1.1 菱形的性质与判定导学案 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.1 菱形的性质与判定 第2课时 素养目标 1.知道菱形的判定定理. 2.会用菱形的判定方法判定四边形是否为菱形. ◎重点::菱形的判定方法,菱形性质和判定的综合应用. 【预习导学】 知识点：菱形的判定定理   阅读教材本课时相关内容,回答下列问题. 1.运用菱形的定义进行菱形的判定,四边形是菱形应具备哪两个条件? 　　　　 2.菱形是对角线互相垂直的平行四边形,它的逆命题是　　　　平行四边形是菱形.  　　归纳总结　菱形的判定方法 (1)有一组邻边　　　　的平行四边形是菱形.  (2)对角线互相　　　　的平行四边形是菱形.  (3)四边　　　　的四边形是菱形.  　　1.如图,在平行四边形ABCD中,根据尺规作图痕迹可以判断四边形ABEF一定是 (　　) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.对角线相等的四边形 2.如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是　　　　.  【合作探究】 任务驱动一：一位同学剪了菱形的纸片,如图,如果在菱形ABCD的AC上截去两段,使AE=CF,然后又沿BE、DE、DF、FB剪下,得到了一个小四边形,这个小四边形是一个什么形状的四边形?下面是这位同学的推理过程. 解:如图,连接BD,交AC于点O. ∵四边形ABCD是菱形, ∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD. ∵AE=CF, ∴OA-AE=OC-CF,OE=OF. 又∵OB=OD, ∴四边形DEBF是平行四边形.(根据1) ∵AC⊥BD, ∴▱DEBF是菱形.(根据2) 根据推理过程填空: 根据1是　　　　.根据2是　　　　.  方法归纳交流　此题还可以证明△ADE≌△ABE≌△CDF≌△CBF,运用“四条边都相等的四边形是菱形”进行证明. 任务驱动二：如图,已知四边形ABCD是平行四边形,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E,F,并且DE=DF. 求证:(1)△ADE≌△CDF. (2)四边形ABCD是菱形. 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 任务驱动三：将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展平纸片,如图1;再次折叠该三角形纸片,使得点A与点D重合,折痕为EF,再次展平后连接DE、DF,如图2.证明:四边形AEDF是菱形. 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　1.如图,在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作:连接AC,作AC的垂直平分线MN分别交AD,AC,BC于点M,O,N,连接AN,CM,则四边形ANCM是 (　　) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.无法判断 2.如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O.E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点,且AB=CD.求证:四边形EFGH是菱形. 参考答案 【预习导学】 知识点 1.一是平行四边形;二是邻边相等. 2.对角线互相垂直的 归纳总结 (1)相等　(2)垂直　(3)相等 对点自测 1.B 2.CB=BF(答案不唯一) 【合作探究】 任务驱动一 对角线互相平分的四边形是平行四边形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 任务驱动二 证明:(1)∵DE⊥AB,DF⊥BC, ∴∠AED=∠CFD=90°. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠A=∠C. 又∵DE=DF, ∴△ADE≌△CDF(AAS). (2)∵△ADE≌△CDF, ∴AD=CD, ∴四边形ABCD是菱形.(菱形的定义) 任务驱动三 证明:由第一次折叠可知AD为∠CAB的平分线, ∴∠BAD=∠CAD. 由第二次折叠可知∠CAB=∠EDF,∠BAD=∠EDA,∠CAD=∠FDA. ∵∠BAD=∠CAD,∴∠EDA=∠FDA. ∵AD=AD,∴△AED≌△AFD,∴AE=AF,DE=DF. 又由第二次折叠可知AE=ED,AF=DF, ∴AE=ED=DF=AF,∴四边形AEDF是菱形. 素养小测 1.B 2.证明:∵E、F分别是AD、BD的中点,G、H分别为BC、AC的中点,∴EF∥AB,EF=AB,GH∥AB,GH=AB, ∴EF∥GH,EF=GH, ∴四边形EFGH是平行四边形. ∵AB=CD,∴EF=FG, ∴▱EFGH是菱形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 菱形的性质与判定 第1课时 素养目标 1.知道菱形的定义、性质;知道菱形是轴对称图形. 2.会用菱形的定义及性质进行有关的论证和计算. ◎重点::菱形的性质,菱形性质的应用. 【预习导学】 知识点：菱形 阅读教材本课时相关内容,回答下列问题. 1.菱形的定义:　　　　的平行四边形是菱形.  2.菱形的性质: (1)菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的性质是　　　　.  (2)菱形的边　　　　.  (3)对角线　　　　.  1.已知菱形ABCD的周长是8 cm,对角线AC、BD相交于点O,则AB=　　　　cm,∠AOB=　　　　.  2.如图,在菱形ABCD中,等腰三角形有哪些?它们全等吗?直角三角形有哪些?它们全等吗? 　在学习菱形的性质时,需要利用预习导学问题,边看书边从书中找到答案,对所学知识有一个初步认识,然后再完成对点自测,对知识达到初步了解. 【合作探究】 任务驱动一：如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.求证:AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC. 　　　　 　　　　 　　　　 方法归纳交流　菱形的对角线平分每一组对角. 任务驱动二：1.如图,在菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,则对角线AC等于 (　　) A.20 B.15 C.10 D.5 方法归纳交流　解决与菱形有关的线段计算问题时,要注意勾股定理和方程思想的应用. 变式训练　 如图,在菱形ABCD中,AE垂直平分BC,垂足为E,AB=4 cm.那么,菱形ABCD的面积是　　　　,对角线BD的长是　　　　.  2.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF等于 (　　) A.50°　　B.60°　　 C.70°　　D.80° 任务驱动三：如图,在菱形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,连接AE,AF.求证:AE=AF. 　　　　 　　　　 　　　　 方法归纳交流　此题可以连接AC,证明△AEC≌△AFC进行解答. 　如图,菱形ABCD的周长为40 cm,∠ABC∶∠BAD=1∶2,求两条对角线的长. 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 参考答案 【预习导学】 知识点 1.有一组邻边相等 2.(1)对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分 (2)都相等 (3)互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角 对点自测 1.2　90° 2.△ABC、△BCD、△CDA、△DAB都是等腰三角形;全等;△AOB、△BOC、△COD、△AOD都是直角三角形;全等. 【合作探究】 任务驱动一 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD. 又∵ ∴△ABC≌△ADC(SSS), ∴∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA, 即AC平分∠BAD和∠BCD. 同理可证BD平分∠ABC和∠ADC. 任务驱动二 1.D 变式训练　8 cm2　4 cm 2.B 任务驱动三 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD,∠B=∠D,BC=CD. 又∵E,F分别为BC,CD的中点, ∴BE=BC=CD=DF. ∵ ∴△ABE≌△ADF(SAS), ∴AE=AF. 素养小测 解:∵菱形的周长为40 cm, ∴AB=10 cm. ∵AD∥BC, ∴∠BAD+∠ABC=180°. ∵∠ABC∶∠BAD=1∶2,∴∠ABC=60°. ∵AB=BC,∴△ABC是等边三角形, ∴AC=AB=10 cm. ∵AC⊥BD, ∴在Rt△AOB中,OB2+OA2=AB2, ∴OB2+52=102,∴OB=5 cm, ∴BD=10 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 菱形的性质与判定 第3课时 素养目标 1.会用菱形的判定及性质进行有关的论证和计算. 2.能运用平行四边形的性质和判别方法及面积公式进行菱形的有关推理及计算. 3.通过运用菱形知识解决具体问题,提高平面几何图形的分析能力和观察能力. ◎重点::菱形的性质及判定方法,菱形性质和判定方法的综合应用. 【预习导学】 知识点一：菱形的面积 阅读教材本课时相关内容,回答下列问题. 1.平行四边形的面积=　　　　,菱形的面积=　　　　.  2.我们知道菱形的对角线把菱形分成了四个　　　　,所以菱形的面积等于　　　　.  归纳总结　若菱形的两条对角线分别为a,b,则菱形的面积=　　　　.  知识点二：菱形的判定定理的应用 阅读教材本课时“做一做”,回答下列问题. 在教材“图1-7”中,四边形ABCD是菱形吗? 　　　　 1.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,BD=2,则菱形ABCD的面积为 (　　) A. B.2 C.2 D.4 2.某菱形的面积为24 cm2,一条对角线长6 cm,则另一条对角线的长为　　　　 cm.  【合作探究】 任务驱动一：如图,菱形ABCD的周长为8,对角线AC和BD相交于点O,AC∶BD=1∶2,求菱形ABCD的面积. 　　　　 任务驱动二：两块完全相同的三角板Ⅰ(△ABC)和Ⅱ(△A1B1C1)按图1所示的方式放置在同一平面上(∠C=∠C1=90°,∠ABC=∠A1B1C1=60°),斜边重合.若三角板Ⅱ不动,三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面上沿着BA方向向右滑动,图2是滑动过程中的一个位置. (1)在图2中,连接BC1、B1C,求证:△A1BC1≌△AB1C. (2)三角板 Ⅰ 滑到什么位置(点B1落在AB边的什么位置)时,四边形BCB1C1是菱形?请说明理由. 　　　　 　　　　 　　　　 变式训练　如图,四边形ABCD是菱形,E是BD延长线上一点,F是DB延长线上一点,且DE=BF.请你以F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可). (1)连接　　　　.  (2)猜想:　　　　=　　　　.  (3)证明猜想. 　　　　 　　　　 　　方法归纳交流　此题还可以连接CF,证△CBF≌△ADE,得CF=AE. 　如图,在△ABC中,AB=2BC,D、E分别为AB、AC的中点,连接DE,将△ADE绕点E顺时针旋转180°,得到△CFE.试判断四边形BCFD的形状,并说明理由. 　　　　 　　　　 　　　　 参考答案 【预习导学】 知识点一 1.底×高　底×高 2.全等三角形　对角线乘积的一半 归纳总结　ab 知识点二 四边形ABCD是菱形. 对点自测 1.C 2.8 【合作探究】 任务驱动一 解:∵四边形ABCD是菱形, ∴AO=AC,BO=BD,AC⊥BD, ∴AO∶BO=AC∶BD=1∶2. ∵菱形ABCD的周长为8,∴AB=2. 设AO=k,BO=2k,则AB==k=2,∴k=2, ∴AO=2,BO=4,∴菱形ABCD的面积S=×2×4×4=16. 任务驱动二 解:(1)证明:∵三角板Ⅰ(△ABC)和Ⅱ(△A1B1C1)是两块完全相同的三角板,AC=A1C1,AB=A1B1,∠A=∠A1, ∴在题图2中A1B=AB1, ∴△A1BC1≌△AB1C(SAS). (2)点B1滑到AB边的中点时.理由如下: 如题图2,由已知条件知BC=B1C1,BC∥B1C1, ∴四边形BCB1C1是平行四边形. 要使四边形BCB1C1是菱形,则BC=CB1, ∵∠ABC=∠A1B1C1=60°, ∴△BCB1为等边三角形, ∴BB1=B1C=BC. 又∵∠A=30°,在直角三角形ABC中,BC=AB, ∴BB1=AB,∴点B1落在AB边的中点. 变式训练 解:(1)AF.(2)AF;AE. (3)证明:如图,连接AF. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD, ∴∠ABD=∠ADB,∴∠ABF=∠ADE. ∵BF=DE, ∴△ABF≌△ADE(SAS),∴AF=AE. 素养小测 解:四边形BCFD是菱形.理由如下: ∵D、E分别是AB、AC的中点, ∴2DE􀱀BC. 又∵△CFE是由△ADE旋转而得, ∴DE=EF,∴DF􀱀BC, ∴四边形BCFD是平行四边形. 又∵AB=2BC,且D为AB的中点, ∴BD=BC, ∴四边形BCFD是菱形. 学科网（北京）股份有限公司 $$