精品解析：四川省广元市苍溪县2024-2025学年八年级下学期期中检测数学试卷

2025年春八年级学段质量监测数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开方的因数且不含分母，逐一验证各选项即可． 【详解】选项A：，被开方数5是质数，无平方数因子，且不含分母，满足最简二次根式条件． 选项B：，16是4的平方，可化简为4，不是最简二次根式． 选项C：，1.3化为分数，分母10含非平方数因子2和5，且被开方数含分母，需有理化，不满足条件． 选项D：，分母4是平方数，可化简为，不满足条件． 综上，只有选项A是最简二次根式， 故选：A 2. 已知直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边长为（ ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或 【答案】C 【解析】 【分析】由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分4是直角三角形的斜边长和直角边长两种情况讨论． 【详解】解：直角三角形的两边长分别为3和4， ①4是此直角三角形的斜边长； ②当4是此直角三角形的直角边长时，斜边长为． 综上所述，斜边长为4或5. 故选：． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 3. 如图，在中，，的平分线交于点，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义，解题关键在于熟练掌握各个知识点的衔接和运用； 先由平行四边形的性质得到，进而由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∴ ∵的平分线交于点， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 故选：B． 4. 估算：的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，无理数的大小估算，先进行二次根式的乘法运算，再利用夹逼法估算出结果的大小即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴ ∴的值在和之间， 故选：． 5. 在中，若，则下列条件不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及三角形内角和定理、勾股定理逆定理及三角形三边关系．需逐一分析各选项是否满足直角三角形条件． 【详解】选项A：，则．存在直角，能判定为直角三角形，排除． 选项B：设，，．验证勾股定理：满足勾股定理，能判定为直角三角形，排除． 选项C：．验证勾股定理：满足勾股定理，能判定为直角三角形，排除． 选项D：．验证三边关系：三边无法构成三角形，更不可能是直角三角形． 故选D． 6. 如图，在菱形中，对角线相交于点，为的中点，且，则菱形的周长为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，从图中找出为的中位线，根据三角形中位线定理和菱形四条边相等的性质解答. 根据已知可得是的中位线，即可求得的长，则得菱形的边长，再求其周长即可. 【详解】解：根据菱形的性质得：， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的周长为. 故选： . 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加，减，乘，除法，根据二次根式的运算规则逐一验证各选项的正确性． 【详解】A．中的和不是同类二次根式，无法合并，结果错误． B．，计算正确． C．，原式错误． D．，原式错误． 故选：B． 8. 四边形具有不稳定性，在如图所示平面直角坐标系中，矩形的边固定在轴上，．推动矩形得到平行四边形，点的对应点恰好落在轴上．若，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由矩形性质得到，再结合四边形的不稳定性，由平行四边形性质得到，，轴，在中，由勾股定理可得，即可得到点的对应点的坐标． 【详解】解：矩形的边固定在轴上，， ， 推动矩形得到平行四边形，点的对应点恰好落在轴上， ，，轴， 在中，由勾股定理可得， 点的对应点的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查图形与坐标，涉及平行四边形性质、矩形性质、勾股定理等知识，理解四边形的不稳定性，数形结合求出相关线段长度是解决问题的关键． 9. 周师傅要检验一个零件是否是平行四边形，用下列方法不能检验的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定，属于常考题型．根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A.∵，∴四边形是平行四边形，不符合题意； B.∵，∴四边形是平行四边形，不符合题意； C.∵，∴四边形是平行四边形，不符合题意． D.∵，∴无法判断四边形是平行四边形，四边形可能是等腰梯形，符合题意． 故选：D． 10. 如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，给出下列结论：①；②；③；④的面积是2．其中正确的结论为（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①证明和全等得，根据三角形外角性质得，由此可对结论①进行判断；②先由勾股定理求出，进而得，由此可对结论②进行判断；③连接交于点，过点作于点，证明四边形是矩形得，进而得，由勾股定理得，，由此可对结论③进行判断；④根据和全等得，而，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形和四边形都是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵是的外角， ， ， 故结论①正确； ②∵四边形是正方形，且， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵四边形是正方形，， ， ， 故结论②正确； ③连接交于点，过点作于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 故结论③不正确； ④， ， ， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②④． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解正方形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键． 二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上．每小题4分，共24分） 11. 请写出一个二次根式____________，使它满足只含有一个字母，且当时有意义． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了写二次根式.根据题意写出符合条件的二次根式即可. 【详解】解：∵二次根式满足只含有一个字母，且当时有意义， ∴二次根式可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 12. 如图两处被池塘阻隔，为测量两地的距离，在地面上选一点，连结，分别取的中点．测得m，则两地的距离为____________m． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 13. 将对角线分别为和的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的面积和正方形的面积计算的方法，已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积，进一步开方求得正方形的边长即可． 【详解】解：菱形的对角线分别为和， 菱形的面积， 正方形的边长是 故答案为：． 14. 如图，点表示的实数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理求数轴上的点表示的数．由勾股定理求出，即可得到点表示的实数． 【详解】解：如图， 可知， ∴表示的实数是， 故答案为：． 15. 