20% B. 人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20% C. 人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20% D. 人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20% 【答案】B 【解析】 【分析】根据散点图对相关性、中位数进行分析，从而确定正确选项. 【详解】从散点图可以看出，年龄增大，脂肪含量也随之增加，故为正相关. 中间两个点即第5、6两个点脂肪含量均低于20%，故脂肪含量的中位数小于20%. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：与椭圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 若与至少有一个公共点，则 B. 若与有且仅有两个公共点，则 C. 若，则上到的距离为5的点只有1个 D. 若，则上到的距离为1的点只有3个 【答案】BCD 【解析】 【分析】联立直线与椭圆方程，根据公共点个数判断的符号求m的范围，利用直线到椭圆切线的距离判断直线与椭圆的交点个数. 【详解】联立，消去得，则判别式， A：令，则有，错误； B：令，则有，正确； C：令直线与椭圆相切，则，即， 直线与的距离，正确； D：如图，直线分别与和的距离均为1，因此，上到的距离为1的点只有3个，正确. 故选：BCD 10. 已知等差数列的前n项和为，且满足，，则（ ） A. B. C. 当且仅当时，取最小值 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式、前n项和公式进行求解判断即可. 【详解】设数列的公差为d，由，， 得 解得，， 所以，，则，，A，B正确； 令，得，且，则或时，取最小值，C不正确；因为，所以，D不正确． 故选：AB 11. 已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 第5次取出的球是红球的概率为 D. 前3次取球恰有2次取到红球的概率是 【答案】AC 【解析】 【分析】依题意求出，设第次取出球是红球的概率为，则白球概率为，即可求出第次取出红球的概率，即可得到，从而可判断各个选项. 【详解】依题意， 设第次取出球是红球的概率为，则白球概率为， 对于第次，取出红球有两种情况． ①从红箱取出的概率为，②从白箱取出的概率为， 对应，即，故B错误； 所以， 令，则数列为等比数列，公比为，因为，所以， 故，所以，故选项A，C正确； 第1次取出球是红球的概率为，第2次取出球是红球的概率为， 第3次取出球是红球概率为， 前3次取球恰有2次取到红球的概率是， 故D错误； 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 椭圆被直线截得的弦长为________. 【答案】 【解析】 【详解】由 消去y并化简得 设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则 所以弦长. 故填. 13. 若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数有三个单调区间，分析导函数恰有两个零点，根据导函数方程的根的情况即可求出参数范围. 【详解】依题意知，当时，，只有两个单调区间，不符合题意， 则当时，， 因函数恰有三个单调区间，即恰有两个极值点，故必有两个不相等的零点， 则，解得且， 故答案为：. 14. 乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有_____项． 【答案】60 【解析】 【分析】展开后的每一项都是由三个式子中任取一项相乘得到的,因而根据分步乘法原理即可得出结论. 【详解】根据多项式的乘法法则, 可知展开后的每一项都是由､､这三个式子, 每一个中任取一项相乘后得到的, 而在中有3种取法, 在中有4种取法, 在中有5种取法, 由分步乘法原理可得,总共有种情况, 故答案为:60. 【点睛】本题考查分步计数原理的运用,属于简单题. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 如图，直四棱柱的底面为菱形，，． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形和线面垂直的性质得出线线垂直，进而可证线面垂直，得出面面垂直； （2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式可求答案. 【小问1详解】 证明：四边形是菱形，， 又平面，平面，． ，，平面， 平面． 平面，平面平面． 【小问2详解】 解：设下底面、上底面菱形对角线交点分别为，，连接， 依题意可知，平面，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，， ，，，， ，，． 设平面的法向量为， 则 取， 设直线与平面所成的角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为． 16. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列; （2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得. 【详解】（1）[方法一]： 由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知 ① 于是． ② 由①②得． ③ 又， ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差等差数列． [方法三]： 由，得，且，，． 又因为，所以，所以． 在中，当时，． 故数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法四]：数学归纳法 由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且． 下面用数学归纳法证明． 当时显然成立． 假设当时成立，即． 那么当时，． 综上，猜想对任意的都成立． 即数列是以为首项，为公差的等差数列． （2） 由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， , , 当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. 【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论； 方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解； 方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论． （2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式； 17. 设函数，. （1）当时，求的单调区间； （2）令，是否存在实数，当时，函数的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）存在， 【解析】 【小问1详解】 当时，，，得，  令，解得，令，解得，  故的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 存在实数，使得当时，的最小值是 理由如下：  因为，，所以，所以， ①当时，易知在上单调递减，所以在上的最小值为，解得，不合题意，舍去；  ②当时，时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，  所以在上的最小值为，解得，满足题意；  ③当时，时，，在上单调递减，所以在上的最小值为，解得，不合题意，舍去.  综上，存在实数，使得当时，的最小值是. 18. 某单位规定每位员工每年至少参加两项专业技能测试，测试通过可获得相应学分，每年得的总学分不低于10分，该年度考核为合格.该单位员工甲今年可参加的专业技能测试有A､B､C､D四项，已知这四项专业技能测试的学分及员工甲通过各项专业技能测试的概率如下表所示，且员工甲各项专业技能测试是否通过相互独立. 培训项目 A B C D 学分 5分 6分 4分 8分 员工甲通过测试的概率 （1）若员工甲参加A､B､C三项测试，求他本年度考核合格的概率： （2）员工甲欲从A､B，C､D中选择三项参加测试，若要使他本年度考核合格的概率不低于，应如何选择？请求出所有满足条件的方案. 【答案】（1）；（2）满足条件的方案为A､B､D和B､C､D. 【解析】 【分析】（1）根据甲本年度考核合格必须通过B测试，且A､C测试中至少有一项通过计算即可. （2）分三种情况，①若选择A､C､D三项测试，则必须通过D测试，且A､C测试中至少有一项通过；②若选择A､B､D三项测试，则需任意两项测试通过或三项测试均通过；③若选择B､C､D三项测试，则需任意两项测试通过或三项测试均通过，分别计算概率即可. 【详解】（1）由题知，员工甲本年度考核合格必须通过B测试，且A､C测试中至少有一项通过，故其考核合格的概率为； （2）①若选择A､C､D三项测试，则必须通过D测试，且A､C测试中至少有一项通过，故员工甲考核合格的概率为； ②若选择A､B､D三项测试，则需任意两项测试通过或三项测试均通过，故员工甲考核合格的概率为 ； ③若选择B､C､D三项测试，则需任意两项测试通过或三项测试均通过，故员工甲考核合格的概率为； 结合（1）中知，满足条件的方案为A､B､D和B､C､D. 19. 中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度℃关于时间的回归方程模型，通过实验收集在25℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的数据，并对数据做初步处理得到如下所示散点图． 73.5 3.85 表中： （1）根据散点图判断，①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间x的回归方程： （3）已知该茶水温度降至60℃口感最佳，根据（2）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感? 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ②参考数据：． 【答案】（1）② （2） （3）75分钟 【解析】 【分析】（1）根据散点图的走势即可对回归方程作出判断和选择； （2）把非线性回归方程化为线性回归直线方程，根据题中表格所给的数据计算求解即可； （3）由已知当茶水温度降至60℃口感最佳，即把代入（2）中的回归方程，化简可得大约需要放置的时间； 【小问1详解】 根据散点图判断，其变化趋势不是线性的，而是曲线的，因此，选②更适宜此散点的回归方程. 【小问2详解】 由有：，两边取自然对数得：，设，， ， 则化为：，又， ，， ，， 回归方程为：， 即. 【小问3详解】 当时，代入回归方程得：，化简得：，即， 又， 约化为：， 即 大约需要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$