辽宁省普通高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学模拟试题（2）

绝密★启用前 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期7月期末调研试题（2） 高一数学 命题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 朱勃宇 审题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 刘思瑞 命题范围：【（人教B版）必修三、必修四】三角函数、向量、三角恒等变换、解三角形、复数、立体几何初步 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为虚数单位，复数的共轭复数为，则 A． B． C． D． 2．设，是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为 A． B． C． D． 4．扇子是引风用品，夏令必备之物．我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分．历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品．扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇．如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的．完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，，分别在，上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为 图1                    图2 A． B． C． D． 5．在中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，，D为的中点，，且，则的面积为 A． B． C． D． 6．已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次为, , ，若，则 A． B． C． D． 7．已知复数, 和满足，若，则的最大值为 A． B．3 C． D．1 8．记函数的最小正周期为T，若，且函数的图象关于点对称，则当取得最小值时， A．2 B．1 C．－1 D．－2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法不正确的有 A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B．以直角三角形直角边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 C．在圆柱的上､下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 D．过圆锥顶点的截面中，轴截面面积最大 10．已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是 A． B．若，则 C．若，则 D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 11．如图，在三棱锥中，，若三棱锥的体积为，则下列说法正确的有 A． B．直线PC与面PAB所成角的正弦值为 C．点A到平面PBC的距离为 D．三棱锥的外接球表面积 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是方向相同的单位向量，且向量在向量方向上的投影向量为，求与的夹角 ． 13．如图，在四边形ABCD中，AD=3，BC=4，E，F分别是AB，CD的中点，P,Q分别是AC,BD的中点，则 ． 14．半径为5的球内有一个高为8的内接正四棱锥，则该球与该内接正四棱锥体积之比为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知向量与向量的夹角为，且，． （1）求的值； （2）求向量在向量上的投影向量． 16．（本小题满分15分） 已知在中，， （1）求A； （2）若，则三角形的面积为，求 17．（本小题满分15分） 如图，在直三棱柱中，． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 18．（本小题满分17分） 函数的部分图像如图所示． （1）求的解析式； （2）若，求的值； （3）若恒成立，求的取值范围． 19．（本小题满分17分） 定义向量的“相关函数”为；函数的“相关向量”为． （1）求函数的“相关向量”的模长； （2）在中，角的对边分别为，若函数的“相关向量”为，且已知． ①求周长的最大值； ②求的取值范围． 辽宁鸿飞 高一数学试卷 第 1 页（共 4 页） 高一数学试卷 第 1 页（共 4 页） 辽宁鸿飞 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期7月期末调研试题（2） 高一数学 命题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 朱勃宇 审题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 刘思瑞 命题范围：【（人教B版）必修三、必修四】三角函数、向量、三角恒等变换、解三角形、复数、立体几何初步 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为虚数单位，复数的共轭复数为，则 A． B． C． D． 2．设，是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为 A． B． C． D． 4．扇子是引风用品，夏令必备之物．我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分． 历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品．扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇．如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的．完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，，分别在，上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为 图1                    图2 A． B． C． D． 5．在中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，，D为的中点，，且，则的面积为 A． B． C． D． 6．已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次为, , ，若，则 A． B． C． D． 7．已知复数, 和满足，若，则的最大值为 A． B．3 C． D．1 8．记函数的最小正周期为T，若，且函数的图象关于点对称，则当取得最小值时， A．2 B．1 C．－1 D．－2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法不正确的有 A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B．以直角三角形直角边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 C．在圆柱的上､下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 D．过圆锥顶点的截面中，轴截面面积最大 10．已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是 A． B．若，则 C．若，则 D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 11．如图，在三棱锥中，，若三棱锥的体积为，则下列说法正确的有 A． B．直线PC与面PAB所成角的正弦值为 C．点A到平面PBC的距离为 D．三棱锥的外接球表面积 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是方向相同的单位向量，且向量在向量方向上的投影向量为，求与的夹角 ． 13．如图，在四边形ABCD中，AD=3，BC=4，E，F分别是AB，CD的中点，P,Q分别是AC,BD的中点，则 ． 14．半径为5的球内有一个高为8的内接正四棱锥，则该球与该内接正四棱锥体积之比为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知向量与向量的夹角为，且，． （1）求的值； （2）求向量在向量上的投影向量． 16．（本小题满分15分） 已知在中，， （1）求A； （2）若，则三角形的面积为，求 17．（本小题满分15分） 如图，在直三棱柱中，． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 18．（本小题满分17分） 函数的部分图像如图所示． （1）求的解析式； （2）若，求的值； （3）若恒成立，求的取值范围． 19．（本小题满分17分） 定义向量的“相关函数”为；函数的“相关向量”为． （1）求函数的“相关向量”的模长； （2）在中，角的对边分别为，若函数的“相关向量”为，且已知． ①求周长的最大值； ②求的取值范围． 答案第1页，共2页 高一数学试卷 第 5 页（共 4 页） 辽宁鸿飞 高一数学试卷 第 6 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$高一数学答题卡 第 1页（共 6页） 高一数学答题卡 第 2页（共 6页） 高一数学答题卡 第 3页（共 6页） 辽宁省普通高中 2024-2025学年下学期 7月期末调研试题（2） 高一数学答题卡 姓 名 准考证号 填 涂 要 求 正确填涂 错误填涂示例 缺考考生由监考 员用 2B 铅笔填 涂右侧缺考标记 缺考标记 注 意 事 项 1.首先，检查题卡有无破损及印刷问题，若有问题请及时更换。用 0.5mm黑色字迹签字笔在 规定位置填写姓名、准考证号。核对条形码上姓名、准考证号是否正确，并贴好条形码。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5mm黑色字迹签字笔作答，字体工整、 笔迹清楚。 3.选择题修改时请用橡皮擦净后再作答；非选择题在对应题号答题区内作答，超出答题区域 的答案无效；选择题和非选择题在试卷、草稿纸上作答无效。 4.保持卡面清洁，不可折叠、污损。题卡上禁用涂改液、修正带和胶带纸。 第一部分 选择题（共 58分） （须用 2B铅笔填涂） 第二部分 非选择题（共 92分） （须用 0.5mm黑色字迹签字笔书写） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 条 形 码 粘 贴 处 三、填空题：每小题 5分，共 15分． 12． ． 13． ． 14． ． 四、解答题（共 77分） 15．（本小题满分 13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 （续 15题） 16．（本小题满分 15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 17．（本小题满分 15分） ·监制 1． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 高一数学答题卡 第 4页（共 6页） 高一数学答题卡 第 5页（共 6页） 高一数学答题卡 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 （续 17题） 18．（本小题满分 17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 （续 18题） 19．（本小题满分 17分） （续 19题） ·监制 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期7月期末调研试题（2） 高一数学 参考答案与解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D D C A B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 ACD ABD ABD 1．A 【分析】先分别求得，再去求即可解决． 【详解】复数的共轭复数 复数的模， 则 故选：A 2．B 【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】若“”，则平方得， 即，即 ， 则，即，即，同向共线，则存在实数使得 ； 反之当时，存在，满足，但“”不成立， 即“存在实数使得 ”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 3．D 【分析】根据已知条件可得，结合圆柱与球的体积公式计算即可． 【详解】设圆柱的母线长为l，内切球的半径为r，如图所示，则其轴截面如图所示， 则， 所以圆柱的内切球体积为，圆柱体积为， 所以圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为． 故选：D． 4．D 【分析】先求得，再根据扇环的面积公式求得正确答案． 【详解】依题意，， 所以， 所以该折扇的扇面的面积为． 故选：D 5．C 【分析】先由结合余弦定理求出，再由余弦定理得，进而由两边平方得，再由三角形面积公式即可得解． 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 整理得，故， 又，所以， 所以由得即， 又由题， 所以 ， 即，故， 所以的面积为． 故选：C． 【点睛】方法点睛：解决中线问题通常用向量法，先由向量得，接着两边平方，再结合余弦定理去求解． 6．A 【分析】令，则函数即为函数，题目等价于的图象与直线连续的三个公共点，，，判断，，分布的位置，结合正弦函数的周期以及对称性确定点的坐标，代入函数解析式化简，可得答案． 【详解】令，则函数即为函数， 的最小正周期为， 最小正周期为， 作出函数，的大致图象，如图， 则函数的图象与直线连续的三个公共点，，， 等价于的图象与直线连续的三个公共点，，， （连续的三个公共点从左到右排列）， 由题意不妨设，，位置如图中所示（三点位置可左右平移一个周期）， 即，关于直线对称，， 由于，则，故， 而，关于直线对称，故点横坐标为， 将点横坐标代入，得， 则． 故选：A 7．B 【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到，再将时各复数的取值取出，即可得到的最大值． 【详解】根据题意，得， 当，，时，，此时， 所以． 故选：B． 8．D 【分析】由及的图象关于对称列出关系式，求出，，再由的图象关于对称可求的最小值，从而可求的值． 【详解】由已知得， 因为函数的图象关于对称，所以， 所以，所以， 又因为，所以，， 由的图象关于对称得， 所以，即有， 又因为，所以当最小时，，此时， 所以， 故选：D． 9．ACD 【分析】根据棱柱的性质，圆锥和圆柱的概念可得答案． 【详解】斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，故A错误； 由圆锥的概念可知，B正确； 只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，故C错误； 过圆锥顶点的截面中，是否是轴截面面积最大，取决于截面三角形的顶角是否小于，故D错误． 故选：ACD． 10．ABD 【分析】对于A和D，设，分别验证即可；对于B，和互为共轭复数，故正确；对于C，通过举反例进行排除． 【详解】对于A，设，则，所以，故A正确； 对于B，若，则和互为共轭复数，所以，故B正确； 对于C，取，，可得，故C错误； 对于D，设，由于，所以，所以，，所以在复平面内对应的点所构成的轨迹为轴，是直线，故正确． 故选：ABD． 11．ABD 【分析】A．由体积公式，计算点到平面的距离，即可判断；B．根据垂直关系，构造线面角，即可判断；C．利用等体积转化，即可求解并判断；D．根据外接球的半径公式，即可求解并判断． 【详解】设点到平面的距离为， 三棱锥的体积，得， 因为，所以平面，又平面， 所以，故A正确； 因为平面，所以平面平面， 且平面平面， 取的中点，连结， 因为是等边三角形，所以平面， 为直线PC与面PAB所成角，，, 所以,故B正确； 中，，， 所以边上的高为，, 设点到平面的距离为，则，得，故C错误； 如图，过的中心作平面的垂线，过线段的中点作的垂线， 两条垂线交于点，则点到四点的距离相等， 即点是三棱锥外接球的球心， 外接圆的半径，, 所以三棱锥外接球的半径, 所以外接球的表面积，故D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 【分析】根据向量在向量上的投影向量为,由求解． 【详解】因为向量在向量上的投影向量为, 所以, 即, 因为, 所以, 故答案为:． 13． 【分析】可连接，根据题意即可得出四边形为平行四边形，从而可得出，然后进行数量积的运算即可． 【详解】如图，连接， ∵为的中点，为对角线的中点， ，， ∴四边形为平行四边形， ，， ，， 故答案为： 14． 【分析】设的中点为，连接并延长交球于点，求得，，结合棱锥和球的体积公式，即可求解． 【详解】如图所示，设的中点为，连接并延长交球于点，则， 在直角中，可得，所以， 所以， 所以， 则球的体积为， 正四棱锥的体积为， 所以该球与该内接正四棱锥体积之比为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） （1） （2） 【分析】（1）由数量积的定义与运算性质求解即可； （2）由投影向量的定义求解即可 【详解】（1） ． （2）由投影向量的定义得： ． 16．（本小题满分15分） （1） （2） 【分析】（1）根据余弦定理边角互化，即可求解， （2）根据三角形面积公式可得，进而根据余弦定理即可求解． 【详解】（1）根据可得， 即，故, 由于，故 （2）由得， 又因为由余弦定理知， 故，结合 解得 17．（本小题满分15分） （1）证明见解析 （2） 【分析】（1）勾股定理证得，线面垂直的性质证得，得平面，所以平面平面； （2）连接，与相交于点，可证平面，直线与平面所成角为，求出，由，代入求值即可． 【详解】（1），有，则， 直三棱柱中，平面，平面，， 平面，，平面， 平面，平面平面； （2）连接，与相交于点，连接， ，侧面为正方形，则有 平面，平面，， 平面，，平面， 则直线与平面所成角为， ，则，，又，则， 则， 所以直线与平面所成角的余弦值为． 18．（本小题满分17分） （1） （2） （3） 【分析】（1）根据图象中特殊点的坐标，结合余弦型函数的周期公式进行求解即可； （2）根据诱导公式可求解； （3）根据函数零点的定义，结合余弦型函数的有界性分类讨论进行求解即可． 【详解】（1）由图可得， 函数过点， 所以，则， 解得， 又，则，所以； （2）若，即， 而； （3）因为，所以， 则，令， 设，则恒成立， 由二次函数的图象性质可知，只需， 解得，故的取值范围为． 19．（本小题满分17分） （1）1； （2）①；②． 【分析】（1）利用二倍角公式及和角的余弦公式化简，再求出函数的“相关向量”，进而求出模． （2）①利用定义求出，再利用余弦定理及基本不等式求出最大值；②利用数量积的定义及运算律列式，由（1）求出范围，换元借助二次函数求出范围． 【详解】（1）函数， 因此函数的“相关向量”为，， 所以所求模长为1． （2）①由函数的“相关向量”为，得， 由，得，在中，由余弦定理得， 则， ，当且仅当时取等号，， 所以周长的最大值为 ②由①知， ，而， 即，当且仅当时取等号，于是， 令，则 所以的取值范围为 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$