已知的整数部分为a，小数部分为b，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】先估算出的范围，再求出a、b的值，最后代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：5 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数整数部分和小数部分的计算，能估算出的范围是解此题的关键． 16. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为____________． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，由题目条件和所画出来的图形正确找出规律是解题的关键．分别计算出第一，第二，第三代勾股树中所有正方形的面积，得出第代勾股树中所有正方形的面积为进行分析计算． 【详解】解：由题意可知，第一代勾股树中所有正方形的面积为； 第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为……， 则第代勾股树中所有正方形的面积为， ∴第2025代勾股树中所有正方形的面积为． 故答案为：2026． 三、解答题（要求写出必要的解题步骤或证明过程．共96分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）先进行乘除运算，化简二次根式，再合并即可； （2）利用二次根式、绝对值、零指数幂和负整数指数幂化简各数，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质，分式的化简求值，二次根式的混合运算，先根据算术平方根、绝对值的非负性求出，再利用分式的性质化简，最后将代入求值即可． 【详解】解：，，， ，， ． 原式． 当时， 原式． 19. 如图，在中，点E、F分别在、上，且，、相交于点O，求证：． 【答案】 证明：∵ 四边形是平行四边形 ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得到边平行且相等的关系，进而推出三角形全等，从而证明线段相等．本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形对边平行以及全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】略 20. 如图，在四边形中，，，，．求： （1）的度数． （2）连接，求的长． 【答案】（1）的度数是 （2）的长是 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）连接，根据勾股定理，求得，利用勾股定理的逆定理证得，根据即可求解； （2）作，交的延长线于点，连接，根据勾股定理求得，在根据勾股定理即可得到的长． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵在，， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴的度数是． 【小问2详解】 解：如图，作，交的延长线于点，连接， ∵由（1）得：， ∴， ∵， ∴，， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴的长是． 21. 如图，已知：在四边形中，、相交于点．，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点，分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2） 如图，菱形即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质可证得，得，即可求证； （2）作线段的垂直平分线，分别交、于点、，连接、，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，线段垂直平分线的尺规作图，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题关键． 22. 我县某初中八年级数学兴趣小组的同学利用社团活动时间测量学校壁挂音箱的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量壁挂音箱的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为5，壁挂音箱垂直地面于点，线段表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，已知， 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 【答案】m 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 根据勾股定理得到，，即可求出的长． 【详解】解：由题意可知，，在中，，， 则， 在中，，，则． ∴． 23. 阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件，解得：． ∴， ∴原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：____________． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知为的三边长．化简：． 【答案】（1）；（2）1；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，三角形三边关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题干解题过程，即可作答． （2）结合（1）的，进行化简得，再去括号合并同类项，即可作答． （3）结合两边之和大于第三边，整理得，再根据二次根式的性质进行化简，即可作答． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， （3）由三角形三边之间的关系可得隐含条件：， ∴， ∴ ． 24. 如图，平行四边形的对角线相交于点，过点作，过点作，与交于点，． （1）求证：是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， 四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定结合已知证得四边形是矩形，再利用的性质和菱形的判定可得结论； （2）根据（1）的结论得到，再利用菱形的性质，含角的直角三角形的性质和勾股定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∵在中，， ∴． 由勾股定理知：， ∴， 解得， ∴． 【点晴】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，含角的直角三角形的性质和勾股定理．理解相关知识是解答关键． 25. 【教材呈现】下列材料是人教版八年级下册数学教材第65页数学活动的部分内容． 在一张矩形纸片的一端，利用如图③所示的方法折出一个正方形． 【问题解决】（1）如图①，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上，求证：四边形是正方形； 【教材延伸】（2）如图②，将图①中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕．若，求的长． （3）如图③，直线分别交平行四边形的边于点，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，求的长． 【答案】 （1）证明：由折叠的性质可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先根据折叠的性质可得， 再根据等腰直角三角形的性质得出，从而可得，于是可证明四边形是菱形，再根据，可得出四边形是正方形； （2）先根据矩形的性质得出，再根据正方形的性质得出，从而可得四边形是矩形，根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可知：，从而可利用勾股定理求得，再求得，从而可利用勾股定理得到关于的方程求解； （3）先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据等腰直角三角形的性质得出，然后利用折叠的性质可得，再利用勾股定理得到关于的方程求解，再求得，从而可说明四边形是平行四边形，结合，可得四边形是矩形，再根据矩形的性质可得，利用勾股定理求得，再利用线段差求得，从而可利用勾股定理求得． 【详解】（1）略 （2）∵矩形中，， ∴， 由（1）知：四边形是正方形， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， 在中，， ，， ∴， 即， 解得． （3）过点作，交的延长线于，过点作于， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质，折叠的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，点在边上移动（不与、重合），点在边上移动（不与、重合），在移动的过程中保持，连接、． （1）的值会变化吗？若不变，求出的值；若变化，请说明理由； （2）求周长的最小值； （3）在（2）的结论下，若为平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）的值不会变， （2） （3）点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）连接，由菱形的性质可得，，则可证明与为等边三角形，再证明，得到，则可推出，据此可得结论； （2）由全等三角形的性质可得，，则可证明为等边三角形；得到，，当时，周长有最小值，则，，据此可得的周长最小值为； （3）由菱形的性质可得，则轴，再由，得到点M在y轴上，则；设，分为对角线，为对角线和为对角线，三种情况由平行四边形的对角线中点坐标相同建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴与为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值不会变，； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴； ∴为等边三角形； ∴， ∴， 当时，周长有最小值， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴的周长最小值为； 【小问3详解】 解：由（2）可得当的周长有最小值时，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴轴， ∵， ∴点M在y轴上， ∴； 设， 当为对角线时，由平行四边形的对角线中点坐标相同可得： ， ∴， ∴点P的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形的对角线中点坐标相同可得： ， ∴， ∴点P的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形的对角线中点坐标相同可得： ， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，熟知菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春八年级学段质量监测数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边长为（ ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或 3. 如图，在中，，的平分线交于点，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 估算：的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 5. 在中，若，则下列条件不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，对角线相交于点，为的中点，且，则菱形的周长为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 四边形具有不稳定性，在如图所示平面直角坐标系中，矩形的边固定在轴上，．推动矩形得到平行四边形，点的对应点恰好落在轴上．若，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 周师傅要检验一个零件是否是平行四边形，用下列方法不能检验的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，给出下列结论：①；②；③；④的面积是2．其中正确的结论为（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上．每小题4分，共24分） 11. 请写出一个二次根式____________，使它满足只含有一个字母，且当时有意义． 12. 如图两处被池塘阻隔，为测量两地的距离，在地面上选一点，连结，分别取的中点．测得m，则两地的距离为____________m． 13. 将对角线分别为和的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为____________． 14. 如图，点表示的实数是____________． 15. 已知的整数部分为a，小数部分为b，则________． 16. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为____________． 三、解答题（要求写出必要的解题步骤或证明过程．共96分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中满足． 19. 如图，在中，点E、F分别在、上，且，、相交于点O，求证：． 20. 如图，在四边形中，，，，．求： （1）的度数． （2）连接，求的长． 21. 如图，已知：在四边形中，、相交于点．，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点，分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 22. 我县某初中八年级数学兴趣小组的同学利用社团活动时间测量学校壁挂音箱的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量壁挂音箱的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为5，壁挂音箱垂直地面于点，线段表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，已知， 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 23. 阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件，解得：． ∴， ∴原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：____________． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知为的三边长．化简：． 24. 如图，平行四边形的对角线相交于点，过点作，过点作，与交于点，． （1）求证：是菱形； （2）若，求的长． 25. 【教材呈现】下列材料是人教版八年级下册数学教材第65页数学活动的部分内容． 在一张矩形纸片的一端，利用如图③所示的方法折出一个正方形． 【问题解决】（1）如图①，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上，求证：四边形是正方形； 【教材延伸】（2）如图②，将图①中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕．若，求的长． （3）如图③，直线分别交平行四边形的边于点，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，求的长． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，点在边上移动（不与、重合），点在边上移动（不与、重合），在移动的过程中保持，连接、． （1）的值会变化吗？若不变，求出的值；若变化，请说明理由； （2）求周长的最小值； （3）在（2）的结论下，若为平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $