精品解析：新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州新源县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年第二学期素养调研 八年级数学试卷 一．单选题，请把答案写在表格中（每小题3分，总计30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察． 【详解】解：.A、原式=； B、原式=； C、原式=2； D、为最简二次根式． 故选： 2. 分别以下列四组数为一个三角形的三边长：①6，8，10；②13，5，12 ③1，2，3；④9，40，41；其中能构成直角三角形的有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，，，， ∴有三组能构成直角三角形． 故选C 3. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据运算法则逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】A． 无法合并，结果不等于 ，选项计算错误． B． ，选项计算正确． C． 与 为无法合并为 ，选项计算错误． D． ，不等于 ，选项计算错误． 故选 B． 4. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则AB的长为(　　) A. 4 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据直角三角形的勾股定理可得：AB=，故选B． 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分且互相垂直 C. 对角相等 D. 对边相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，比较矩形和菱形的性质，找出矩形有而菱形没有的性质． 【详解】解：矩形的对角线长度相等，而菱形的对角线不一定相等（除非是正方形）．因此，对角线相等是矩形特有的性质．故选项A符合题意， 菱形的对角线互相垂直且平分，但矩形的对角线仅互相平分而不垂直（除非是正方形）．因此，此性质属于菱形而非矩形．故选项B不符合题意， 矩形和菱形都是平行四边形，对角相等、对边相等是平行四边形的基本性质，矩形和菱形均具备，故选项C、D不符合题意． 故选A． 6. 实数a在数轴上的位置如图 所示，则化简后为（　　） A. 9 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴表示的方法得到，再根据二次根式的性质得到原式，然后去绝对值、合并即可． 【详解】解：， 原式 ． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：．也考查了实数与数轴． 7. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于，交的延长线于点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，以及平行线的性质，等角对等边．首先根据平行四边形的性质可得，，，再根据平行线的性质与角平分线的性质证明，根据等角对等边可得，再用即可算出的长． 【详解】解：如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点．若∠AOB=60°，BD=4，则BC的长（ ） A. 4 B. C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先由矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB=OB=2，再根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=AC，OB=BD=2，AC=BD=4， ∴OA=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OB=2， ∴BC= 故选B 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键． 9. 如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD=6，则菱形ABCD的面积是（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据菱形的对角线可以求得菱形ABCD的面积： 菱形的对角线为6、8， 则菱形的面积为×6×8=24. 故选C． 考点：菱形的性质. 10. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④，其中正确结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明，然后根据全等三角形的性质进行逐一判断即可得到答案. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ∵为等边三角形， ∴，． ∴． 在和中，， ， ∴①正确，， ∴，即，②正确， ∵， ∴，即， ∵， ∴△AEC≌△AFC（SSS） ∴∠EAG=∠FAG， ∴△AEG≌△AFG（SAS） ∴EG=FG，∠AGE=AGF=90° ∴垂直平分．③正确 ∵四边形是正方形， ∴∠ECG=45° 由③知，AC⊥EF ∴∠EGC=90° ∴△CGE是等腰直角三角形 ∴CG=GE， ∴故④正确 故选D. 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解计算. 二、填空题：（每小题3分，共18分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 由二次根式有意义的条件：被开方数必须大于或等于零即可得解． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得被开方数 ， 解得 ． 故答案为：． 12. 若是整数，则正整数n的最小值为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意可得是完全平方数，即可求解． 【详解】解∶∵，且是整数， ∴是整数，即是完全平方数， ∴， 即正整数n的最小值为7． 故答案：7 【点睛】主要考查了算术平方根，解题的关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式． 13. 某同学想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，旗杆的高度是_____． 【答案】12米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设旗杆高度为米，则绳子长度为米，根据勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设旗杆高度为米，则绳子长度为米， 根据题意，得， 解得． 故旗杆的高度为12米， 故答案为：12米． 14. 在中，，，是的中点，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到AB的长，再根据含30°角的直角三角形的性质，即可得到BC的长，最后依据勾股定理进行计算，即可得出AC的长． 【详解】解：∵点D是AB的中点，CD=3，∠ACB=90°， ∴AB=2CD=6， ∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴AB=2BC， 即BC=AB=3， ∴Rt△ABC中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及直角三角形斜边上中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 15. 如图，要测量池塘的宽度，选取点A，使D、E分别是中点，现测得的长为25米，则池塘的宽是______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线的性质，根据题意知是的中位线，所以由三角形中位线定理来求的长度即可． 【详解】解：∵D、E分别是中点， ∴是的中位线， ∴． ∵米， ∴米． 故答案为：50． 16. 在平面直角坐标系中，已知、，点C在第一象限，且，若存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为_____________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质和直角三角形的性质求出点C的坐标，再分三种情况讨论，由菱形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：∵， ∴. ∵点C在第一象限，且， ∴， ∴是等边三角形. 过点C作于点E， ∴， ∴， ∴. 当为菱形的对角线时，如图， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴. 当为菱形的对角线时， 与C关于y轴对称， ∴； 当为菱形的对角线时，与C关于x轴对称， ∴， 综上所述：点D的坐标为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，坐标与图形性质，含30度角的直角三角形，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 三、解答题（共66分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化为最简二次根式。再进行加减法计算即可得到答案； （2）直接根据二次根式的乘法进行运算，再进行合并即可得到答案． 本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 原式 18. 已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2） 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算、求代数式的值，利用平方差公式和完全平方公式计算是解题的关键． （1）先利用平方差公式分解因式，再计算即可； （2）将所求式子变形为，再代入求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠B=∠D， 又∵BE=DF， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE=CF. （其他证法也可） 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：即可得到AE=CF． 【详解】略 20. 如图、是出边长为1的小正方形组成的网格，其中点A、B、C均在网格的格点上． （1）求的长； （2）求的面积； （3）点c到边的距离． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，坐标与图形性质，解题关键是掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． （1）根据勾股定理计算，求出边的长； （2）根据三角形面积公式，正方形的面积公式，结合图形计算； （3）根据三角形的面积公式计算． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 解：设点C到边的距离为h， 则，即， 解得，． 21. 阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是M（x1，y1），N（x2，y2）），M，N两点之间的距离可以用公式MN＝计算．解答下列问题： （1）若点P（2，4），Q（﹣3，﹣8），求P，Q两点间的距离； （2）若点A（1，2），B（4，﹣2），点O是坐标原点，判断△AOB是什么三角形，并说明理由． 【答案】(1)13；(2)△AOB是直角三角形. 【解析】 【分析】（1）根据两点间的距离公式计算； （2）根据勾股定理的逆定理解答． 【详解】解：(1)P，Q两点间的距离＝＝13； (2)△AOB是直角三角形， 理由如下：AO2＝(1﹣0)2+(2﹣0)2＝5， BO2＝(4﹣0)2+(﹣2﹣0)2＝20， AB2＝(4﹣1)2+(﹣2﹣2)2＝25， 则AO2+BO2＝AB2， ∴△AOB是直角三角形． 故答案为(1)13；(2)△AOB是直角三角形. 【点睛】本题考查的是两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 22. 已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，， 求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】要证四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的判定，和已知条件，只需证AB=CD，继而需求证△ABO≌△CDO，由已知条件很快确定ASA，即证． 【详解】证明：∵AB∥CD， ∴∠ABO=∠CDO． ∵AO=CO， ∠AOB=∠COD， ∴△ABO≌△CDO． ∴AB=CD， 又∵AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 23. 如图，在四边形中，，，E为边上一点，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）根据题意可直接得出四边形是平行四边形，结合，即得出平行四边形是矩形； （2）由角平分线的定义，得出，结合平行线的性质得出，即得出，再根据求解即可． 【小问1详解】 证明：，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形； 小问2详解】 解：∵平分， ∴． ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 24. 如图，矩形的对角线、相交于点O，，． （1）若，，求的长； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先求出，再根据矩形的性质得出，推出是等边三角形，得出，进而可得出答案； （2）先证明四边形是平行四边形，再得出，进而可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵矩形的对角线、相交于点O， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查菱形的判定，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键． 25. 如图，在四边形中，，，，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点随之停止运动．设运动时间为． （1）___________cm，___________cm；（分别用含t的式子表示） （2）当点P，Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形为平行四边形时，求t的值； （3）在（2）的条件下，若，（2）中的平行四边形为菱形时，直接写出的长：___________． 【答案】（1）；； （2）2或或4； （3）4或 或． 【解析】 【分析】（1）设运动时间为t秒，则，， （2）设秒后四边是平行四边形；分情况讨论，根据平行四边形的性质列出方程解方程即可求解． （3）根据（2）三种不同情况根据菱形四边相等，分别画出图形利用等腰直角三角形性质和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动， ∴设运动时间为t秒，则， ∵，， ∴； 故答案为：；； 【小问2详解】 ①当时，四边形是平行四边形，则：，解得， ②当时，四边形是平行四边形，则：，解得， ③当时，四边形是平行四边形，，解得， ④当时，，这种情况不可能． 综上所述，综上所述，t的值为2或或4； 【小问3详解】 ①当，四边形是菱形时，如图： 即：， ②当，四边形是菱形时，即：，， ∴ 过点作， ∵， ∴， ∴，，故此时不存在使四边形是菱形， ③当四边形是菱形时，即：，，， 过点D作，过点K作垂足为H，当在内部时，如图③-1 ∵， ∴四边形使平行四边形． ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， 当在外部时，如图③-2， 此时， 综上所述：CD长为或 或． 【点睛】本题考查了四边形动点问题，平行四边形的性质与判定，分类讨论、构造直角三角形利用勾股定理求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期素养调研 八年级数学试卷 一．单选题，请把答案写在表格中（每小题3分，总计30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 分别以下列四组数为一个三角形的三边长：①6，8，10；②13，5，12 ③1，2，3；④9，40，41；其中能构成直角三角形的有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则AB的长为(　　) A. 4 B. C. D. 1 5. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分且互相垂直 C. 对角相等 D. 对边相等 6. 实数a在数轴上的位置如图 所示，则化简后为（　　） A. 9 B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于，交的延长线于点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点．若∠AOB=60°，BD=4，则BC的长（ ） A. 4 B. C. 3 D. 6 9. 如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD=6，则菱形ABCD的面积是（ ） A 6 B. 12 C. 24 D. 48 10. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④，其中正确结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（每小题3分，共18分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 12. 若是整数，则正整数n的最小值为__________． 13. 某同学想知道学校旗杆高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，旗杆的高度是_____． 14. 在中，，，是的中点，，则______． 15. 如图，要测量池塘的宽度，选取点A，使D、E分别是中点，现测得的长为25米，则池塘的宽是______米． 16. 在平面直角坐标系中，已知、，点C在第一象限，且，若存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为_____________． 三、解答题（共66分） 17. 计算： （1） （2） 18. 已知，，分别求下列代数式值： （1）； （2） 19. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF 20. 如图、是出边长为1的小正方形组成的网格，其中点A、B、C均在网格的格点上． （1）求的长； （2）求的面积； （3）点c到边的距离． 21. 阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是M（x1，y1），N（x2，y2）），M，N两点之间的距离可以用公式MN＝计算．解答下列问题： （1）若点P（2，4），Q（﹣3，﹣8），求P，Q两点间的距离； （2）若点A（1，2），B（4，﹣2），点O是坐标原点，判断△AOB是什么三角形，并说明理由． 22. 已知：如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，， 求证：四边形ABCD是平行四边形． 23. 如图，在四边形中，，，E为边上一点，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求的长． 24. 如图，矩形的对角线、相交于点O，，． （1）若，，求的长； （2）求证：四边形菱形． 25. 如图，在四边形中，，，，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点随之停止运动．设运动时间为． （1）___________cm，___________cm；（分别用含t的式子表示） （2）当点P，Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形为平行四边形时，求t的值； （3）在（2）的条件下，若，（2）中的平行四边形为菱形时，直接写出的长：___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $