精品解析：上海市杨浦区部分学校2024-2025学年七年级下数学期末试卷

2024学年度第二学期初一年级绿色指标质量调研试卷 数学学科 （满分：100分 完成时间：90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分） 1. 已知，下列式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴，即，故A正确； B.∵， ∴，故选项B错误； C. ∵， ∴，故选项C错误； D. ∵， ∴，故选项D错误； 故选：A． 2. 如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的第三边可能是 （ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得答案． 【详解】解：设第三边为a， 根据三角形的三边关系：5-3＜a＜3+5， 解得：2＜a＜8． ∴四个选项中，第三边可能是4， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，求出第三边的取值范围是解题关键． 3. 如果用一个高为12厘米的圆锥形容器盛满水，倒入与它等底等高的圆柱形容器中，那么水的高度是（ ） A. 36厘米 B. 12厘米 C. 8厘米 D. 4厘米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用，因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的倍，据此解答即可． 【详解】解：（厘米） 即：水深是4厘米。 故选：D． 4. 骑行是一种有氧运动，有助于增强心肺功能，也是一种锻炼身体和享受大自然美景的好方式．如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．根据平行线的判定和性质逐一分析即可解答． 【详解】解：A、若，则，结论正确，本选项不符合题意； B、若，则，结论正确，本选项不符合题意； C、若， ∴， ∵， ∴， ∴，原结论错误，本选项符合题意； D、若，， ∴， ∵， 则，结论正确，本选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列说法中，错误的是（ ） A. 两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B. 两边对应相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 C. 两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等 D. 两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，需逐一分析各选项是否符合全等条件． 【详解】解：A．两角对应相等，且其中一组等角的对边相等，符合全等判定，正确，不符合题意； B．两边对应相等，但其中一组等边的对角相等，属于条件，无法唯一确定三角形（存在歧义情况），不能保证全等，错误，符合题意； C．两边分别相等且其中一组等边上的中线也相等的两个三角形全等，正确，不符合题意； D．两角对应相等，且一组等角的平分线相等，通过角平分线定理可推第三边相等，符合或全等判定，正确． 故选：B． 6. 如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论． 【详解】解：如图， 由图得满足条件的格点P有5个， 故选：C． 二、填空题（本大题共12题，每小题3分，满分36分） 7. 若是非负数，那么满足题意的最小整数是______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意列出式子解出答案即可. 【详解】由题意得： ∴最小整数x为：2 故答案为：2 【点睛】本题考查不等式的概念，关键在于理解“不小于”就是大于等于. 8. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【解析】 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 9. 已知三角形的三个内角的度数比是，那么它是________三角形． 【答案】锐角 【解析】 【分析】本题主要考查了内角和定理．已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为，根据三角形的内角和等于列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的形状． 【详解】解：设一份为，则三个内角的度数分别为． 则， 解得， ∴， 所以这个三角形是锐角三角形． 故答案为：锐角． 10. 已知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的腰长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】分分两种情况：①若腰长为2，②若底边长为2，利用三角形的三边关系依次验证即可． 【详解】解：分两种情况： ①若腰长为2，则底边长为，由不能构成三角形，故舍去； ②若底边长为2，则腰长为，由能构成三角形， 故腰长为4， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，正确理解三角形的三边关系及等腰三角形的定义是解题的关键． 11. 已知中，，，如果是边的中点，那么_____度． 【答案】40 【解析】 【分析】首先利用等腰三角形的底角的度数求得另一个底角的度数，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质求得答案即可． 【详解】解：∵AB=AC，∠B=50°， ∴∠C=∠B=50°， ∵D是边BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠CAD=40°， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 12. 已知：如图，，三角尺的直角顶点在直线b上，，的度数为______． 【答案】##41度 【解析】 【分析】根据两直线平行同位角相等求出，再根据即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，熟记平行线的性质是解题的关键． 13. 如图，在立定跳远中，体育老师是这样测运动员的成绩的，用一块三角尺的一边紧贴在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由是___________________． 【答案】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【解析】 【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可． 【详解】解：这样做的理由是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，解题的关键是掌握垂线段的定义和性质．垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质：垂线段最短． 14. 如图，已知在中，点E在边上，垂直平分，垂足为点F，如果，，那么________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得，再由线段和差可得结论． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 15. 若圆锥底面的半径为3，它的侧面展开图的面积为，则它的母线长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】直接根据圆锥侧面展开图的弧长与底面圆周长的关系即可得出答案． 【详解】设圆锥的母线长为，由题意可知展开扇形的弧长， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形的面积与弧长公式，解题的关键是熟练掌握扇形面积与弧长公式的关系． 16. 为了维护校园安全，在校门口配备了圆柱形升降阻车桩，如图所示，它的体积是，高为，则底面半径是______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了圆柱体体积的计算，掌握其计算公式是关键． 根据圆柱体的体积等于底面积乘以高，代入计算即可． 【详解】解：， 解得，（负值舍去）， 故答案为： ． 17. 我们规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角．如图：一辆车在一段绕山公路行驶（沿箭头方向）时，在点B、C和D处的转弯角分别是、和，且，则、和之间的数量关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据转弯角的定义及平行线的性质即可得出α、β和θ三角的关系式． 【详解】根据题干中的“规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角”可知，在点B、C和D处的转弯角分别是α、β和θ，如下图所示． 过点C作，则（两直线平行，则同位角相等）． ∵， ∴， ∴（两直线平行，则内错角相等）， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质和对转弯角名称定义的理解，解题的关键是利用平行线的性质把相关的角联系在一起． 18. 如图，在中，，将绕点A旋转α（）度后，点B所对应的点D在边上，如果平分，那么________度． 【答案】 【解析】 【分析】如图，，，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，即得，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，根据题意可得：，， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 则在中，∵， ∴， 解得：； 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题，满分46分） 19. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分可得不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得，； 解不等式②得，； 所以，不等式组的解集为． 20. 如图，这是某电影院的价目表．某社团16人去此电影院看电影，打算以比赛奖金1600元购买电影票、爆米花与饮料．如果要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，那么最多可买多少盒爆米花？ 【答案】最多可买４盒爆米花 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，设可以买x盒爆米花，利用总价=单价数量，结合总价不超过1600元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】解：设可以买x盒爆米花，根据题意得： ， 解得，， 所以，最多可买４盒爆米花． 21. 如图，已知点在一直线上，与都是等边三角形，连接，说明的理由． 【答案】理由见解析 【解析】 【分析】根据条件证明，然后根据全等三角形对应角相等即可解题． 【详解】∵为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即． 在与中， ． ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，等边三角形的性质，熟练掌握定理是解题的关键. 22. 如图，已知在中，，平分，点E为边上任意一点（不与A、C重合），连接交于点F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质和三角形中角与边的关系，在上截取，连接，证明，再证明即可得出结论． 【详解】证明：在上截取，连接，如图， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 综合实践 （一）问题情境 田径比赛中，在进行400米比赛时，运动员的起跑点并不处在同一条直线上，为什么这样呢？如果比赛的起点和终点同在一条直线上，显然，对内侧跑道上的运动员较为有利．原因是内侧跑道的一周长较短，因此，为了公平比赛，在外侧跑道的运动员的起跑点必须前移．如图1是某学校新建操场示意图，每条跑道由两条平行直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，直道长度为米，第一分道（跑道）的弯道直径为米，每条跑道宽米，共有8条跑道．如图2，径赛规则规定，第一分道（跑道）周长的测量线是距离内突沿的外沿米处，其余各条分道的周长测量线是距离里侧分道线的外沿0.20米处．在进行400米跑步时，第一分道（跑道）的起跑点和终点在同一位置，且规定第一分道（跑道）的起跑点在直道和弯道的交接处点A． （二）数据计算 下表中是综合实践活动小组用列表方式呈现的相关数据：（单位：米） （三）问题解决 请根据综合实践活动经历及体会，解答下列问题（π取，结果保留两位小数）． 道次 两条弯道总长 两条直道总长 第一分道（跑道） 第二分道（跑道） 第三分道（跑道） … …… …… （1）第一分道的弯道总长为________米，第八分道总长为________米； （2）如图1，该学校在操场举行400米比赛，如果第一分道的起跑点设在点A处，第六分道的起跑点设在点A左侧弯道前方点E处，那么第六分道的起跑点比第一分道的起跑点前移________米，________度． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据题中所给的数据规律解答即可； （2）求出第六道的周长，即可得出第六分道的起跑点比第一分道的起跑点前移了多少米，再利用弧长公式运算角度即可． 【小问1详解】 解：第一分道的弯道总长为：（米）； 第八分道总长为：（米）； 故答案为：； 【小问2详解】 解：第六分道的弯道总长为：， ∴第六分道的起跑点比第一分道的起跑点前移：； 设的度数为，此时第六道的半径为：， ∴，即， 解得：； 故答案为：；． 【点睛】本题考查了整式的实际应用，规律探索，合理分析提议获取相关信息是解题的关键． 24. 请用直尺和圆规完成下列作图并解答问题． （1）如图1，已知，求作边上的高．小亮同学设计的尺规作图过程如下：作法：①以A为圆心，长为半径作弧；②以B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点E；③连接，交于点D．所以线段就是所求的边上的高． （i）请用直尺和圆规，完成小亮的作图（保留作图痕迹）； （ii）分别连接，再将该作图的证明过程补充完整． 证明：∵；∴点A在线段的垂直平分线上．（________）（填推理依据） ∵；∴点B在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分线段．（________）（填推理依据） ∴．即是边上的高． （2）如图2，已知中，是边上的高，，求作边上的高． 小红同学设计的尺规作图，要求：圆规只使用一次，即圆规只能画一条弧． ①请用直尺和圆规，完成小红的作图（保留作图痕迹，简要说明作图步骤）； ②根据小红的作法，求证：是边上的高． 【答案】（1）①见解析②到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线 （2）①见解析②见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）①根据题意画出图形即可； ②证明A，B到线段的两个端点的距离相等，可得结论； （2）①以H为圆心，为半径作弧交于点T，连接，延长交于点D，线段即为所求； ②证明，推出，可得结论． 【小问1详解】 解：①如图，即为所作； ②证明：∵； ∴点A在线段的垂直平分线上（到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）， ∵； ∴点B在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分线段．（两点确定一条直线）（填推理依据） ∴．即是边上的高． 故答案为：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线． 【小问2详解】 解：①图形如图所示； 以H为圆心，为半径作弧交于点T，连接，延长交于点D，线段即为所求 ②证明：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是的边上的高． 25. 在中，，点D是BC边上一点（点D不与B、C重合）．点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD．在直线AD上取一点F，使，直线EF与直线AC交于点G． （1）如图1，如果，，． ①求的度数（用含α的代数式表示）； ②求证：； （2）如图2，如果，连接AE，当为等腰三角形时，求的度数． 【答案】（1）①②见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和，外角定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）由三角形内角和定理及外角定理结合即可求解； （2）①在上截取，连接交于点H，连接，再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论； ②连接，记与的交点为点N，由轴对称知，，当点G在边上时，由于，当为等腰三角形时，只能是，解得，当点G在延长线上时，只能是，设，在中，，解得，即可得到结论． 【小问1详解】 解：①如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②证明：在上截取，连接交于点H， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D关于直线的对称点为点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，记与的交点为点N，如图2， ∵， ∴， 由轴对称知， 当点G在边上时，由于， ∴当为等腰三角形时，只能是， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 在中，， 解得， ∴， 当点G在延长线上时，只能是，如图3： 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 在中，， 解得， ∴， 综上所述，当为等腰三角形时，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年度第二学期初一年级绿色指标质量调研试卷 数学学科 （满分：100分 完成时间：90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分） 1. 已知，下列式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的第三边可能是 （ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 3. 如果用一个高为12厘米的圆锥形容器盛满水，倒入与它等底等高的圆柱形容器中，那么水的高度是（ ） A. 36厘米 B. 12厘米 C. 8厘米 D. 4厘米 4. 骑行是一种有氧运动，有助于增强心肺功能，也是一种锻炼身体和享受大自然美景的好方式．如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5. 下列说法中，错误的是（ ） A. 两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B. 两边对应相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 C. 两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等 D. 两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等 6. 如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共12题，每小题3分，满分36分） 7. 若是非负数，那么满足题意的最小整数是______. 8. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 9. 已知三角形的三个内角的度数比是，那么它是________三角形． 10. 已知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的腰长为______． 11. 已知中，，，如果是边的中点，那么_____度． 12. 已知：如图，，三角尺的直角顶点在直线b上，，的度数为______． 13. 如图，在立定跳远中，体育老师是这样测运动员的成绩的，用一块三角尺的一边紧贴在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由是___________________． 14. 如图，已知在中，点E在边上，垂直平分，垂足为点F，如果，，那么________． 15. 若圆锥底面的半径为3，它的侧面展开图的面积为，则它的母线长为_______． 16. 为了维护校园安全，在校门口配备了圆柱形升降阻车桩，如图所示，它的体积是，高为，则底面半径是______． 17. 我们规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角．如图：一辆车在一段绕山公路行驶（沿箭头方向）时，在点B、C和D处的转弯角分别是、和，且，则、和之间的数量关系是______． 18. 如图，在中，，将绕点A旋转α（）度后，点B所对应的点D在边上，如果平分，那么________度． 三、解答题（本大题共7题，满分46分） 19. 解不等式组 20. 如图，这是某电影院的价目表．某社团16人去此电影院看电影，打算以比赛奖金1600元购买电影票、爆米花与饮料．如果要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，那么最多可买多少盒爆米花？ 21. 如图，已知点在一直线上，与都是等边三角形，连接，说明的理由． 22. 如图，已知在中，，平分，点E为边上任意一点（不与A、C重合），连接交于点F．求证：． 23. 综合实践 （一）问题情境 田径比赛中，在进行400米比赛时，运动员的起跑点并不处在同一条直线上，为什么这样呢？如果比赛的起点和终点同在一条直线上，显然，对内侧跑道上的运动员较为有利．原因是内侧跑道的一周长较短，因此，为了公平比赛，在外侧跑道的运动员的起跑点必须前移．如图1是某学校新建操场示意图，每条跑道由两条平行直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，直道长度为米，第一分道（跑道）的弯道直径为米，每条跑道宽米，共有8条跑道．如图2，径赛规则规定，第一分道（跑道）周长的测量线是距离内突沿的外沿米处，其余各条分道的周长测量线是距离里侧分道线的外沿0.20米处．在进行400米跑步时，第一分道（跑道）的起跑点和终点在同一位置，且规定第一分道（跑道）的起跑点在直道和弯道的交接处点A． （二）数据计算 下表中是综合实践活动小组用列表方式呈现的相关数据：（单位：米） （三）问题解决 请根据综合实践活动经历及体会，解答下列问题（π取，结果保留两位小数）． 道次 两条弯道总长 两条直道总长 第一分道（跑道） 第二分道（跑道） 第三分道（跑道） … …… …… （1）第一分道的弯道总长为________米，第八分道总长为________米； （2）如图1，该学校在操场举行400米比赛，如果第一分道的起跑点设在点A处，第六分道的起跑点设在点A左侧弯道前方点E处，那么第六分道的起跑点比第一分道的起跑点前移________米，________度． 24. 请用直尺和圆规完成下列作图并解答问题． （1）如图1，已知，求作边上的高．小亮同学设计的尺规作图过程如下：作法：①以A为圆心，长为半径作弧；②以B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点E；③连接，交于点D．所以线段就是所求的边上的高． （i）请用直尺和圆规，完成小亮的作图（保留作图痕迹）； （ii）分别连接，再将该作图的证明过程补充完整． 证明：∵；∴点A在线段的垂直平分线上．（________）（填推理依据） ∵；∴点B在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分线段．（________）（填推理依据） ∴．即是边上的高． （2）如图2，已知中，是边上的高，，求作边上的高． 小红同学设计的尺规作图，要求：圆规只使用一次，即圆规只能画一条弧． ①请用直尺和圆规，完成小红的作图（保留作图痕迹，简要说明作图步骤）； ②根据小红的作法，求证：是边上的高． 25. 在中，，点D是BC边上一点（点D不与B、C重合）．点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD．在直线AD上取一点F，使，直线EF与直线AC交于点G． （1）如图1，如果，，． ①求的度数（用含α的代数式表示）； ②求证：； （2）如图2，如果，连接AE，当为等腰三角形时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $