精品解析：江苏省连云港市灌南县2024-2025学年高一下学期6月期末调研考试数学试题

2024~2025学年第二学期期末调研考试 高一数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由区间及并集定义可得答案. 【详解】由题， 则. 故选：C 2. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得不等式解集. 【详解】或，则得或. 则解集为或. 故选：B 3. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法运算结合复数几何意义可得答案. 【详解】，则对应点为，在第二象限. 故选：B 4. 已知向量满足，若，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律，建立方程并化简，可得答案. 【详解】设与的夹角为， 由， 则，解得. 故选：C. 5. 在某频率直方图中，从左到右共有11个小矩形，若居中的那个小矩形的面积等于其他10个小矩形的面积和的，且样本容量为160，则居中的那组数据的频数为（ ）． A. 32 B. 0.2 C. 40 D. 0.25 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到居中的那个小矩形的面积占全部面积的，计算得到答案. 【详解】根据题意：居中的那个小矩形的面积占全部面积的，故. 故选：A. 6. 在长方体中，若，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为，所以与所成角等于与所成的角，在中，利用余弦定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，． 在长方体中，因为，所以与所成角等于与所成的角； 在中，， 由余弦定理得． 故选：A． 7. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，利用两角和差的三角公式化简所给的式子，可得结论． 【详解】， ， ， ， 故选：D． 8. 已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将正四面体如图放于正方体中，由题目条件可得外接球半径，注意到四面体相似于四面体，相似比为，据此可得球心到到平面距离，然后可得截面圆半径，可得答案. 【详解】将正四面体如图放于正方体中，因的所有棱长均为， 则正方体棱长为，该正四面体的外接球即正方体的外接球，球心O为正方体中心， 外接球半径为.因D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则 棱长均为，则四面体相似于四面体，相似比为. 注意到， 则，设中心为，则为正四面体的高. 则. 又三点共线，则到平面距离为. 注意到该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面为圆，则圆半径为，故截面面积为. 故选：C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设α，β，γ表示三个不同的平面，m，n表示两条不同的直线，则下列结论正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由平面与平面的位置关系判断AB；由直线与平面垂直的性质判断CD． 【详解】若，，则或相交，故A错误； 若，，则，故B正确； 若，，，则，故C正确； 若，，，则，则D正确． 故选：BCD． 10. 一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的4个小球，其中有2个红球，1个白球和1个黑球．从中1次随机摸出2个球，记事件A为“2个都是红球”，事件B为“1个红球1个白球”，事件C为“有1个球是黑球”，事件D为“至少有1个是红球”，则（ ） A. B. C. 事件A，B为相互独立事件 D. 事件A，B为互斥事件 【答案】ABD 【解析】 【分析】设2个红球为，白球为，黑球为，由题可得各事件样本空间，据此可判断各选项正误. 【详解】设2个红球为，白球为，黑球为. 则1次随机摸出2个球的样本空间为：6种情况. 对于A，事件A的样本空间为，则，故A正确； 对于B，事件B样本空间为：，事件C样本空间为：， 事件D样本空间为：，则，， 则，故B正确； 对于CD，由以上分析可得事件A，B不能同时发生，又 则事件A，B为互斥事件.故C错误，D正确. 故选：ABD 11. 在中，，分别是的中点，将沿着DE翻折，使点A运动到点P处，得到四棱锥，则（ ） A. 对任意的点P，始终有 B. 存在某个点P的位置，满足平面平面 C. 对任意的点P，始终有平面与平面的交线 D. 当二面角为时，四棱锥的体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理求得平面,即可证明结论；对于B，找出平面与平面所成的二面角，根据题意推导出，再推出B错误；对于C，利用线面平行的判定与性质定理即可证明结论；对于D，求出四棱锥的高即可利用体积公式算出结果即可. 【详解】 对于A：取 的中点F，连接交与O，连接PF，可知点O为的中点， 又因为为的中点，所以，即，同理得到, 又，平面，所以平面， 因为，所以平面， 又因为平面，所以，故A正确； 对于B：设平面平面，因为平面， 故平面，又平面，则，由选项A知平面， 所以平面，则为平面与平面所成的二面角， 因为，所以不可能为直二面角，故B错误； 对于C：设平面平面，因为平面， 故平面，又平面, 则，故C正确； 对于D： 如图，取的中点，连接交与，连接，可知点为的中点， 又因为为的中点，所以即，同理得到， 又，平面，所以平面， 所以二面角的平面角为, 故，再过点P作平面的垂线交于点H， 在直角三角形中，， ，所以，故D错误； 故选：AC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 数据2，6，8，3，3，4，6，8的上四分位数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】将数据从小到大排序为：2，3，3，4，6，6，8，8， ，所以上四分位数第6个数与第7个数的中位数，为 故答案为：. 13. 一个正四棱台形油槽的上、下底面边长分别为60cm和40cm，深度为75cm，则该油槽的容积为________L． 【答案】 【解析】 【分析】由棱台的体积公式即可求解. 【详解】该油槽的容积为. 故答案为：. 14. 在中，若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简已知式可得，代入余弦定理，由基本等不等式即可得出答案. 【详解】由可得： ， 所以， 设中，角对应的边为， 所以，所以， 所以 ，当且仅当时取等， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，函数的最小值为0． （1）求常数m的值； （2）求函数的图象的对称中心． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角的正弦、余弦公式和辅助角公式化简，再求出，即可求出常数m的值； （2）由（1）可得，令，即可求出函数的图象的对称中心. 【小问1详解】 ， 因为，所以，所以. 【小问2详解】 由（1）可得：， 令，则， 所以函数的图象的对称中心为. 16. 某厂生产的12件产品中，有10件合格品、2件不合格品，合格品与不合格品在外观上没有区别．从这12件产品中任意抽检2件． （1）求2件都是合格品的概率； （2）求1件是合格品、1件是不合格品的概率； （3）若抽检的2件产品都是不合格品，则这批产品将被退货，求这批产品没有被退货的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）可得从12件产品中任意抽检2件的基本事件数的共个数，同时可得其中2件都是合格品的事件数，代入古典概型计算公式可得答案； （2）可得1件是合格品、1件是不合格品的事件数，代入古典概型计算公式可得答案； （3）可得抽检的2件产品都是不合格品的事件数，代入古典概型计算公式可得这批产品没有被退货的概率. 【小问1详解】 从12件产品中任意抽检2件，共有种抽取方法， 其中2件都是合格品的事件数有：种， 可得2件都是合格品的概率：. 【小问2详解】 其中1件是合格品、1件是不合格品的事件数有：种， 可得1件是合格品、1件是不合格品的概率：; 【小问3详解】 抽检的2件产品都是不合格品的事件数有种， 可得抽检的2件产品都是不合格品的概率：， 即这批产品没有被退货的概率为. 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． （1）求A； （2）若，的面积为，求a． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、三角恒等变换即可求解； （2）由三角形面积公式求得，再由余弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 即， 即， 因为，所以， 所以，即，即， 因为，所以， 所以，解得； 【小问2详解】 由题意，解得， 所以由余弦定理有，解得. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，O为BD的中点． （1）证明：平面； （2）求点C到平面MBD的距离； （3）证明：平面平面． 【答案】（1） 连接，因为四边形为正方形，O为BD的中点， 所以过点，且为的中点， 在中，分别为的中点， 所以，平面，平面， 所以平面. （2） （3） 取的中点为，连接，，连接与交于点， 由正方体的性质可得，所以五点共面， 所以平面即为平面， 又由正方体的性质可得平面，平面， 所以，在三角形中，， 所以，又因为，所以， 所以在三角形，，所以， 平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）由题意先证得，再由线面平行的判定定理即可证明； （2）由等体积法可得，再由棱锥的体积公式即可得出答案； （3）取的中点为，由，则平面即为平面，先证得，，再由线面垂直的判定定理可证得平面，最后由面面垂直的判定定理即可证明平面平面． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 因为底面， 底面，所以， 所以， 所以， ， 设点C到平面MBD的距离为，因为， 所以，所以，所以. 所以点C到平面MBD的距离为. 【小问3详解】 略 19. 如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，，点C是圆O上不同于的任意一点，E为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值； （3）若点为圆O（含圆周）内任意一点，它到点的距离与到直线的距离相等，求三棱锥体积的取值范围． 【答案】（1） 因为平面，且平面，所以， 因为点在以为直径的圆上，所以， 又因为平面平面， 所以平面． （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质得，再根据直径的特点得，最后利用线面垂直的判定即可证明； （2）取中点为，连结，利用余弦定理得，再次在中利用余弦定理即可得到答案； （3）过点作，垂足为，利用线面垂直的判定定理即可得到平面，再求出，最后根据锥体的体积公式即可得到范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 因为平面，则为直线与平面所成的角，即， 所以，因为为中点，所以， 所以三角形为等边三角形，取中点为，连结，则， 过作交于点，则为的平面角． 在直角三角形中，， 在三角形中，由余弦定理得， 所以，所以． 在三角形中，由余弦定理得. 【小问3详解】 过点作，垂足为， 因为平面，且平面，所以， 因为平面平面， 所以平面，过点作，垂足为，连结， 因为平面平面，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面，所以，即为点到直线的距离． 因为，所以， 所以点在的角平分线上，所以，所以， 所以点在直线上， 所以，因为， 所以，即三棱锥体积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期期末调研考试 高一数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 3. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知向量满足，若，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 在某频率直方图中，从左到右共有11个小矩形，若居中的那个小矩形的面积等于其他10个小矩形的面积和的，且样本容量为160，则居中的那组数据的频数为（ ）． A. 32 B. 0.2 C. 40 D. 0.25 6. 在长方体中，若，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. （ ） A. B. C. D. 8. 已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设α，β，γ表示三个不同的平面，m，n表示两条不同的直线，则下列结论正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 10. 一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的4个小球，其中有2个红球，1个白球和1个黑球．从中1次随机摸出2个球，记事件A为“2个都是红球”，事件B为“1个红球1个白球”，事件C为“有1个球是黑球”，事件D为“至少有1个是红球”，则（ ） A. B. C. 事件A，B为相互独立事件 D. 事件A，B为互斥事件 11. 在中，，分别是的中点，将沿着DE翻折，使点A运动到点P处，得到四棱锥，则（ ） A. 对任意的点P，始终有 B. 存在某个点P的位置，满足平面平面 C. 对任意的点P，始终有平面与平面的交线 D. 当二面角为时，四棱锥的体积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 数据2，6，8，3，3，4，6，8的上四分位数为________． 13. 一个正四棱台形油槽的上、下底面边长分别为60cm和40cm，深度为75cm，则该油槽的容积为________L． 14. 在中，若，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，函数的最小值为0． （1）求常数m的值； （2）求函数的图象的对称中心． 16. 某厂生产的12件产品中，有10件合格品、2件不合格品，合格品与不合格品在外观上没有区别．从这12件产品中任意抽检2件． （1）求2件都是合格品的概率； （2）求1件是合格品、1件是不合格品的概率； （3）若抽检的2件产品都是不合格品，则这批产品将被退货，求这批产品没有被退货的概率． 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． （1）求A； （2）若，的面积为，求a． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，O为BD的中点． （1）证明：平面； （2）求点C到平面MBD的距离； （3）证明：平面平面． 19. 如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，，点C是圆O上不同于的任意一点，E为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值； （3）若点为圆O（含圆周）内任意一点，它到点的距离与到直线的距离相等，求三棱锥体积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $