精品解析：云南省昆明市云南师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期教学质量监测（八）（6月月考）数学试卷

2024~2025学年高二年级教学质量监测卷（八） 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号､准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由复数除法运算计算出，再由复数概念得结论． 【详解】由知，故复数的虚部为. 故选：B． 【点睛】本题考查复数的有关概念及复数的运算．对于复数，复数的虚部为，不是. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数以及指数函数的性质，求得集合，利用交集，可得答案. 【详解】集合，即. 故选：D. 3. 已知，则最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求出最小值. 【详解】由，得， 当且仅当时取等号得出最小值4， 故选：C. 4. 如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（ ） A. 160元 B. 128元 C. 97.5元 D. 86.875元 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理求得斜高，根据正四棱台的表面积计算，可得答案. 【详解】由题意，分别取上下底面的中心为，分别取的中点为，连接，如下图： 则，，， 易知， 根据题意可得正四棱台的斜高为， 所以正四棱台的表面积为， 所以该零部件的防腐处理费用是元. 故选：B. 5. 已知平面向量，且，与的夹角为钝角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，再根据和列出方程求解即可. 【详解】设，因为，所以，又， 解得或 因为与的夹角是钝角，所以. 故选：A. 6. 已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（ ） A. 0.7 B. 0.5 C. 0.3 D. 0.2 【答案】C 【解析】 【分析】由得出对应的正态密度函数的对称轴，利用正态分布的性质与对称性求解即可. 【详解】根据题意，，则正态密度函数关于对称，即， 则. 故选：C. 7. 与圆相切且在两坐标轴上截距相等直线共有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 6条 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的截距式方程以及直线与圆相切，即可根据圆心到直线距离等于半径求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径是，而原点在圆外， 如图所示，则与圆相切， 且在两坐标轴上截距相等的直线中过原点的直线有两条； 当直线不过原点时，可设切线方程为，即， 可得，即（舍去）或， 当时，直线方程为. 综上可知，与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有3条. 故选：B. 8. 已知函数，则的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由整体思想可得零点个数，根据三角函数的对称性，可得答案. 【详解】由于，故， 故由题意转化为在区间上有两个不相等的实数根， 令，则在上有两个不相等的实数根， 故，则函数与在上有两个不同的交点， 由正弦函数的性质关于对称，则，解得， 故，即，所以的所有零点之和为. 故选：A. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 等比数列和函数满足，则以下数列也为等比数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等比数列的相关概念，结合题意逐项检验，可得答案. 【详解】对于A，由题意，设，则，故A正确； 对于为奇数则无意义，故B错误； 对于，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 数据的第45百分位数是3 B. 已知线性相关系数为，若越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 C. 回归直线方程为，则样本点的残差为 D. 随机变量服从二项分布，若方差，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A:利用百分位数定义即可得到结果；对于B：越接近1，则两个变量的线性相关性越强，对于C：利用残差定义即可得到结果；对于D：利用二项分布的方差公式即可求得结果. 【详解】对于A，数据从小到大排列为，因为，所以数据的第45百分位数为2，故A错误； 对于B，若线性相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故B正确； 对于C，令，得，则所求残差为，故C正确； 对于D，可得，解得或， 当时，可得， 当时，可得， 综上可得，总有，故D正确， 故选：BCD. 11. 已知定义域为的函数不是常值函数，当时，，而且对任意的有，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 在上单调递减 D. 若，则不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A令求出，再令确定具体值；B令即可；C利用单调性的定义证明；D令得出是偶函数，再将问题转化为，结合单调性即可求出. 【详解】对于A，令，则有，得或， 但当时，， 与不是常值函数矛盾，故，故A正确； 对于B，令，则， 则， 当，则，故， 故，故B正确； 对于C，任取，令，则， 则，故在上单调递增，故C错误； 对于D，令可得：， 故是偶函数， 又，于是原不等式可转化为， 又由在上单调递增可得：，解得：， 故不等式的解集为，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知的展开式中项的系数为40，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】写出的二项展开式，根据题意求出的系数，进而列出等式求解即可. 【详解】多项式的展开式中含的项为， 所以，解得. 故答案为：. 13. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求导，再代入计算即可. 【详解】函数，则，故. 故答案：. 14. 设抛物线的焦点为，过点的直线与相交于，两点，点在轴上方，且，则直线的方程为__________，的面积为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求得抛物线方程为，设直线的方程为，由结合抛物线定义可得，代入直线方程即可求得直线的方程；将直线方程代入抛物线方程得，再由代入计算即可. 【详解】由焦点为，得，则， 设直线的方程为，，则， 由，得，解得， 因为点在抛物线上，所以，解得， 则，将点的坐标代入直线方程，得，解得， 故直线的方程为，即； 将代入中，得， 则，所以， 故. 故答案为：； 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知分别为的内角的对边，且. （1）求； （2）若，的面积为2，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理代入化简，结合角的范围即可求解； （2）根据三角形面积公式和余弦定理代入求解即可. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得，， 代入， 则， 即， 即， 因为，所以，则 【小问2详解】 因为的面积为2， 所以，即， 又因为，，，所以， 则，则 16. 如图，在正四棱柱中，分别为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用正方形的性质得，再利用线面垂直的性质定理得，进而利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求出平面的夹角即可. 【小问1详解】 连接，因为分别为棱的中点，所以且. 则四边形是正方形，则， 由正四棱柱性质可知平面， 因为平面，所以， 因为平面平面，且， 所以平面. 【小问2详解】 由正四棱柱的性质可知两两垂直， 则以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 则， 故， 设平面的法向量为， 则令，得， 则， 由（1）可知平面， 则是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 因为，所以， 即平面与平面的夹角为. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导，再利用点斜式求出切线方程； （2）先根据的单调性求出其最小值，再构造函数证明即可. 【小问1详解】 当时，，所以，则， 则在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由已知，的定义域为，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 所以， 要证，只需证， 设， 则在时恒成立， 所以在上单调递减， 所以当时，，即， 所以当时，. 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为. （1）求双曲线的标准方程； （2）若双曲线的右顶点为，过焦点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点，记直线的斜率分别为，的面积分别为. （i）求证：为定值； （ii）求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意求出，即可求得答案； （2）（i）设直线的方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合的表达式，即可证明结论； （ii）利用直线方程求出相关点坐标，可得的表达式，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可求得答案. 【小问1详解】 解：因为双曲线的一条渐近线方程为，右焦点， 所以 解得， 故双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 （i）易知，， 由题可设直线的方程为， 由，得， ， 直线与的右支交于两点， ， ， . ， 故为定值. （ii）由题意可得， 直线的方程为，则， 同理可得， ， ， ， ，当且仅当时等号成立， 故的取值范围为. 19. 已知为正整数且为非零实数，数列满足，且是公差为1的等差数列，是公差为的等差数列，是公差为的等差数列，以此类推. （1）当时，求； （2）求的最小值（用含的代数式表示）； （3）记除以的整数部分为，余数为，求的通项公式（用含的代数式表示）. 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意根据等差数列通项公式求解即可； （2）结合题意根据等差数列通项公式得，计算即可求解； （3）由题可知：，当时，结合题意根据等差数列通项公式得，利用累加法可得，根据等比数列求和化简可得，当时，也满足上式，即. 【小问1详解】 根据题设条件可知为公差为1的等差数列， 根据等差数列的通项公式可得， 又为公差为的等差数列， 根据等差数列通项公式的推广公式可得， 解得. 【小问2详解】 由题可知：为公差为1的等差数列， 根据等差数列的通项公式可得， 为公差为的等差数列， 故， 为公差的等差数列， 故， 又为正整数，故，即的最小值为. 【小问3详解】 记除以整数部分为，余数为，则， 当时，是公差为的等差数列， 而， 依次类推得， 累加得， 当时，， 当，根据等比数列的求和公式可得， 也即 由题，，则 当时，，仍然满足上式， 综上，数列的通项公式为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年高二年级教学质量监测卷（八） 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号､准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 9 4. 如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（ ） A. 160元 B. 128元 C. 97.5元 D. 86.875元 5. 已知平面向量，且，与的夹角为钝角，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（ ） A. 0.7 B. 0.5 C. 0.3 D. 0.2 7. 与圆相切且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 6条 8. 已知函数，则的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 等比数列和函数满足，则以下数列也为等比数列的是（ ） A B. C. D. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 数据第45百分位数是3 B. 已知线性相关系数为，若越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 C. 回归直线方程为，则样本点的残差为 D 随机变量服从二项分布，若方差，则 11. 已知定义域为的函数不是常值函数，当时，，而且对任意的有，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 在上单调递减 D. 若，则不等式的解集为 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知的展开式中项的系数为40，则实数的值为__________. 13. 已知函数，则__________. 14. 设抛物线的焦点为，过点的直线与相交于，两点，点在轴上方，且，则直线的方程为__________，的面积为__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知分别为内角的对边，且. （1）求； （2）若，的面积为2，求. 16. 如图，在正四棱柱中，分别为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，. 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为. （1）求双曲线的标准方程； （2）若双曲线右顶点为，过焦点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点，记直线的斜率分别为，的面积分别为. （i）求证：为定值； （ii）求的取值范围. 19. 已知为正整数且为非零实数，数列满足，且是公差为1的等差数列，是公差为的等差数列，是公差为的等差数列，以此类推. （1）当时，求； （2）求的最小值（用含的代数式表示）； （3）记除以的整数部分为，余数为，求的通项公式（用含的代数式表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$