精品解析：福建省宁德市蕉城区2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

2024—2025学年第二学期七年级期中核心素养检测 数学试题 （答卷时间：90分钟；满分：100分） 一、选择题：（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图中∠1与∠2是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（　　） A. 1，1，2 B. 1，2，4 C. 2，3，4 D. 2，3，5 3. 古语有云：“水滴石穿”，若水珠不断滴在一块石头上，经过40年，石头上会形成一个深为0.0000048cm小洞．数0.0000048用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道．这种铺设方法蕴含的数学原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 过一点可以作无数条直线 D. 垂线段最短 6. 两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ） A. 抛一枚硬币，正面朝上的概率 B. 掷一枚正六面体的骰子，出现点数是3的倍数的概率 C. 将一副新的扑克牌（54张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌的花色为“梅花”的概率 D. 从装有3个红球和1个蓝球（4个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率 7. 下列式子中，不能用平方差公式运算的是（ ） A B. C. D. 8. 已知，，，，则a、b、c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为l，若要知道l的值，只要测量图中哪条线段的长（　　） A. a B. b C. AD D. AB 二、填空题：（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 如果一个角的是，那么这个角的补角的度数是________． 12. 一个不透明的袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则________． 13. 如图，，若，，，则的周长等于________． 14. 若定义表示，表示，则运算的结果为________． 15. 如图，中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为___． 16. 如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为2时，线段长度的最小值为________． 三、解答题：（本题共7小题，共52分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，，平分，平分．求证：．请你补全下面证明过程． 证明：∵（已知）， ∴________（两直线平行，内错角相等）， ∵平分（已知）， ∴________（角平分线定义）， 同理，， ∴（________）， ∴（________）． ∴（________）． 20. 如图所示，在中，是角平分线，是高． （1）若，求：①的度数；②的度数． （2）已知，则 （用表示）． 21. 今年“五一”假期期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有转动圆盘的机会（如图），如果规定当圆盘停下来时指针指向8就中一等奖，指向2或6就中二等奖，指向1或3或5就中纪念奖；指向其余数字不中奖． （1）转动转盘中一等奖、二等奖、三等奖概率是分别是多少？ （2）顾客中奖概率是多少？ （3）“五一”这天有1800人参与这项活动，估计获得一等奖的人数是多少？ 22. 阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； … 我们发现，两位数与相乘，当时，有如下速算规律：先将十位数字与相乘，得到的结果作为积的前两位数字；再将个位数字和相乘，得到的结果作为积的后两位数字．如果结果是一位数，则在其前面补0． （1）请根据上述规律计算：________；________． （2）根据上述阅读材料，用含字母的等式表示这种速算规律：________． （3）请证明上述阅读材料中的结论． 23. 在物理学中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等． 如图1，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角． 【简单应用】（1）如图2，有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，现放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底（即射线），与水平线的夹角的度数为________． 【类比拓展】（2）如图3，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：，．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】（3）两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图4，光线与相交于点，则的度数是多少？ （用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期七年级期中核心素养检测 数学试题 （答卷时间：90分钟；满分：100分） 一、选择题：（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图中∠1与∠2是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对顶角的定义可逐项判断求解． 【详解】解：，和没有公共顶点，不符合对顶角定义，故不是对顶角，不符合题意； ，和符合对顶角定义，故是对顶角，符合题意； ，和，不符合对顶角定义，故不是对顶角，不符合题意； ，和没有公共顶点，不符合对顶角定义，故不是对顶角，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了对顶角的定义即：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，解题的关键是掌握对顶角的定义． 2. 下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（　　） A. 1，1，2 B. 1，2，4 C. 2，3，4 D. 2，3，5 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解． 【详解】A、1+1=2，不满足三边关系，故错误； B、1+2＜4，不满足三边关系，故错误； C、2+3＞4，满足三边关系，故正确； D、2+3=5，不满足三边关系，故错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 3. 古语有云：“水滴石穿”，若水珠不断滴在一块石头上，经过40年，石头上会形成一个深为0.0000048cm的小洞．数0.0000048用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法：将一个数写成的形式， 其中，当原数绝对值小于1时，n是负整数，且n的值是原数左数第一个非零数字前0的个数，据此解答 【详解】解： 故选B 4. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式乘法和加法的运算，利用同底数幂乘法法则，合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方法则逐项判断即可． 详解】解：，则A不符合题意； ，则B不符合题意； ，则C不符合题意； ，则D符合题意； 故选：D． 5. 如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道．这种铺设方法蕴含的数学原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 过一点可以作无数条直线 D. 垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，即可选择． 【详解】根据题意可知这种铺设方法蕴含的数学原理是垂线段最短． 故选D． 【点睛】本题考查垂线段最短．理解直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短是解题关键． 6. 两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ） A. 抛一枚硬币，正面朝上的概率 B. 掷一枚正六面体的骰子，出现点数是3的倍数的概率 C. 将一副新的扑克牌（54张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌的花色为“梅花”的概率 D. 从装有3个红球和1个蓝球（4个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率 【答案】B 【解析】 【分析】由折线统计图可知，试验结果在附近波动，最后稳定在附近，再分别计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； B、掷一枚正六面体的骰子，出现3的倍数的概率为，故此选项符合题意； C、将一副新的扑克牌（54张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌的花色为“梅花”的概率，故此选项不符合题意； D、从装有3个红球和1个蓝球（4个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率为，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，简单的概率计算，属于基础题型，明确大量反复试验下频率稳定值即概率是解答本题的关键． 7. 下列式子中，不能用平方差公式运算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式依次判断即可． 【详解】解：A选项可用平方差公式，不符合题意； B选项可变形为，因此不能用平方差公式，故符合题意； C选项可以用平方差公式，不符合题意； D选项可以用平方差公式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式，掌握两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差是解题关键． 8. 已知，，，，则a、b、c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据幂乘方运算的逆用可得，，，，再根据指数相等时，底数越大，幂就越大，据此即可解答． 【详解】解：，，， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的乘方运算的逆用，有理数大小的比较，熟练掌握和运用幂的乘方运算的逆用是解决本题的关键． 9. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 10. 在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为l，若要知道l的值，只要测量图中哪条线段的长（　　） A. a B. b C. AD D. AB 【答案】D 【解析】 【分析】根据周长的定义，列出算式l＝2AD+4AB﹣2b﹣(2AD+2AB﹣2b)，再去括号，合并同类项即可求解． 【详解】解：图1中阴影部分周长＝2AD+2AB﹣2b， 图2中阴影部分的周长＝2AD﹣2b+4AB， l＝2AD+4AB﹣2b﹣(2AD+2AB﹣2b)＝2AD+4AB﹣2b﹣2AD﹣2AB+2b＝2AB． 故若要知道l的值，只要测量图中线段AB的长． 故选：D． 【点睛】本题考查了整式加减的应用，周长的定义，关键是得到图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长． 二、填空题：（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 如果一个角的是，那么这个角的补角的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了补角，解题的关键在于明确如果两个角的度数之和为，那么这两个角互补． 【详解】解：这个角是， 这个角的补角的度数为， 故答案为：． 12. 一个不透明的袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据概率公式即可求解． 【详解】解：从袋中随机取出一个球是白球的概率为， ， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，，若，，，则的周长等于________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形性质的运用，运用全等三角形的性质，找对对应边，即可得三边边长，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴的周长为． 故答案为：13． 14. 若定义表示，表示，则运算的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整单项式除法运算，根据新定义列出整式是解答本题的关键．先根据定义列出代数式，然后再利用积的乘方、单项式除法解答即可． 【详解】解：根据新定义，可得． 故答案为：． 15. 如图，中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为___． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，根据平角的定义可得，由此可以求出的度数即可得到答案． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得， ，， ， ， ． 故答案为：110． 16. 如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为2时，线段长度的最小值为________． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键． 如图：连接，过点C作于点H，根据三角形中线的性质求得，从而求得，利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图：连接，过点C作于点H， ∵点D、E分别是的中点， ∴， ，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 又∵点到直线的距离垂线段最短， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：（本题共7小题，共52分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数和负整数指数幂、幂的乘方、单项式以及多项式的乘法等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先计算有理数的乘方、零指数和负整数指数幂，再计算加减即可； （2）先计算幂的乘方、单项式的乘法，再合并同类项； （3）根据多项式的乘法法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 先根据平方差公式和完全平方公式计算，再计算除法，然后把，代入化简后结果，即可求解． 【详解】解： 当，时，原式． 19. 科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，，平分，平分．求证：．请你补全下面证明过程． 证明：∵（已知）， ∴________（两直线平行，内错角相等）， ∵平分（已知）， ∴________（角平分线的定义）， 同理，， ∴（________）， ∴（________）． ∴（________）． 【答案】；；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补. 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义．根据平行线的性质和判定，角平分线的定义进行补充即可． 详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵平分（已知）， ∴（角平分线定义）， 同理，， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：；；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补. 20. 如图所示，在中，是角平分线，是高． （1）若，求：①的度数；②的度数． （2）已知，则 （用表示）． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）根据， ①根据计算即可；②，结合三角形内角和定理，角的平分线解答即可． （2）根据(1)的解答，推理一般化解答即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵是角平分线，是高， ∴，． ①∴； ②． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵是角平分线，是高， ∴，． ∴； ∴． ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的高，角的平分线，内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握内角和定理，直角三角的性质是解题的关键． 21. 今年“五一”假期期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有转动圆盘的机会（如图），如果规定当圆盘停下来时指针指向8就中一等奖，指向2或6就中二等奖，指向1或3或5就中纪念奖；指向其余数字不中奖． （1）转动转盘中一等奖、二等奖、三等奖的概率是分别是多少？ （2）顾客中奖的概率是多少？ （3）“五一”这天有1800人参与这项活动，估计获得一等奖的人数是多少？ 【答案】（1），，；（2）；（3）225人 【解析】 【分析】（1）分别找到8 和2，6和1，3，5的分数即可得到概率； （2）找到8，2，6，1，3，5份数之和占总份数的多少即为中奖的概率， （3）先求出获得一等奖的概率，从而得出获得一等奖的人数． 【详解】解：（1）P（一等奖）=， P（二等奖）=，P（三等奖）= （2） 8 ，2，6，1，3，5 份数之和为 6， ∴转动圆盘中奖的概率为：； （3）∵获得一等奖的概率是， ∴“五一”这天有 1800 人参与这项活动，估计获得一等奖的人数为：（人 ）． 【点睛】本题主要考查了古典型概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ，难度适中． 22. 阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； … 我们发现，两位数与相乘，当时，有如下速算规律：先将十位数字与相乘，得到的结果作为积的前两位数字；再将个位数字和相乘，得到的结果作为积的后两位数字．如果结果是一位数，则在其前面补0． （1）请根据上述规律计算：________；________． （2）根据上述阅读材料，用含字母的等式表示这种速算规律：________． （3）请证明上述阅读材料中的结论． 【答案】（1）5621，7224； （2）； （3）见解析． 【解析】 【分析】此题考查数字的变化规律，从简单情形考虑，找出一般规律，利用规律解决问题． （1）运用题目中的规律进行计算，即可求出答案； （2）找出规律即可； （3）根据，，利用多项式乘多项式的运算法则即可证明． 【小问1详解】 解：由上述规律可知，， ， 故答案为：5621，7224； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 证明：∵， ． 23. 在物理学中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等． 如图1，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角． 【简单应用】（1）如图2，有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，现放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底（即射线），与水平线的夹角的度数为________． 【类比拓展】（2）如图3，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：，．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】（3）两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图4，光线与相交于点，则的度数是多少？ （用含的式子表示） 【答案】（）；（）证明见解析；（）． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，三角形内角和定理，掌握平行线的判定和三角形内角和定理是解题的关键． （）根据平面镜反射光线的规律、垂直的定义及角的和差关系即可求解； （）根据垂直可得，又由平面镜反射光线的规律可得，即得到，根据平行线的判定即可求证； （）由三角形内角和定理可得，又由平面镜反射光线的规律可得，，再根据三角形内角和定理即可求解； 【详解】解： （）设入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角度数为， 由题意可得，， ∴， 故答案为：； （）如图，∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图4，在中， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$