辽宁省普通高中2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学模拟试题（3）

绝密★启用前 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期7月期末调研试题（3） 高二数学 命题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 朱勃宇 审题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 刘思瑞 命题范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、数列、计数原理与概率统计 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知命题，，则是 A．x≤0， B．， C．， D．， 3．在等差数列中，若，，则 A．27 B．35 C．38 D．42 4．设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．函数的导函数的图象大致是 A． B． C． D． 6．某企业将9个培训名额分配给4个部门，每个部门至少分得1个名额，设为这4个部门中分得的最少名额数，则的方差为 A． B． C． D． 7．设a，b为正实数，且，则的最大值和最小值之和为 A．2 B． C． D．9 8．函数满足， ，若存在，使得成立，则的取值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知是等比数列，公比为q，前n项和为，则下列说法正确的是 A．为等比数列 B．为等差数列 C．若，则 D．若，则 10．已知关于的不等式的解集为，则 A．的解集为 B．的最小值为 C．不等式的解集为 D．的最大值为 11．某区四所高中各自组建了排球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时 A．甲队积分为9分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为15分 C．甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 D．甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则f(4)= ． 13．已知数列满足，则 ． 14．设是定义在上的偶函数，，都有，且当时，，若函数在区间内恰有三个不同零点，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知函数． （1）求函数的单调区间与极值； （2）求函数在区间上的最值． 16．（本小题满分15分） 已知数列的前n项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 17．（本小题满分15分） 为了普及传染病防治知识，增强学生的健康意识和疾病防犯意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分分），竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其它学生不得奖．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如右图所示的频率分布直方图． （1）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生恰有一名学生获奖的概率． （2）若该校所有参赛学生的成绩近似地服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①若该校共有名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中超过分的学生人数（结果四舍五入到整数）； ②若从所有参赛学生中（参赛学生人数大于）随机抽取名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在分以上的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 18．（本小题满分17分） 设函数． （1）若，求在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若，求证：在时，． 19．（本小题满分17分） 已知一个袋子中有个红球，个黑球，，这些球除颜色外完全相同． （1）当，时，甲乙进行摸球比赛，按先甲后乙依次轮流摸球．某人摸球时从袋子中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，摸到红球得一分，否则对方得一分（记为一次摸球），规定当一方比另外一方多2分时胜出，比赛结束． ①求第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率； ②若规定甲乙摸球次数的总和达到（，，且为常数）时也停止比赛，设随机变量为比赛结束时的摸球次数，求随机变量的数学期望． （2）将口袋中的球随机逐个取出，并放入编号为的盒子中，其中第次取出的球放入编号为的盒子，随机变量表示最后一个取出的黑球所在的编号的倒数，是的数学期望，求证：当时，． 答案第1页，共2页 高二数学试卷 第 5 页（共 4 页） 辽宁鸿飞 高二数学试卷 第 6 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期7月期末调研试题（3） 高二数学 参考答案与解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B C D C C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 ABD AD ABD 1．A 【分析】利用一元二次不等式的解法求出集合，然后利用交集的运算即可求解. 【详解】因为集合，，所以， 故选:A． 2．D 【分析】利用特称命题的否定是全称命题分析得解. 【详解】命题，，是特称命题， 因为特称命题的否定是全称命题， 所以：，. 故选：D 【点睛】本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 3．