精品解析：河南省洛阳市新安县2024-2025学年七年级下学期6月期末考试数学试题

2024~2025学年第二学期期末教学质量检测试卷 七年级数学 友情提示： 1．本试卷共8页，三大题，满分为120分，考试时间为100分钟．请用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答题前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 下列变形中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ） A. a2＜b2 B. 2a＜2b C. a﹣3＜b﹣3 D. 3. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°，则∠DAC的大小是（　　） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 5. 如图，与关于直线对称，P为上任一点（A、P、不共线），下列结论中，错误的是（　　） A. 是等腰三角形 B. 垂直平分、 C 与面积相等 D. 直线，的交点不一定在直线上 6. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”这一章里，二元一次方程组是由算筹（算筹是中国古代用来记数、列式和进行演算的一种工具）来记录的．在算筹记数法中，以“立”“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示两位数时，个位用立式，十位用卧式．如图（1），从左到右列出的算筹数分别表示、的系数与相应的常数项，根据图（1）可列出方程组，则根据图（2）列出的方程组是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，将直角沿着射线方向平移10个单位长度，得，已知，，则阴影部分面积为（ ） A. 40 B. 60 C. 20 D. 80 8. 如图，小莉从A点出发，沿直线前进10米后左转20°，再沿直线前进10米，又向左转20°，……，照这样走下去，她第一次回到出发点A时，一共走的路程是（　　） A. 150米 B. 160米 C. 180米 D. 200米 9. 如图所示的2×2的小正方形方格中，连接AB、AC、AD．则下列结论错误的是（　　） A. ∠1+∠2＝∠3 B. ∠1+∠2＝2∠3 C. ∠1+∠2＝90° D. ∠1+∠2+∠3＝135° 10. 若不等式解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图是香港特别行政区区旗上的紫荆花图案，它绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为_________． 12. 一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售，若这款羊毛衫每件原价的8折（即按照原价的80%）销售，售价为120元，则这款羊毛衫的原销售价为__． 13. 如图，在中，点是上的点，，将沿着翻折得到，则______°． 14. 如图，与交于点，则的度数为______． 15. 如图，在中，是边上的中线，与关于点成中心对称．若，则线段的取值范围是______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解下列方程或方程组： （1）； （2）． 17. 已知关于的不等式组． （1）若，求这个不等式组的解集； （2）若这个不等式组的整数解只有2、3、4、5，求整数的值． 18. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，和的顶点均在格点上，且． （1）画出关于直线对称的． （2）画出，使与关于点成中心对称． （3）与是否对称？若对称，请在图中画出对称轴或对称中心． （4）写出一种由经过轴对称、平移和旋转变换得到的过程． 19. 如图，在△ABC中，∠B＋∠ACB＝30°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点． （1）指出旋转中心，并求出旋转角度数； （2）求出∠BAE的度数和AE的长． 20. 已知关于的二元一次方程组． （1）若方程组的解满足，求的值； （2）若方程组的解满足，求的取值范围． 21. 阅读理解： 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是．若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺． 图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案． 解决问题： （1）上文中“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，这种做法体现的一种数学思想是________；（填字母代号即可） A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想 （2）除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形________； （3）图5是图4中的一个基本图形，若，，求的度数． 拓展延伸： （4）现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是_____________；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是______________．（填数字序号即可） （5）用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是________． 22. 某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元． （1）A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元？ （2）该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 23. 小新是七年级的学生，：他用的数学教材是华师大版，学习过程中，在做完七年级下册第82页习题4后，老师经过思考，对该习题进行了下面的变式，让同学们解决，也请你解决下面的问题． 如图，在中，与的平分线交于点P，外角，的平分线交于点Q，延长线段BP，QC交于点E． （1）如果，求的度数； （2）探索与之间的数量关系； （3）若在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出锐角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年第二学期期末教学质量检测试卷 七年级数学 友情提示： 1．本试卷共8页，三大题，满分为120分，考试时间为100分钟．请用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答题前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 下列变形中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、若，等式两边同时加，可得，该选项变形正确，不合题意； 、若，等式两边同时乘，可得，该选项变形正确，不合题意； 、若，等式两边同时除以，可得，该选项变形正确，不合题意； 、若，当时，不一定等于，该选项变形不正确，符合题意； 故选：． 2. 若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ） A. a2＜b2 B. 2a＜2b C. a﹣3＜b﹣3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求出答案． 【详解】A:当a=-5，b=1时，不等式a2＜b2不成立，故本选项正确； B. 由a＜b，可得2a＜2b，成立； C.由a＜b，可得a-3<b-3，成立； D.由a＜b，可得,成立. 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型． 3. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 4. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°，则∠DAC的大小是（　　） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABC＝2∠ABE，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后根据∠DAC＝∠BAC−∠BAD计算即可得解． 【详解】解：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°， ∵AD是BC边上的高， ∴∠BAD=90°﹣∠ABC=90°﹣50°=40°， ∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=60°﹣40°=20°． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 5. 如图，与关于直线对称，P为上任一点（A、P、不共线），下列结论中，错误的是（　　） A. 是等腰三角形 B. 垂直平分、 C. 与面积相等 D. 直线，的交点不一定在直线上 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称的性质解答即可． 该题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴是等腰三角形，垂直平分，，这两个三角形的面积相等，故A、B、C选项正确， 直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D错误， 故选：D． 6. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”这一章里，二元一次方程组是由算筹（算筹是中国古代用来记数、列式和进行演算的一种工具）来记录的．在算筹记数法中，以“立”“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示两位数时，个位用立式，十位用卧式．如图（1），从左到右列出的算筹数分别表示、的系数与相应的常数项，根据图（1）可列出方程组，则根据图（2）列出的方程组是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意可得，图（2）列出的方程组是 故选C． 【点睛】此题考查是二元一次方程的应用，掌握“立”“卧”两种排列方式来表示的实际意义是解决此题的关键． 7. 如图，，将直角沿着射线方向平移10个单位长度，得，已知，，则阴影部分的面积为（ ） A. 40 B. 60 C. 20 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据三角形的面积公式和矩形的面积公式计算出：△ABC的面积，矩形的面积，再用矩形的面积﹣△ABC的面积可得阴影部分的面积． 【详解】解：∵△ABC的面积为：•CB•AC8×5＝20， 矩形 的面积：＝8×10＝80， ∴阴影部分的面积为80﹣20＝60， 故选：B． 【点睛】本题考查平移的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8. 如图，小莉从A点出发，沿直线前进10米后左转20°，再沿直线前进10米，又向左转20°，……，照这样走下去，她第一次回到出发点A时，一共走的路程是（　　） A. 150米 B. 160米 C. 180米 D. 200米 【答案】C 【解析】 【分析】多边形的外角和为360°，每一个外角都为20°，依此可求边数，再求多边形的周长． 【详解】解：∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为20°， ∴多边形的边数为360°÷20°＝18， ∴小莉一共走了：18×10＝180（米）． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的外角和的应用，利用多边形外角和除以一个外角得出多边形的边数是解题关键． 9. 如图所示2×2的小正方形方格中，连接AB、AC、AD．则下列结论错误的是（　　） A. ∠1+∠2＝∠3 B. ∠1+∠2＝2∠3 C. ∠1+∠2＝90° D. ∠1+∠2+∠3＝135° 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形以及勾股定理可以得到边之间关系，从而得到，，为等腰直角三角形，对选项逐个判断即可求解． 【详解】解：如图，，， ∴，，为等腰直角三角形 ∴∠4＝∠2，∠1＝∠5， A、∠1+∠2＝∠1+∠4＝90°＞∠3，故符合题意 B、∠1+∠2＝2∠3＝90°，故不符合题意 C、∠1+∠2＝∠1+∠4＝90°，故不符合题意 D、∠1+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠3＝90°+45°＝135°，故不符合题意 故选：A． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关基本性质找到角之间的关系是解题的关键． 10. 若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、不等式的性质等知识点，能根据已知得到关于m的不等式是解答本题的关键． 求出的解集，再求出的解集，得出关于m的不等式，即可求解． 【详解】解得：， 解得：， ∵解集中的每一个x的值均满足， ∴， 解得． 故选A． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图是香港特别行政区区旗上的紫荆花图案，它绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为_________． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，涉及周角为，据此作答，观察出该图形被平分成五部分，这五部分完全重合是解题的关键． 【详解】解：因为该图形被平分成五部分，这五部分完全重合， 所以每个部分形成的角度：． 即旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为72． 故答案为：72． 12. 一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售，若这款羊毛衫每件原价8折（即按照原价的80%）销售，售价为120元，则这款羊毛衫的原销售价为__． 【答案】150元 【解析】 【详解】设这款羊毛衫的原销售价为x元，依题意得： 80%x=120， 解得：x=150， 故答案为150元． 13. 如图，在中，点是上的点，，将沿着翻折得到，则______°． 【答案】20 【解析】 【分析】根据三角形内角和和翻折的性质解答即可． 【详解】解：，将沿着翻折得到， ，， ， 故答案为20 【点睛】此题考查翻折的性质，关键是根据三角形内角和和翻折的性质解答． 14. 如图，与交于点，则的度数为______． 【答案】##540度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和以及多边形的内角和，连接，根据三角形的内角和定理即可证得，然后根据多边形的内角和求解即可． 【详解】解∶ 连接， ∵，，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图，在中，是边上的中线，与关于点成中心对称．若，则线段的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的性质，三角形的三边关系，根据成中心对称图形的性质，结合三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】∵与关于点成中心对称， ，， 在中，，即， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解下列方程或方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解题步骤是解答本题的关键． （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可； （2）用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以7，得 【小问2详解】 ①得③， ②得④， ③＋④得，解得， 把代入②，得， 解得， 故原方程组的解为 17. 已知关于的不等式组． （1）若，求这个不等式组的解集； （2）若这个不等式组的整数解只有2、3、4、5，求整数的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的解集. （1）当时，分别解两不等式，即可求出不等式组的解集； （2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组的整数解只有2、3、4、5判断a的取值范围即可. 【小问1详解】 解：当时，由①，得． 由②，得． 故不等式组的解集为． 【小问2详解】 解：由①，得， ∴不等式组的解集为． 因为这个不等式组的整数解只有2、3、4、5， 所以． 解得． 因为为整数，所以． 18. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，和的顶点均在格点上，且． （1）画出关于直线对称的． （2）画出，使与关于点成中心对称． （3）与是否对称？若对称，请在图中画出对称轴或对称中心． （4）写出一种由经过轴对称、平移和旋转变换得到的过程． 【答案】（1）见解析 （2）是轴对称图形，对称轴见解析 （3）见解析 （4）见解析，答案不唯一． 【解析】 【分析】本题主要考查作图—平移变换、轴对称变换和旋转变换，解题的关键是掌握平移变换、轴对称变换和旋转变换的定义和性质． （1）分别作出三个顶点关于直线x的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于原点O的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）由图形可得其对称轴； （4）结合图形，对照平移变换、轴对称变换和旋转变换的概念求解即可． 【小问1详解】 如图所示，即为所求 【小问2详解】 如图所示，即为所求， 【小问3详解】 与是轴对称图形，对称轴如图所示 【小问4详解】 将以点B为旋转中心，逆时针旋转后，再向右平移6个单位得到． 19. 如图，在△ABC中，∠B＋∠ACB＝30°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点． （1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数； （2）求出∠BAE的度数和AE的长． 【答案】（1）旋转中心是点 旋转角；（2） 【解析】 【分析】（1）先求解 由点旋转后与自身重合可得旋转中心，由是旋转前后的对应点，可得旋转角的大小； （2）由旋转的性质可得：结合点C为AD中点，从而可得 【详解】解：（1） ∠B＋∠ACB＝30°， 所以旋转中心是点 旋转角 （2）由旋转的性质可得： 点C恰好成为AD中点， 【点睛】本题考查的是旋转的三要素，旋转的性质，掌握“旋转中心，旋转方向，旋转角度与旋转的性质”是解本题的关键. 20. 已知关于的二元一次方程组． （1）若方程组的解满足，求的值； （2）若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】（1）的值为2 （2）的取值范围为 【解析】 【分析】（1）根据二元一次方程组的解法，求出方程组的解，代入解方程即可得到答案； （2）由（1）中方程组的解，代入解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 由①②得； 将代入①得； 方程组的解满足， ，解得； 【小问2详解】 解：由（1）知方程组的解为， 方程组的解满足， ，解得． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握利用含参数的二元一次方程组的解法，按题中条件列式求解是解决问题的关键． 21. 阅读理解： 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是．若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺． 图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案． 解决问题： （1）上文中“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，这种做法体现的一种数学思想是________；（填字母代号即可） A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想 （2）除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形________； （3）图5是图4中的一个基本图形，若，，求的度数． 拓展延伸： （4）现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是_____________；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是______________．（填数字序号即可） （5）用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是________． 【答案】（1）B；（2）正六边形；（3）；（4）①②或①④或②⑤（答案不唯一）；①②④或②④⑦；（5） 【解析】 【分析】本题考查了平面图形的镶嵌，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360度． （1）将n边形的内角和转化为三角形的内角和来计算，即得答案； （2）当时，正六边形的内角度数能整除，即得答案； （3）根据五边形的内角和等于，即可列方程，计算即得答案； （4）若从中选用两种或三种不同的正多边形进行平面密铺，围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即可得到答案； （5）由题意列方程，化简方程即得答案． 【详解】（1）由题意，将n边形的内角和转化为三角形的内角和来计算，这种做法体现的一种数学思想是转化思想； 故选B． （2）当一个内角度数能整除时，这样的正n边形就可以进行平面密铺， 为整数， 当时，， 除“正三角形”“正方形”外，正六边形可以进行平面密铺； 故答案为：正六边形． （3）根据五边形的内角和可知， ，， ， 解得； （4）若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺： 正三角形的每个内角是，正方形的每个内角是， ， 正三角形和正方形能密铺； 正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是， ， 正三角形和正六边形能密铺； 正方形的每个内角是，正八边形的每个内角是， ， 正方形和正八边形能密铺； 故答案为：①②或①④或②⑤．（答案不唯一） 若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，只有两种情形： ， 正三角形，正方形和正六边形能密铺； ， 正方形，正六边形和正十二边形能密铺； 故答案为：①②④或②④⑦． （5）由题意可得， ． 故答案为：． 22. 某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元． （1）A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元？ （2）该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】（1）型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为30万元； （2）最省的方案是购买A型汽车4辆，购进B型汽车6辆，该方案所需费用为280万元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式组的应用，弄清题意，找准题中的等量关系、不等关系是解题的关键． (1)设型汽车每辆的价格为万元，型汽车每辆的价格为万元，根据购买型汽车辆，型汽车辆，共需万元；购买型汽车辆，型汽车辆，共需万元，列方程组进行求解即可； (2)设购买型汽车辆，则购买型汽车辆，根据总费用不超过万元，且型汽车的数量少于型汽车的数量，列不等式组进行求解得出购买方案，然后再讨论即可得． 【小问1详解】 设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，依题意，得 解得 答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为30万元． 【小问2详解】 设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据题意，得 解得， 是整数， 或4， 当时，该方案所用费用为：（万元）； 当时，该方案所用费用为：（万元）． 答：最省的方案是购买A型汽车4辆，购进B型汽车6辆，该方案所需费用为280万元． 23. 小新是七年级的学生，：他用的数学教材是华师大版，学习过程中，在做完七年级下册第82页习题4后，老师经过思考，对该习题进行了下面的变式，让同学们解决，也请你解决下面的问题． 如图，在中，与的平分线交于点P，外角，的平分线交于点Q，延长线段BP，QC交于点E． （1）如果，求的度数； （2）探索与之间的数量关系； （3）若在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出锐角的度数． 【答案】（1）122° （2） （3）60°或120°或45°或135°． 【解析】 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在△BQE中，由于∠Q=90°-∠A，求出∠E=∠A，∠EBQ=90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ=3∠E=90°；②∠EBQ=3∠Q=90°；③∠Q=3∠E；④∠E=3∠Q；分别列出方程，求解即可． 【小问1详解】 ∵∠A=64°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-64°=116°， ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ∴∠BPC＝180°−(∠PBC+∠PCB)＝180°− (∠ABC+∠ACB)=180°−×116°＝122°； 【小问2详解】 ∵外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q， ∴，． ∴ ． 【小问3详解】 如图，延长BC至F， ∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， ∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线， ∴∠ACF=2∠ECF， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠EBC， ∵∠ECF=∠EBC+∠E， ∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E， 即∠ACF=∠ABC+2∠E， 又∵∠ACF=∠ABC+∠A， ∴∠A=2∠E，即∠E=∠A； ∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ =∠ABC+∠MBC =（∠ABC+∠A+∠ACB） =90°． 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况： ①∠EBQ=3∠E=90°，则∠E=30°，∠A=2∠E=60°； ②∠EBQ=3∠Q=90°，则∠Q=30°，∠E=60°，∠A=2∠E=120°； ③∠Q=3∠E，则∠E=22.5°，解得∠A=45°； ④∠E=3∠Q，则∠E=67.5°，解得∠A=135°． 综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$