辽宁省普通高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学模拟试题（3）

绝密★启用前 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期7月期末调研试题（3） 高一数学 命题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 朱勃宇 审题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 刘思瑞 命题范围：【（人教B版）必修三、必修四】三角函数、向量、三角恒等变换、解三角形、复数、立体几何初步 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列角中与20°终边相同的角是 A．-340° B．200° C．-20° D．340° 2．设复数 在复平面内的对应点关于虚轴对称，若是虚数单位），则为 A． B． C． D． 3．已知是两个单位向量，在上的投影向量为，则向量在向量上的投影向量为 A． B． C． D． 4．如图，中，为边上的中线，E为延长线上一点，且，若，， A．2 B．4 C． D． B C D E A （第4题图） （第5题图） 5．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的体积为 A． B． C． D． 6．若平面向量，，满足，，，则 A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系xOy中，为第四象限角，角的终边与单位圆O交于点，若，则 A． B． C． D． 8．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，，则下列选项中正确的有 A． B． C． D． 10．如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为，，的中点，则有 A．直线平面 B．异面直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．平面截正方体所得的截面面积为 11．十七世纪法国数学家费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形．求作一点．使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于时，则该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中，所求点称为费马点．已知在中，，，，CM是的角平分线，交AB于M，P为的费马点，则下列说法正确的是 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数满足，则 ． 13．已知为第三象限角，且，求= ． 14．已知棱长为1的正方体，在其内部放入两个相外切的球和球（可与正方体表面相切），半径分别为，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知向量，，在同一平面上，且，． （1）若与与垂直，求k的值； （2）若（其中），当取最小值时，求与的数量积的大小． 16．（本小题满分15分） 已知函数， （1）求函数的周期及对称中心； （2）解不等式，其中． 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面，，为的中点，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积． 18．（本小题满分17分） 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围； （3）若点为所在平面内一点，且满足．求的取值范围． 19．（本小题满分17分） 如图，在平面四边形中，是等边三角形，是等腰三角形，且，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点． （1）若，求证：平面平面； （2）若，记的重心为，若，求与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角正切的最大值． 辽宁鸿飞 高一数学试卷 第 1 页（共 4 页） 高一数学试卷 第 1 页（共 4 页） 辽宁鸿飞 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期7月期末调研试题（3） 高一数学 命题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 朱勃宇 审题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 刘思瑞 命题范围：【（人教B版）必修三、必修四】三角函数、向量、三角恒等变换、解三角形、复数、立体几何初步 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列角中与20°终边相同的角是 A．-340° B．200° C．-20° D．340° 2．设复数 在复平面内的对应点关于虚轴对称，若是虚数单位），则为 A． B． C． D． 3．已知是两个单位向量，在上的投影向量为，则向量在向量上的投影向量为 A． B． C． D． 4．如图，中，为边上的中线，E为延长线上一点，且，若，， A．2 B．4 C． D． 5．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的体积为 A． B． C． D． B C D E A （第4题图） （第5题图） 6．若平面向量，，满足，，，则 A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系xOy中，为第四象限角，角的终边与单位圆O交于点，若，则 A． B． C． D． 8．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，，则下列选项中正确的有 A． B． C． D． 10．如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为，，的中点，则有 A．直线平面 B．异面直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．平面截正方体所得的截面面积为 11．十七世纪法国数学家费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形．求作一点．使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于时，则该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中，所求点称为费马点．已知在中，，，，CM是的角平分线，交AB于M，P为的费马点，则下列说法正确的是 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数满足，则 ． 13．已知为第三象限角，且，求= ． 14．已知棱长为1的正方体，在其内部放入两个相外切的球和球（可与正方体表面相切），半径分别为，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知向量，，在同一平面上，且，． （1）若与与垂直，求k的值； （2）若（其中），当取最小值时，求与的数量积的大小． 16．（本小题满分15分） 已知函数， （1）求函数的周期及对称中心； （2）解不等式，其中． 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面，，为的中点，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积． 18．（本小题满分17分） 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围； （3）若点为所在平面内一点，且满足．求的取值范围． 19．（本小题满分17分） 如图，在平面四边形中，是等边三角形，是等腰三角形，且，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点． （1）若，求证：平面平面； （2）若，记的重心为，若，求与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角正切的最大值． 答案第1页，共2页 高一数学试卷 第 5 页（共 4 页） 辽宁鸿飞 高一数学试卷 第 6 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期7月期末调研试题（3） 高一数学 参考答案与解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C D A C C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 ACD ABD ABD 1．A 【分析】由与20°终边相同的角是，从而即可求解． 【详解】解：与20°终边相同的角是， 当时，， 故选：A． 2．B 【分析】根据复数的几何意义，结合复数的除法运算求解即可． 【详解】由题意可得： 对应的点为，该点关于虚轴对称的点为， 所以对应的点为， ． 故选：B 3．C 【分析】由投影向量的定义利用题设条件求得，代入所求即可． 【详解】因在上的投影向量为，则， 依题意，所以， 因向量在向量上的投影向量为， 由， 故向量在向量上的投影向量为． 故选：C． 4．D 【分析】根据条件得，，结合可得解． 【详解】, ， 又因为，所以， 解得，所以． 故选：D． 5．A 【分析】几何体可看作半圆柱去掉底面为等腰直角三角形的三棱柱，求出半圆柱的体积和三棱柱的体积，相减后求出答案． 【详解】几何体可看作半圆柱去掉底面为等腰直角三角形的三棱柱， 其中半圆柱的体积为，三棱柱的体积为， 故几何体的体积为． 故选：A 6．C 【分析】移项得，再同平方即可得到，再计算即可． 【详解】由可得，即，， 代入，，可得，，故． 故选：C． 7．C 【解析】根据为第四象限角，再结合，确定的范围，进而确定，然后由求解． 【详解】∵， ∴， 又， 所以， 所以， ∴． 故选：C 【点睛】易错点点睛：本题容易忽视的范围，而导致出错． 8．B 【分析】确定，得到，根据函数没有零点结合三角函数性质得到不等关系，计算得到答案． 【详解】根据题意：，，即， 在上没有零点，故，则． ，所以， 则或，解得或． 故选：B 9．ACD 【分析】对两边平方化简可求出，再结合的范围和，可求出，从而进行判断即可． 【详解】将两边同时平方，整理得， 所以，故D正确． 又，所以， 所以由，解得，故C正确， 所以，，故A正确，B错误， 故选：ACD． 10．ABD 【分析】根据三角形中位线定理、异面直线所成角定义，结合线面角的定义、线面平行的判定定理、正方体的截面性质逐一判断即可． 【详解】对于B，连接， 因为E，F，分别为，的中点， 所以， 因为是棱长为2的正方体， 所以， 因此是等边三角形，因此， 因此直线与所成的角为，故B正确； 对于C，延长，交的延长线于， 因为G为的中点， 所以B为的中点， 由正方体的性质可知：平面， 因此是直线与平面所成角的平面角， 因为， 所以直线与平面所成的角不是，故C不正确； 对于A，取中点，连接， 则，因为平面，平面， 所以平面， 因为分别为的中点， 所以且， 又且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面，而平面， 所以直线平面，故A正确； 对于D，因为，， 所以，因此四点共面， 因此截面为等腰梯形， 因为正方体棱长为2， 所以， ， 因此该等腰梯形的高为：， 所以该等腰梯形面积为：，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法： （1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念； ③求，利用解三角形的知识求角； （2）向量法，（其中为平面的斜线，为平面的法向量，为斜线与平面所成的角）． 11．ABD 【分析】利用三角形面积公式计算判断ABC；判断的内角大小，确定费马点，利用三角形面积公式及数量积的定义求解即得． 【详解】对于A，依题意，，由， 得，解得，A正确； 对于BC，，B正确，C错误； 对于D，，在中，，， 即，在中，， 则点与的三个顶点的连线两两成角， ， 于是， 所以 ，D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 【分析】设，求出，由复数相等解出即可． 【详解】设，则，， 则，解得，故． 故答案为：． 13． 【分析】根据二倍角余弦公式结合同角的三角函数关系可求得，利用三角恒等变换得到，即可求得答案． 【详解】因为为第三象限角，且，故， 则 ， 则， 故答案为： 14． 【分析】要想最大，则两球都分别与正方体体对角线顶点相邻的三个面都相切求解． 【详解】当球和球相切，此时两球球心均在体对角线上， 且球与平面，平面，平面相切， 球与平面，平面，平面相切，此时取得最大值， 其中，，，， 故， 解得， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） （1） （2） 【分析】（1）运用平面向量垂直的充要条件的坐标形式列式即可求解（2）求出的坐标之后代模长公式，通过配方，可以判断取何值时，最小，然后代数量积的坐标计算公式即可求解 【详解】（1） 因为与垂直 所以 所以 （2） 所以 当时，取得最小值 此时 所以 16．（本小题满分15分） （1）周期为， （2） 【分析】（1）首先化简函数，再根据三角函数的性质，求对称中心和周期； （2）不等式化简为，解不等式后与定义域求交集． 【详解】（1） 故周期为，令故对称中心为 （2） 令，得， 故不等式的解集为 17．（本小题满分15分） （1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【分析】（1）先求证以及，再利用线面垂直的判定定理即可； （2）取线段的中点，求证四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可； （3）求出各边长，利用棱锥的体积公式计算即可． 【详解】（1）连接， 因为平面，平面，所以， 因四边形为菱形且，则为正三角形， 又为的中点，则， 又，平面，则平面． （2）设为线段的中点，连接、， 因为的中点，则，且， 又且，为的中点，则且，     则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面； （3）∵，为正三角形， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， 故三棱锥的体积为． 18．（本小题满分17分） （1） （2） （3） 【分析】（1）利用两角和的正切公式及诱导公式求出，即可得解； （2）利用正弦定理转化为的三角形函数，结合三角形为锐角三角形求出的范围，最后由正切函数的性质计算可得； （3）根据数量积的运算律推导出为的外心，则，，再转化为关于的三角函数，即可得解． 【详解】（1）因为，即， 整理可得，即， 在中，，故， 又为锐角三角形，故． （2）因为，可得， 由正弦定理，，即， 则， 又，故，则； 由为锐角三角形可得：，可得， 所以，则，则． （3）因为， 所以， 所以，，即， 所以为的外心， 所以，， 所以 , 由（2）同理可得， 则， 所以， 所以． 19．（本小题满分17分） （1）证明见解析 （2） （3） 【分析】（1）设等边三角形的边长为2，由勾股定理证明，利用线面垂直的判定定理证明面，根据面面垂直的判定定理得证； （2）根据题意，可证，即三棱锥为正三棱锥，连接并延长交于，可证面面，过作，证明面，取的中点为，可得，所以为所求线面角，运算得解； （3）设，过作，过作，连接，可证为所求夹角，在中，可得，由三角函数有界性求出的最大值，得解． 【详解】（1）设等边三角形的边长为2， 则，连接交于点． 因为是等腰三角形，所以，即， 因为，，． 所以，， ，面， 所以面，因为面， 所以面面． （2）在中，，，， 由余弦定理得，所以， 所以三棱锥为正三棱锥． 因为是的重心， 所以面，则， 连接并延长交于， 连接，可得，， 所以面， 所以面面，过作， 因为面面，面， 所以面． 取的中点为，由题意知是的中点． 所以，所以为所求线面角． 在中，，， 所以． （3）因为，设，过作． 因为，可得平面， 所以平面平面，所以平面， 可得，， 过作，连接， 易得，可得为所求夹角． 在中，，， 所以， ， 所以，解得， 所以平面与平面夹角正切的最大值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$高一数学答题卡 第 1页（共 6页） 高一数学答题卡 第 2页（共 6页） 高一数学答题卡 第 3页（共 6页） 辽宁省普通高中 2024-2025学年下学期 7月期末调研试题（3） 高一数学答题卡 姓 名 准考证号 填 涂 要 求 正确填涂 错误填涂示例 缺考考生由监考 员用 2B 铅笔填 涂右侧缺考标记 缺考标记 注 意 事 项 1.首先，检查题卡有无破损及印刷问题，若有问题请及时更换。用 0.5mm黑色字迹签字笔在 规定位置填写姓名、准考证号。核对条形码上姓名、准考证号是否正确，并贴好条形码。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5mm黑色字迹签字笔作答，字体工整、 笔迹清楚。 3.选择题修改时请用橡皮擦净后再作答；非选择题在对应题号答题区内作答，超出答题区域 的答案无效；选择题和非选择题在试卷、草稿纸上作答无效。 4.保持卡面清洁，不可折叠、污损。题卡上禁用涂改液、修正带和胶带纸。 第一部分 选择题（共 58分） （须用 2B铅笔填涂） 第二部分 非选择题（共 92分） （须用 0.5mm黑色字迹签字笔书写） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 条 形 码 粘 贴 处 三、填空题：每小题 5分，共 15分． 12． ． 13． ． 14． ． 四、解答题（共 77分） 15．（本小题满分 13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 （续 15题） 16．（本小题满分 15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 17．（本小题满分 15分） ·监制 1． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 高一数学答题卡 第 4页（共 6页） 高一数学答题卡 第 5页（共 6页） 高一数学答题卡 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 （续 17题） 18．（本小题满分 17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 （续 18题） 19．（本小题满分 17分） （续 19题） （备用图） ·监制