B 【分析】由已知条件可得，，从而可利用等差数列求和公式可求得结果 【详解】解：数列为等差数列，设首项为，公差为， ∵，，∴，， ∴． 故选：B 4．C 【详解】由，得，即，即. ∴，即. 当时，易得. ∴“”是“”的充要条件. 故选C. 5．D 【分析】求导得，进而对求导，判断其单调性，即可选出答案. 【详解】函数，则， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 只有选项D符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数图像的识别，考查函数单调性的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于基础题. 6．C 【分析】求出的可能值及对应的概率，再利用期望、方差的定义求解. 【详解】依题意，的可能值为1，2，， 则的期望，方差. 故选：C 7．C 【分析】根据题意可得，再由“1”与相乘利用基本不等式转化为，解不等式即可求解. 【详解】由，则， 所以 ， 当且仅当时，即或时，等号成立， 即，解得 所以的最大值为；最小值为； 所以最大值和最小值之和为. 故选：C 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，运用基本不等式求最值需验证等号成立的条件，属于中档题. 8．A 【详解】由题意设，则，所以（为常数）．∵，∴，∴， ∴．令，则，故当时，单调递减；当时，单调递增． ∴，从而当时，，∴在区间上单调递增． 设，则，故在上单调递增，在上单调递减，所以． ∴不等式等价于， ∴，解得，故的取值范围为．选A． 点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数，并进一步求得函数的解析式，从而得到函数在区间上的单调性．然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可． 9．ABD 【分析】由等比数列的定义可判断A；等差数列的定义判断B；举特列可判断C；由等比中项判断D. 【详解】对于A，，故为公比为的等比数列，故A正确； 对于B，， 所以是公差为的等差数列，故B正确； 对于C，若，则， 则， 所以，但，故C错误； 对于D，因为，所以，，， 因为是等比数列，所以，解得：，故D正确. 故选：ABD. 10．AD 【分析】根据题意，将不等式化简可得其解集为，代入计算即可判断ABC，由基本不等式即可判断D. 【详解】因为，则，解集为， 则，则可化为，解得， 所以不等式解集为，故A正确； 因为，且，所以当时，取得最小值为，故B错误； 因为，则，则不等式的解集为，故C错误； 因为， 当且仅当时，即时取得等号，故D正确； 故选：AD 11．ABD 【分析】若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁，结合独立事件的概率公式运算判断A；举例比赛的各种得分情况判断B；由互斥事件与独立事件的概率公式计算概率判断CD． 【详解】对于选项A：若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁， 所以甲队积分为9分的概率为，故A正确； 对于选项B：四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 则甲得9分，乙、丙、丁各得2分， 所以四支球队的积分总和可能为15分，故B正确； 对于选项C：每场比赛中两队胜、平、负的概率都为， 则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为，故C错误； 对于选项D：甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分， 三队中选一队与甲比赛，甲输，，例如是丙甲， 若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分， 这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于4分，不合题意， 在丙输的情况下，乙、丁已有3分， 那个它们之间的比赛无论什么情况， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意； 若甲全赢（概率是）时，甲得6分，其他3人分数最高为5分， 这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢否则丙的分数不小于6分，只有全平或全输， ①若丙一平一输，概率，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率； ②若丙两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意； ③若两场丙都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是； 综上概率为，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】难点点睛：本题考查独立的概率与互斥事件的概率公式，难点在于分析丙在输第一场的情况下如何才能使得分超过其他三人，方法是结合列举法对六场比赛结果分步分析，确定每人的得分使之合乎题意． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．0 【分析】由函数的性质得f（4）=f（2）=f（0），由此能求出结果． 【详解】解：∵函数f（x）=， ∴f（4）=f（2）=f（0）=20-1=0． 故答案为0． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力． 13． 【解析】等价变形，换元设，得 ，两边取对数，得是首项，公比的等比数列，求出可解 . 【详解】，， ，设，则，，两边取对数， ， ，所以是首项，公比的等比数列， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查的是由数列的递推公式求通项公式， 常见的求解方法有如下几种：累和法，适用于的形式，累乘法，适用于的形式，构造法，适用于的形式，适当的配凑常数使其变形为，转化等比数列求解，形如的递推公式可两边同除以指数式，转化为的形式，形如的递推公式可通过两边取倒数的方法转化为的形式 14． 【分析】根据已知条件判断出的周期，由此画出的图象，将在区间内恰有三个不同零点，转化为在区间上有个不同的交点，结合或进行分类讨论，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，为上的偶函数，且， 所以， 所以是周期为的周期函数. 由于时，，由此画出在区间上的图象如下图所示. 令，得.故在区间内恰有三个不同零点，即在区间上有个不同的交点. 当时，画出图象如下图所示，由图可知，要使在区间上有个不同的交点，则 . 当时，画出图象如下图所示，由图可知，要使在区间上有个不同的交点，则 . 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、对称性、周期性和零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） （1）单调递增区间是，单调递减区间是；极大值是，极小值是 （2）最大值为，最小值为0 【分析】（1）对求导，根据导数的正负确定函数的增减，根据函数的单调性确定极值即可； （2）根据极值点和端点值确定最值. 【详解】（1）．          令，得或， 令，得， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是．          所以的极大值是，的极小值是． （2）因为，         由（1）知，的极大值是，的极小值是， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为0． 16．（本小题满分15分） （1） （2） 【分析】（1）利用求通项公式； （2）先根据求出，再把拆项为，然后求和． 【详解】（1）∵，，当时，，∴． 由，，两式相减可得：． ∴，又． ∴是以4为首项，2为公比的等比数列， ∴． （2）因为， ， 所以 . 17．（本小题满分15分） （1） （2）①；②分布列见解析，. 【分析】（1）求出获奖人数，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）求出的值. ①求得，利用原则可求出的值，再乘以可得结果； ②分析可知，，利用二项分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）解：由样本频率分布直方图知，样本中获一等奖的人数为， 获二等奖的人数为， 若三等奖的人数为， 获奖人数共有，人没有获奖， 从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为. 设“抽取两名学生中有一名学生获奖”的事件为，则事件包含的基本事件的个数为， 因为每个基本事件出现的可能性相等，所以， 即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为. （2）解：由样本频率分布直方图得样本平均数估计值为 ， 所有参赛学生的成绩近似地服从正态分布. ①因为， ， 所以，参赛学生中成绩超过分的人数约为； ②由，得， 即从所有学生中随机抽取名学生，该生的成绩在分以上的概率为， 所以随机变量，随机变量的可能值为、、、， 且，， ， 所以随机变量的分布列为 随机变量的数学期望. 18．（本小题满分17分） （1） （2）当时，在上为减函数； 当时，在上为减函数，在上为增函数. （3）证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义，可求得切线的斜率k，结合点斜式方程，即可得答案. （2）求导可得，分别讨论和两种情况下，的正负，可得的单调性，综合即可得答案. （3）设，利用导数求得的单调性和最值，分析即可得答案. 【详解】（1）由题意得， 所以， 则，又， 所以切线方程，整理得. （2）， 当时，，则在上为减函数， 当时，令，解得， 当时，，则在上为减函数， 当时，，则在上为增函数， 综上：当时，在上为减函数； 当时，在上为减函数，在上为增函数. （3）设， 则， 令， 所以在恒成立， 所以在为增函数， 又， 所以存在，使，即， 当时，，则为减函数， 当时，，则为增函数， 所以的最小值为， 又，可得， 所以， 所以在恒成立，即在时，. 【点睛】解题的关键是熟练掌握导数的几何意义，利用导数求函数极（最）值的方法，并灵活应用，难点在于，无法判断的正负时，需再次求导，进行判断，属难题. 19．（本小题满分17分） （1）①； ②； （2）证明见解析. 【分析】（1）①利用独立事件的乘法公式计算即可； ②分析出的可能取值，再计算分布列和数学期望即可； （2）先写出的可能取值，再计算分布列和均值，最后合理放缩即可. 【详解】（1）①设事件为第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球， 则. 答：第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率为. ②由题意知的可能取值为，， 则，，， ，. 其概率分布如下： 2 4 6 所以， 设， ， 所以， 所以， 所以 （2）由题意知的可能取值为，， 则，，， 则其概率分布如下： ， 因为， 所以 ， 又因为，所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$高二数学答题卡 第 1页（共 6页） 高二数学答题卡 第 2页（共 6页） 高二数学答题卡 第 3页（共 6页） 辽宁省普通高中 2024-2025学年下学期 7月期末调研试题（3） 高二数学答题卡 姓 名 准考证号 填 涂 要 求 正确填涂 错误填涂示例 缺考考生由监考 员用 2B 铅笔填 涂右侧缺考标记 缺考标记 注 意 事 项 1.首先，检查题卡有无破损及印刷问题，若有问题请及时更换。用 0.5mm黑色字迹签字笔在 规定位置填写姓名、准考证号。核对条形码上姓名、准考证号是否正确，并贴好条形码。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5mm黑色字迹签字笔作答，字体工整、 笔迹清楚。 3.选择题修改时请用橡皮擦净后再作答；非选择题在对应题号答题区内作答，超出答题区域 的答案无效；选择题和非选择题在试卷、草稿纸上作答无效。 4.保持卡面清洁，不可折叠、污损。题卡上禁用涂改液、修正带和胶带纸。 第一部分 选择题（共 58分） （须用 2B铅笔填涂） 第二部分 非选择题（共 92分） （须用 0.5mm黑色字迹签字笔书写） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 条 形 码 粘 贴 处 三、填空题：每小题 5分，共 15分．双空题第一个空 2分，第二个空 3分。 12． ． 13． ． 14． ． 四、解答题（共 77分） 15．（本小题满分 13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 （续 15题） 16．（本小题满分 15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 17．（本小题满分 15分） ·监制 1． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 高二数学答题卡 第 4页（共 6页） 高二数学答题卡 第 5页（共 6页） 高二数学答题卡 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 （续 17题） 18．（本小题满分 17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 （续 18题） 19．（本小题满分 17分） （续 19题） ·监制 绝密★启用前 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期7月期末调研试题（3） 高二数学 命题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 朱勃宇 审题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 刘思瑞 命题范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、数列、计数原理与概率统计 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知命题，，则是 A．x≤0， B．， C．， D．， 3．在等差数列中，若，，则 A．27 B．35 C．38 D．42 4．设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．函数的导函数的图象大致是 A． B． C． D． 6．某企业将9个培训名额分配给4个部门，每个部门至少分得1个名额，设为这4个部门中分得的最少名额数，则的方差为 A． B． C． D． 7．设a，b为正实数，且，则的最大值和最小值之和为 A．2 B． C． D．9 8．函数满足， ，若存在，使得成立，则的取值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知是等比数列，公比为q，前n项和为，则下列说法正确的是 A．为等比数列 B．为等差数列 C．若，则 D．若，则 10．已知关于的不等式的解集为，则 A．的解集为 B．的最小值为 C．不等式的解集为 D．的最大值为 11．某区四所高中各自组建了排球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时 A．甲队积分为9分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为15分 C．甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 D．甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则f(4)= ． 13．已知数列满足，则 ． 14．设是定义在上的偶函数，，都有，且当时，，若函数在区间内恰有三个不同零点，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知函数． （1）求函数的单调区间与极值； （2）求函数在区间上的最值． 16．（本小题满分15分） 已知数列的前n项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 17．（本小题满分15分） 为了普及传染病防治知识，增强学生的健康意识和疾病防犯意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分分），竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其它学生不得奖．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如右图所示的频率分布直方图． （1）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生恰有一名学生获奖的概率． （2）若该校所有参赛学生的成绩近似地服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①若该校共有名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中超过分的学生人数（结果四舍五入到整数）； ②若从所有参赛学生中（参赛学生人数大于）随机抽取名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在分以上的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 18．（本小题满分17分） 设函数． （1）若，求在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若，求证：在时，． 19．（本小题满分17分） 已知一个袋子中有个红球，个黑球，，这些球除颜色外完全相同． （1）当，时，甲乙进行摸球比赛，按先甲后乙依次轮流摸球．某人摸球时从袋子中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，摸到红球得一分，否则对方得一分（记为一次摸球），规定当一方比另外一方多2分时胜出，比赛结束． ①求第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率； ②若规定甲乙摸球次数的总和达到（，，且为常数）时也停止比赛，设随机变量为比赛结束时的摸球次数，求随机变量的数学期望． （2）将口袋中的球随机逐个取出，并放入编号为的盒子中，其中第次取出的球放入编号为的盒子，随机变量表示最后一个取出的黑球所在的编号的倒数，是的数学期望，求证：当时，． 辽宁鸿飞 高二数学试卷 第 1 页（共 4 页） 高二数学试卷 第 1 页（共 4 页） 辽宁鸿飞 学科网（北京）股份有限公司 $$