精品解析：山东省潍坊市奎文区2024—2025学年下学期八年级数学期中试题

2024—2025学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试题 2025.4 注意事项： 1．本场考试时间120分钟，本试卷满分120分． 2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上的项目填涂清楚． 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 3的算术平方根是（ ） A. 9 B. C. D. 2. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，那么下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点，在数轴上对应的实数分别为，，以为一条直角边作等腰直角三角形；以点为圆心，斜边为半径画弧，交数轴于点和点（点在点的左侧），则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列整数与最接近是（ ） A. B. C. D. 6. 代数式中的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 7. 小亮骑自行车郊游，上午8时从家出发，下午17时返回家中，他离开家的距离与时间（时）的关系如图所示．下列结论正确的是（ ） A. 下午13时小亮离家最远 B. 8时至10时，与之间的函数表达式为 C. 返程时小亮的骑行速度为 D. 小亮骑行过程中一共休息了3小时 8. 某学校组织八年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是用不超过3小时的时间平整一块面积为的土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了土地．设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据题意可列不等式为（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的一次函数（），小莹给出了下面四个结论： ①该函数的图象经过点； ②当时，该函数图象不经过第三象限； ③当时，该函数图象与轴的交点在轴的正半轴上； ④当时，若点和在该函数图象上，则． 其中正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④ 10. 如图，四个全等直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连结，分别交，于点，．若点、为线段的三等分点，，的面积为8，则正方形的边长为（ ） A B. C. D. 60 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 说明：将第Ⅱ卷答案用的黑色签字笔答在答案不正确应位置上． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．只填写最后结果． 11. 在实数，，中，无理数是______． 12. 已知关于的一次函数经过点，且随的增大而减小，请写出一个符合要求的一次函数表达式______． 13. 按照如图给定的计算程序，若输入整数后，进行一次计算就能输出结果，则整数的最小值是______． 14. 如图，正方形与正方形并排摆放（即、、三点共线），连接，．已知正方形的面积为4，正方形的面积为2，则图中阴影部分面积为______． 15. 如图，在中，边上的中线，的长度为_______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 17. 如图1，土楼是中国传统的大型夯土民居建筑．图2是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环已知大圆和小圆的面积分别为和，求圆环的宽度（取3.14、结果保留根号） 18. （1）解不等式：； （2）利用数轴，确定不等式组的解集． 19. 如图，某消防队在一次应急演练中，消防员架起了一架最大长度为的云梯梯顶端靠在建筑物上，底端到水平地面的距离．安全操作时，底端离建筑物水平距离满足．演练中，距地面的楼层被困人员，在安全前提下，该云梯能否到达此楼层进行施救？ 20. 已知关于的一次函数，与的部分对应值如下表所示： … 1 2 3 … … 1 … （1）请利用描点法画出一次函数图象，并求出该函数的表达式； （2）该函数的图象与轴、轴分别交于点、点．点为轴上的一点，是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． 21. 为提升城市生活垃圾处理能力，某市计划为部分小区安装新型智能垃圾分类设备．已知甲、乙两个厂家都可提供设备，乙厂家的设备单价比甲厂家便宜0.2万元．当购买甲厂家设备的费用和乙厂家设备的费用均为12万元时，购买甲厂家设备的数量是购买乙厂家设备数量的． （1）求甲、乙两个厂家设备的单价分别是多少万元？ （2）该城市计划购买设备的总费用不能超过20万元，并且要保证安装智能垃圾分类设备的小区数量为40个（每个小区安装一台设备）．则购买甲厂家的设备最多多少台？ 22. 满足的三个正整数组成的数组叫做勾股数组．《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五（古人将直角三角形中较短边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦）”就是一组最简单的勾股数组，在《九章算术》中给出了更多的勾股数组：，等．上述勾股数组的规律，可以用下面表格呈现： 勾股数组 … 股与弦的和： 9 25 49 … 股 … 弦 … 通过观察分析，回答下列问题： （1）根据上述勾股数组的特点，写出勾股数组（11，______，______）；（______，______，145） （2）猜想：若表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（，______，______）； （3）请证明（2）中的猜想． 23. 数学活动课上，同学们开展了以“折叠”为主题的探究活动．矩形中，，，是射线上一动点． （1）如图1，移动点的位置，使折叠后，点的对应点落在线段上，求线段的长； （2）如图2，直线是线段的垂直平分线，将折叠后，点的对应点恰好落在上，画出所有可能的图形，并求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试题 2025.4 注意事项： 1．本场考试时间120分钟，本试卷满分120分． 2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上的项目填涂清楚． 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 3的算术平方根是（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义；根据算术平方根的定义，非负数a的算术平方根是平方等于a的非负数． 【详解】解：算术平方根指非负数中平方等于原数的数；3的算术平方根需满足两个条件：1. 平方后等于3；2. 结果非负； 选项A：9的平方为81，不等于3，排除； 选项B：的平方为3，且，符合条件； 选项C：包含负数，而算术平方根仅取非负值，排除； 选项D：为负数，且平方为，排除； 故选：B． 2. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的知识．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式；据此判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意； B、分母含有根号，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选；C． 3. 如果，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的三个基本性质，掌握这三个基本性质是关键；根据不等式的基本性质，逐一分析各选项即可． 【详解】解：已知， 选项A：两边加3，得，故A错误； 选项B：两边减1，得，故B错误； 选项C：两边乘，需改变不等号方向，得，故C错误； 选项D：由，两边乘得，再加1得，故D正确． 故选：D． 4. 如图，点，在数轴上对应的实数分别为，，以为一条直角边作等腰直角三角形；以点为圆心，斜边为半径画弧，交数轴于点和点（点在点的左侧），则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，数轴上两点间的距离等知识；由题意知，由点E的表示的数可求得点A的坐标． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴点表示的数为：； 故选：D． 5. 下列整数与最接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． 根据立方根的定义估算即可． 【详解】解：， ， 与最接近的整数是， 故选：B． 6. 代数式中的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式被开方数的非负性，分式分母不为0，把不等式解集在数轴上表示出来等知识；由二次根式被开方数的非负及分式分母不为0，得，求得x的范围，然后在数轴上表示出来即可求解． 【详解】解：由二次根式被开方数的非负及分式分母不为0，得， 解得：， 数轴上表示如下： 故选：A． 7. 小亮骑自行车郊游，上午8时从家出发，下午17时返回家中，他离开家的距离与时间（时）的关系如图所示．下列结论正确的是（ ） A 下午13时小亮离家最远 B. 8时至10时，与之间的函数表达式为 C. 返程时小亮的骑行速度为 D. 小亮骑行过程中一共休息了3小时 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，求函数值等知识，从图象中得到相关信息是解题的关键；根据图象对每个选项分析即可． 【详解】解：A、由图象知，下午14时小亮离家最远，故选项A错误； B、对于，当时，，这与小亮上午8时从家出发不符合，故函数表达式错误，即选项B错误； C、返程时小亮的骑行速度为，故选项C正确； D、由图象知，小亮分别在上午10时到11时，下午12时到13时休息了，小亮骑行过程中一共休息了2小时，故选项D错误； 故选：C． 8. 某学校组织八年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是用不超过3小时的时间平整一块面积为的土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了土地．设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据题意可列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实际问题抽象出一元一次不等式，理解题意，找准不等关系是解此题的关键． 设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据“某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时”即可列出一元一次不等式． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 故选：C． 9. 已知关于的一次函数（），小莹给出了下面四个结论： ①该函数的图象经过点； ②当时，该函数图象不经过第三象限； ③当时，该函数图象与轴的交点在轴的正半轴上； ④当时，若点和在该函数图象上，则． 其中正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，过象限的问题，与正半轴的交点问题． 逐一分析四个结论的正确性，结合一次函数的图象与性质进行判断． 【详解】解：结论①：将点代入函数， 得， ∴无论取何值（），均满足，故①正确； 结论②：当时，则， ∴， ∴函数图象经过第一、第三、第四象限，因此会经过第三象限，故②错误； 结论③：函数与轴交点为， 当时，若（如），则，交点在负半轴； 若，则，交点在正半轴， 结论③未限定的具体范围，故③错误； 结论④：当时，，随着的增大而减小， ∵点的值小于的值， ∴，故④正确， 综上，正确的结论为①④， 故选：D． 10. 如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连结，分别交，于点，．若点、为线段的三等分点，，的面积为8，则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．设，则，由勾股定理求得；由题意得，进而求得，利用面积关系建立方程求得a的值，即可求得正方形的边长． 【详解】解：设，则， 由全等三角形的性质得：， ∵， ∴由勾股定理求得； ∵点、为线段的三等分点， ∴， 在中，； ∵面积为8， ∴， 解得（负值已舍去）， 正方形的边长为． 故选：B． 【点睛】 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 说明：将第Ⅱ卷答案用的黑色签字笔答在答案不正确应位置上． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．只填写最后结果． 11. 在实数，，中，无理数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，算术平方根和立方根，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：是分数，为有理数； 开方开不尽，为无理数； 是整数，为有理数， 故答案为：． 12. 已知关于的一次函数经过点，且随的增大而减小，请写出一个符合要求的一次函数表达式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与性质、待定系数法确定一次函数表达式等知识，先由一次函数满足随的增大而减小，得到，任取一个负数，再由关于的一次函数经过点，列方程求出即可得到答案．熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：一次函数满足随的增大而减小， ，则可取， 一次函数表达式为， 关于的一次函数经过点， ，解得， 符合要求的一次函数表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 按照如图给定的计算程序，若输入整数后，进行一次计算就能输出结果，则整数的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由程序图得不等式求解，根据题意得到，解不等式即可得到满足题意的整数的最小值．看懂程序图，掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键． 【详解】解：由程序图可得，， 解得， 整数的最小值是， 故答案为：． 14. 如图，正方形与正方形并排摆放（即、、三点共线），连接，．已知正方形的面积为4，正方形的面积为2，则图中阴影部分面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，根据正方形面积计算公式可得，再根据列式求解即可． 【详解】解；∵正方形的面积为4，正方形的面积为2， ∴正方形的边长为2，正方形的边长为， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图，在中，边上的中线，的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理及逆定理；延长到E使，连接，由可判定，由全等三角形的性质得，，勾股定理的逆定理得，再由勾股定理即可求解；掌握判定方法及性质，能作出辅助线，用“倍长中线法”是解题的关键． 【详解】解：延长到E使，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ； ∴ 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）按照二次根式的乘除混合运算法则计算； （2）按照二次根式的加减混合运算法则计算； （3）分别利用完全平方公式和平方差公式计算，再进行加减计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 17. 如图1，土楼是中国传统的大型夯土民居建筑．图2是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环已知大圆和小圆的面积分别为和，求圆环的宽度（取3.14、结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，正确化简计算是解题的关键． 根据圆的面积公式分别表示两个圆的半径，再由大圆半径减去小圆半径即为圆环宽度． 【详解】解：由题意得， 答：圆环的宽度为． 18. （1）解不等式：； （2）利用数轴，确定不等式组的解集． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式（组），涉及一元一次不等式解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；一元一次不等式组的解集求法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”等知识，熟记一元一次不等式（组）的解法是解决问题的关键． （1）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解一元一次不等式即可得到答案； （2）先分别解一元一次不等式组中的每一个不等式，再由“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”求解即可得到答案． 【详解】解：（1）， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）， 由①得； 由②得； 在数轴上表示不等式①②的解集，如图所示： 不等式组的解集为． 19. 如图，某消防队在一次应急演练中，消防员架起了一架最大长度为的云梯梯顶端靠在建筑物上，底端到水平地面的距离．安全操作时，底端离建筑物水平距离满足．演练中，距地面的楼层被困人员，在安全前提下，该云梯能否到达此楼层进行施救？ 【答案】能 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，当时，最长，由勾股定理求出，再求出的长，然后与比较即可得出答案．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∵的长一定，当越小时，越大，底端离建筑物水平距离满足， ∴当时，最长， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴演练中，距地面的楼层被困人员，在安全前提下，该云梯能到达此楼层进行施救． 20. 已知关于的一次函数，与的部分对应值如下表所示： … 1 2 3 … … 1 … （1）请利用描点法画出一次函数的图象，并求出该函数的表达式； （2）该函数的图象与轴、轴分别交于点、点．点为轴上的一点，是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1）作图见解析， （2）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点，两点距离计算公式，等腰三角形的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）先描点，再连线画出对应的函数图象，再利用待定系数法求出对应的函数解析式即可； （2）先求出点A和点B的坐标，进而求出的长，再分和两种情况，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 把代入到中得：，解得， ∴该一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， 当时，则点P的坐标为或； 当时，∵， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 21. 为提升城市生活垃圾处理能力，某市计划为部分小区安装新型智能垃圾分类设备．已知甲、乙两个厂家都可提供设备，乙厂家的设备单价比甲厂家便宜0.2万元．当购买甲厂家设备的费用和乙厂家设备的费用均为12万元时，购买甲厂家设备的数量是购买乙厂家设备数量的． （1）求甲、乙两个厂家设备的单价分别是多少万元？ （2）该城市计划购买设备的总费用不能超过20万元，并且要保证安装智能垃圾分类设备的小区数量为40个（每个小区安装一台设备）．则购买甲厂家的设备最多多少台？ 【答案】（1）甲厂家设备的单价为0.6万元，则乙厂家设备的单价0.4万元 （2）购买甲厂家的设备最多20台 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲厂家设备的单价为万元，则乙厂家设备的单价万元，根据“甲厂家设备的数量是购买乙厂家设备数量的”建立分式方程求解； （2）设购买甲厂家的设备台，则购买乙厂家设备台，根据“总费用不能超过20万元”建立不等式求解． 【小问1详解】 解：设甲厂家设备的单价为万元，则乙厂家设备的单价万元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则乙厂家设备的单价为万元， 答：甲厂家设备的单价为0.6万元，则乙厂家设备的单价0.4万元； 【小问2详解】 解：设购买甲厂家的设备台，则购买乙厂家设备台， 由题意得：， 解得：， 答：购买甲厂家的设备最多20台． 22. 满足的三个正整数组成的数组叫做勾股数组．《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五（古人将直角三角形中较短边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦）”就是一组最简单的勾股数组，在《九章算术》中给出了更多的勾股数组：，等．上述勾股数组的规律，可以用下面表格呈现： 勾股数组 … 股与弦的和： 9 25 49 … 股 … 弦 … 通过观察分析，回答下列问题： （1）根据上述勾股数组的特点，写出勾股数组（11，______，______）；（______，______，145） （2）猜想：若表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（，______，______）； （3）请证明（2）中的猜想． 【答案】（1）60；61；17；144 （2）， （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的概念，正确理解题意是解题关键． （1）观察表格可知，，据此求解即可； （2）根据题意可得股和弦的和，再求出股和弦即可； （3）求出的结果，看是否与相等即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，， ∴当时，， ∴； 当时，则， ∴， ∴或（舍去），； 【小问2详解】 解：∵m为最小的数， ∴另外两个数的和为， ∴股为，弦为； 【小问3详解】 证明： ， ∴是勾股数组． 23. 数学活动课上，同学们开展了以“折叠”为主题的探究活动．矩形中，，，是射线上一动点． （1）如图1，移动点的位置，使折叠后，点的对应点落在线段上，求线段的长； （2）如图2，直线是线段的垂直平分线，将折叠后，点的对应点恰好落在上，画出所有可能的图形，并求线段的长． 【答案】（1）2 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点． （1）先证明，然后中，由勾股定理求，再由即可求解； （2）分两种情况讨论，点在线段上和点在线段延长线上，先得到四边形是矩形，则，由折叠可得，设，则，在中，由勾股定理求得，再对，运用勾股定理建立方程求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵折叠， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 小问2详解】 解：①当点在线段上时，如图： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，设， 则， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：； ②当点在线段延长线上时，如图： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，设， 则， 在中，， ∴， 中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 综上：线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$