精品解析：河北省秦皇岛市抚宁区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024－2025学年第二学期学业水平检测二 八年级数学期 人教版 （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 考生禁填：缺考考生由监考员用黑色中性笔填写准考证号并填涂右边的缺考标记． 注意事项： 1．使用考试专用扁头2B涂卡铅笔填涂，或将普通2B铅笔削成扁鸭嘴状填涂． 2．修改时，请先用橡皮擦干净，再重新填涂，不得使用修正带或涂改液． 3．填涂的正确方法： 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式化成最简二次根式后被开方数是3的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义及二次根式的化简，根据最简二次根式的定义：最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式，利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：A中，，被开方数为2，不符合题意； B中， ，被开方数为3，符合题意； C中，，被开方数为2，不符合题意； D中，，被开方数为6，不符合题意； 故选：B． 2. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，若要使矩形成为正方形，添加的条件不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键，根据各选项添加条件结合正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， A、当时，则矩形是正方形，不符合题意； B、当时，则， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，不符合题意； C、当时，则矩形是正方形，不符合题意； D、当时，不能判定矩形是正方形，符合题意；   故选：D． 3. 以下列数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，3，4 B. ，， C. ，， D. 6，7，8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴以3，3，4为三边长不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴以，，为三边长能构成直角三角形，故此选项符合题意； C、∵， ∴以，，为三边长不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴以6，7，8为三边长不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 化简二次根式的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，包括二次根式的性质和最简二次根式的概念．首先计算根号内的，再化简二次根式． 【详解】解：原式 ． 故选：A． 5. 如图，若直线，下列关于直线，之间距离的说法正确的是（ ） A. 的长是，之间的距离 B. 的长是，之间的距离 C. 和的长是，之间的距离 D. 的长是，之间的距离 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线间的距离．熟练掌握平行线间的距离是解题的关键．根据平行线间的距离定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，表示直线m，n之间距离的是线段和的长， 故选：C． 6. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对边相等 C. 面积是两条对角线乘积的一半 D. 对角相等，邻角互补 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形的区别是解题的关键，注意从边、角、对角线这三个方面来区别．根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有，故可得出答案． 【详解】解：A：菱形和矩形的对角线均互相平分，故选项A不符合题意； B：菱形和矩形的对边均相等，故选项B不符合题意； C：菱形的面积是两条对角线乘积的一半，矩形的面积为长宽，故选项C符合题意； D：菱形和矩形的对角相等，邻角互补，故选项D不符合题意； 故选：C． 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了本题考查了二次根式的化简，二次根式的乘法运算，正确化简计算是解题的关键． 将转化为含和的表达式，结合已知条件，进行化简． 【详解】解： 故选：D． 8. 已知命题甲：全等三角形的对应角相等；命题乙：如果，那么．则下列判断正确的是（ ） A. 命题甲的逆命题的题设是两个角相等 B. 命题乙是假命题 C. 命题甲的逆命题是真命题 D. 命题乙的逆命题是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题与逆命题，全等三角形的性质和判定，绝对值的意义，掌握命题与逆命题的关系是解题的关键． 【详解】命题甲：“全等三角形的对应角相等”是真命题．其逆命题为“对应角相等的三角形全等”． 逆命题的题设是“对应角相等”，而非“两个角相等”， 故选项A错误． 由于对应角相等但边不一定相等，无法保证全等（需对应边相等），故逆命题为假．选项C错误． 命题乙：例如，，时，但，故“若，则”是假命题．选项B正确． 命题乙的逆命题为：“若，则”是真命题（因时绝对值必相等），选项D错误． 故选：B． 9. 如图，点是正方形的边上任意一点，且，，垂足分别为点，．点是矩形的边上任意一点，且，，垂足分别为，．已知，，，则与的大小（ ） A. 一样大 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．设交于点，连接，根据即可求出；设交于点，连接，同理的方法即可求出；比较即可． 【详解】解：如图所示，设交于点，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， 即， ∴； 如图所示，设交于点，连接，   ∵四边形为矩形，，， ∴，， 又，， ∴， ∴， ∴； ∴， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中有点，，点为线段的中点，现在，，三点存有食物，甲、乙、丙三只蚂蚁分别从点同时出发，甲沿，乙沿，丙沿爬行寻找食物，它们爬行的速度相同，则最先找到食物的是（ ） A. 蚂蚁甲 B. 蚂蚁乙 C. 蚂蚁丙 D. 三只蚂蚁同时到达 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，直角三角形的性质，勾股定理，根据题意可得为直角三角形，且，利用勾股定理求出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再与比较即可． 【详解】解：根据题意可得为直角三角形，且， 点，， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵，且它们爬行的速度相同， ∴最先找到食物的是丙． 故选：C． 11. 如图，在中，为边的中点，为上的点，连接，，． 嘉嘉：当时，若，则四边形为矩形 淇淇：当时，若，则点为中点对于他俩的说法，正确的是（ ） A. 只有嘉嘉正确 B. 只有淇淇正确 C. 都正确 D. 都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，根据嘉嘉的说法：当时，可判定四边形为平行四边形，根据，易证是等腰三角形，结合点为边的中点，可得，即可证明四边形为矩形；根据淇淇的说法：当时，利用平行四边形的性质可得，，即可求出，进而求出，再根据，推出，推出，得到，即可推出，从而得出结论． 【详解】解：∵在中，， 当时， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴是等腰三角形， ∵点为边的中点， ∴（三线合一）， ∴， ∴四边形为矩形，故嘉嘉说法正确； ∵在中，， 当时， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即点为中点，故淇淇说法正确； ∴两人的说法都正确． 故选：C． 12. 如图1，四边形、均为正方形，且点，，在同一直线上，将正方形绕点逆时针旋转，如图2，点，，在同一直线点，连接，，．给出下列结论：①；②；③若，，则．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，利用正方形的性质可得，点，，在同一直线点，可得，证明，利用证明，即可得出，由，求出，结合，即可求出；过点作，求出，进而得到，利用勾股定理求出；即可得出答案． 【详解】解：∵四边形、均为正方形， ∴， ∵点，，在同一直线点， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； 过点作， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 若在中的“”内填入运算符号“”得到的结果是，若“”内填入运算符号“”得到的结果为，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，清楚运算顺序是解题的关键． 根据二次根式的混合运算法则，求出a，b，即可求解． 【详解】解： ； ， ∴． 故答案为：3 14. 我们把任意一个四边形各边中点顺次连接所得的四边形叫做中点四边形．当原四边形的对角线____________时，它的中点四边形一定是菱形． 【答案】相等 【解析】 【分析】本题考查了四边形中点四边形的性质．连接四边形各边中点形成的中点四边形的各边，根据中位线定理，中点四边形的边平行于原四边形的对角线，且长度为对角线长度的一半，所以中点四边形的形状和原四边形的对角线性质有关． 【详解】解：四边形的中点四边形为平行四边形．若其是菱形，则四边相等，由于中点四边形的边长度为原四边形对角线长度的一半，因此原四边形的对角线和必须相等，才能使中点四边形的邻边相等，即邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：相等． 15. 在矩形中，对角线和相交于点，，，则该矩形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为； 故答案为：． 16. 如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，根据直角三角形斜边中线的性质，，则有，，再通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是斜边，上的中线， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知，，求下列各代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，分式化简求值，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，整理得，，然后代入，进行计算，即可作答． （2）把，代入，进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， 则 ， ∴ ； 则 ； 【小问2详解】 解：由（1）得，， 则 ． 18. 如图，已知正方形的面积为2，将正方形和等腰直角三角形两个障碍物放在数轴上，使正方形顶点与数轴原点重合，边与在数轴上． （1）点表示的数为______；的长度为______． （2）甲虫从点处沿的方向以每秒1个单位长度的速度爬到点． ①求甲虫爬行的距离； ②另一只甲虫从点沿的方向爬行到点，两只甲虫同时出发，在中点处相遇，求甲虫的爬行速度． 【答案】（1）；2． （2）①；②每秒个单位长度． 【解析】 【分析】本题考查轴上的几何问题，重点在于理解正方形和等腰直角三角形的性质，以及如何在数轴上表示和计算点的位置和距离．同时，需要运用速度和时间的关系来求解甲虫的爬行距离和速度． （1）根据正方形面积计算出边长，即是点到原点的距离，且点在原点右侧，注意符号；是等腰直角三角形的斜边，根据勾股定理可以求出长度． （2）①甲虫爬行的距离可以根据图像将甲虫走过的线段长度求和； ②根据相遇位置，求出甲虫所走过的距离，从而得到两只甲虫相遇的时间，再根据甲虫走过的距离，求出甲虫的爬行速度． 【小问1详解】 解：正方形的面积为2， 正方形的边长为， 点表示的数为． 为等腰直角三角形， ． 故答案为：，2． 【小问2详解】 解：①根据题意，甲虫爬行的距离； ②甲虫，相遇时，甲虫爬行距离为， 则甲虫爬行时间为秒， 甲虫爬行距离为， 爬行速度为， 甲虫的爬行速度为每秒个单位长度． 19. 在的正方形网格中（每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点），以格点为顶点，按下面的要求在同一网格内画图． （1）在图1中，画线段，使； （2）在图2中，画格点三角形，使得，，，判断的形状并求点到的距离． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）直角三角形； 【解析】 【分析】本题主要考查网格的性质和勾股定理、勾股定理逆定理等知识点， （1）根据网格的性质和勾股定理即可知满足条件； （2）根据网格的性质和勾股定理，找到、和的位置，利用勾股定理逆定理即可判定的形状，结合等面积法即可求得距离． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求． ， ∴ ∴为直角三角形 过点作，垂足为 ∴，即 解得． 20. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程； 如图，四边形是平行四边形，且分别交对角线于点，，连接，，求证：； 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴①____________． ∴根据②____________）． （1）若以上证明过程正确，在①②处填写正确答案； （2）若四边形为菱形，试判定四边形的形状并加以证明． 【答案】（1）①； ②AAS （2）菱形， 证明：如图， 由（1）知，， ∴ 又， ∴四边形为平行四边形 连接， ∵四边形为菱形， ∴， ∴ ∴平行四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及菱形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． （1）根据平行线的性质可得、，即可得出，根据平行四边形的性质可得，，利用AAS即可证明； （2）由（1）知，，可得，可得四边形为平行四边形再由边形为菱形可得，利用可证明△，可得，即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， 又， ∴． ∴①． ∴根据②）． 故答案：① ②AAS； 【小问2详解】 略 21. 如图，嘉嘉和小高星期六来到郊外放风筝，为了测得风筝离地面的垂直高度，他们测量得到下面的数据（图中所有点在同一平面内）： ①嘉嘉握住风筝线的手点到的距离； ②假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直，牵引风筝的线； ③嘉嘉握住风筝线的手点距离地面的高度． （1）求风筝距离地面的高度的长； （2）嘉嘉想把手中剩余的7m长的线放完，要想让风筝保持原有的位置，嘉嘉需往后退多少米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用： （1）根据勾股定理求出，再根据，即可求解； （2）根据勾股定理求出，由即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，， ∴ 在中，，， 由勾股定理得， ∵， ∴四边形为矩形， ∴ ∴ ∴风筝距离地面的高度的长为 【小问2详解】 如图，由题意可知： 在中，由勾股定理得，（m） ∴ ∴嘉嘉需往后退 22. 四边形中，为对角线上二点，连接，，点是延长线上一点，连接，交于点，连接． （1）如图1，若四边形为正方形，且，求证：； （2）如图2，若四边形为菱形，，． ①求证：为等边三角形； ②当时，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形 ∴， 在与中 ∴， ∴ 又， ∴， ∴ ∴ （2） ①证明：∵四边形为菱形 ∴， 在与中 ∴， ∴ 又， ∴， 又 ∴为等边三角形 ② 【解析】 【分析】（1）先证明，从而得到，通过等量代换，利用等角对等边得到； （2）①由，根据全等三角形性质得到，，通过等量代换得到，利用含的等腰三角形是等边三角形得到结论； ②计算角度，通过作辅助线构造直角三角形，得到菱形的高，最后利用菱形面积公式计算得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：由①知，， ∴ 又， ∴， ∴ 又， ∴ 又， ∴， 过点作，垂足为 ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了菱形、正方形的性质，结合全等三角形的判定，进行求证和计算，结合题目灵活应用性质内容是解题的关键． 23. 定义：只有一组对边相等的四边形为“纯等对边四边形” （1）如图1，四边形是“纯等对边四边形”，其中，，，分别是，，的中点．若，，求的度数； （2）如图2，四边形是“纯等对边四边形”；其中，点，分别是对角线，的中点，若，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：如图，取中点，连接，， ∵点，是对角线，的中点， ∴，，，， ∴，， 又，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 【解析】 【分析】本题主要查了三角形的中位线的性质定理，等腰三角形的两底角相等的性质，等边三角形的判定和性质： （1）根据三角形的中位线的性质定理可得且，且，再结合等腰三角形的两底角相等的性质，可得，从而得到，然后根据，可得，即可求解； （2）取中点，连接，，根据三角形的中位线的性质定理可得，，，，从而得到，，进而得到，，继而得到，可证明为等边三角形，即可求证． 【小问1详解】 解：∵，，分别是，，的中点， ∴且，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 24. 将两个全等的直角三角形如图摆放，其中，，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点到达终点后点也停止运动，设点运动时间为（秒）： （1）当时，求的长； （2）是否存在的值，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）是否存在的值，使得与互相平分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， （3） 不存在，不存在；理由： 若与互相平分，则在的左侧，且四边形为平行四边形， ∴，即， 解得， 由（1）知， ∴不存在的值，使得与互相平分． 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出，再根据运动速度，求出，最后求出结果即可； （2）根据菱形的性质，得出，且，然后列出方程，解方程即可； （3）根据与互相平分时，，列出方程，解方程得出答案，然后进行判断即可． 【小问1详解】 解：在中 ∵，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动， ∴，当时，， ∴． 【小问2详解】 解：存在；理由： 依题意，若以，，，为顶点的四边形是菱形，则满足，且 即， 解得， 当时，， ∴当时，以，，，为顶点的四边形是菱形； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了勾股定理，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第二学期学业水平检测二 八年级数学期 人教版 （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 考生禁填：缺考考生由监考员用黑色中性笔填写准考证号并填涂右边的缺考标记． 注意事项： 1．使用考试专用扁头2B涂卡铅笔填涂，或将普通2B铅笔削成扁鸭嘴状填涂． 2．修改时，请先用橡皮擦干净，再重新填涂，不得使用修正带或涂改液． 3．填涂的正确方法： 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式化成最简二次根式后被开方数是3的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，若要使矩形成为正方形，添加的条件不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，3，4 B. ，， C. ，， D. 6，7，8 4. 化简二次根式的结果为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若直线，下列关于直线，之间距离的说法正确的是（ ） A. 的长是，之间的距离 B. 的长是，之间的距离 C. 和的长是，之间的距离 D. 的长是，之间的距离 6. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对边相等 C. 面积是两条对角线乘积的一半 D. 对角相等，邻角互补 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知命题甲：全等三角形的对应角相等；命题乙：如果，那么．则下列判断正确的是（ ） A. 命题甲的逆命题的题设是两个角相等 B. 命题乙是假命题 C. 命题甲的逆命题是真命题 D. 命题乙的逆命题是假命题 9. 如图，点是正方形的边上任意一点，且，，垂足分别为点，．点是矩形的边上任意一点，且，，垂足分别为，．已知，，，则与的大小（ ） A. 一样大 B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中有点，，点为线段的中点，现在，，三点存有食物，甲、乙、丙三只蚂蚁分别从点同时出发，甲沿，乙沿，丙沿爬行寻找食物，它们爬行的速度相同，则最先找到食物的是（ ） A. 蚂蚁甲 B. 蚂蚁乙 C. 蚂蚁丙 D. 三只蚂蚁同时到达 11. 如图，在中，为边的中点，为上的点，连接，，． 嘉嘉：当时，若，则四边形为矩形 淇淇：当时，若，则点为中点对于他俩的说法，正确的是（ ） A. 只有嘉嘉正确 B. 只有淇淇正确 C. 都正确 D. 都不正确 12. 如图1，四边形、均为正方形，且点，，在同一直线上，将正方形绕点逆时针旋转，如图2，点，，在同一直线点，连接，，．给出下列结论：①；②；③若，，则．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 若在中的“”内填入运算符号“”得到的结果是，若“”内填入运算符号“”得到的结果为，则的值为______． 14. 我们把任意一个四边形各边中点顺次连接所得的四边形叫做中点四边形．当原四边形的对角线____________时，它的中点四边形一定是菱形． 15. 在矩形中，对角线和相交于点，，，则该矩形的面积为______． 16. 如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知，，求下列各代数式的值． （1）； （2）． 18. 如图，已知正方形的面积为2，将正方形和等腰直角三角形两个障碍物放在数轴上，使正方形顶点与数轴原点重合，边与在数轴上． （1）点表示的数为______；的长度为______． （2）甲虫从点处沿的方向以每秒1个单位长度的速度爬到点． ①求甲虫爬行的距离； ②另一只甲虫从点沿的方向爬行到点，两只甲虫同时出发，在中点处相遇，求甲虫的爬行速度． 19. 在的正方形网格中（每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点），以格点为顶点，按下面的要求在同一网格内画图． （1）在图1中，画线段，使； （2）在图2中，画格点三角形，使得，，，判断的形状并求点到的距离． 20. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程； 如图，四边形是平行四边形，且分别交对角线于点，，连接，，求证：； 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴①____________． ∴根据②____________）． （1）若以上证明过程正确，在①②处填写正确答案； （2）若四边形为菱形，试判定四边形的形状并加以证明． 21. 如图，嘉嘉和小高星期六来到郊外放风筝，为了测得风筝离地面的垂直高度，他们测量得到下面的数据（图中所有点在同一平面内）： ①嘉嘉握住风筝线的手点到的距离； ②假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直，牵引风筝的线； ③嘉嘉握住风筝线的手点距离地面的高度． （1）求风筝距离地面的高度的长； （2）嘉嘉想把手中剩余的7m长的线放完，要想让风筝保持原有的位置，嘉嘉需往后退多少米？ 22. 四边形中，为对角线上二点，连接，，点是延长线上一点，连接，交于点，连接． （1）如图1，若四边形为正方形，且，求证：； （2）如图2，若四边形为菱形，，． ①求证：为等边三角形； ②当时，求菱形的面积． 23. 定义：只有一组对边相等的四边形为“纯等对边四边形” （1）如图1，四边形是“纯等对边四边形”，其中，，，分别是，，的中点．若，，求的度数； （2）如图2，四边形是“纯等对边四边形”；其中，点，分别是对角线，的中点，若，求证：． 24. 将两个全等的直角三角形如图摆放，其中，，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点到达终点后点也停止运动，设点运动时间为（秒）： （1）当时，求的长； （2）是否存在的值，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）是否存在的值，使得与互相平分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $