辽宁省普通高中2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学模拟试题（2）

绝密★启用前 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期7月期末调研试题（2） 高二数学 命题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 朱勃宇 审题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 刘思瑞 命题范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、数列、计数原理与概率统计 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，，则 A． B． C． D． 2．已知，为实数，则“，”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．设，，则 A． B． C． D． 4．若函数有3个零点，则实数m的取值范围是 A． B． C． D． 5．设函数在上存在导数，对于任意的实数x，有，当时，，若，则实数m的取值范围是 A．[1,2) B． C．[,2) D． 6．已知正项等比数列中，，数列满足，则使得不等式成立的的最小值为 A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 7．某寝室的5位同学每人写一张祝福卡片放在一起，打乱后每人从中随机抽取一张卡片，已知有同学拿到自己写的祝福卡，则至多有2位同学摸到自己写的祝福卡片的概率为 A． B． C． D． 8．已知方程和的解分别是和，则函数的单调递减区间是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是 A．若数列为等差数列，则恒成立 B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列 C．若数列为等比数列，且，，则 D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列 10．有两个书架，第一个书架上有4本语文书，6本数学书，第二个书架上有6本语文书，4本数学书．先从第一个书架上随机取出一本书放到第二个书架上，分别以和表示从第一个书架上取出的书是语文书和数学书的事件；再从第二个书架上随机取出一本书，以表示第二个书架上取出的书是语文书的事件，则 A．事件与事件相互独立 B． C． D． 11．已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是 A．当时，若，则m的取值范围为 B．若是的一条切线，则实数的值有且只有1个 C．当时，的图象关于点对称 D．当时，有3个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。双空题第一个空2分，第二个空3分。 12．曲线在点处的切线方程为 ． 13．已知函数，求使成立的实数t的取值范围是 ． 14．将一枚质地均匀的骰子连续投掷3次，若每一次投掷时出现“1点”或“2点”正面朝上，则称该次实验成功，3次投掷中成功次数记为，则 ；记第次正面朝上的点数为，发生“”的事件为A，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知为等差数列的前n项和，，． （1）求的通项公式； （2）若，的前n项和为，证明：． 16．（本小题满分15分） 随机询问80名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果： 职业 买食品时是否看营养说明 合计 不看营养说明 看营养说明 从事与医疗相关行业 12 28 40 从事与医疗无关行业 18 22 40 合计 30 50 80 （1）从这80名受访者中随机抽出1人，已知此人在购买食品时要看营养说明，求这名受访者从事与医疗无关行业的概率； （2）依据小概率的独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？ 附：参考公式： 独立性检验中常用小概率值和相应临界值： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．（本小题满分15分） 记数列的前项和为. （1）设，若，求的通项公式； （2）记，设，求. 18．（本小题满分17分） 甲每次掷骰子，若点数不超过三点，则加1分，若点数超过三点，则减1分.已知甲的初始积分为0分.记甲重复掷骰子次后的得分为. （1）若，求. （2）证明：若为偶数，，则越大，越小. （3）求，. 19．（本小题满分17分） 已知a为常数，函数. （1）当时，求的图象在处切线方程； （2）讨论函数的零点个数； （3）若函数有两个极值点，（），求证. 辽宁鸿飞 高二数学试卷 第 1 页（共 4 页） 高二数学试卷 第 1 页（共 4 页） 辽宁鸿飞 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期7月期末调研试题（2） 高二数学 命题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 朱勃宇 审题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 刘思瑞 命题范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、数列、计数原理与概率统计 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，，则 A． B． C． D． 2．已知，为实数，则“，”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．设，，则 A． B． C． D． 4．若函数有3个零点，则实数m的取值范围是 A． B． C． D． 5．设函数在上存在导数，对于任意的实数x，有，当时，，若，则实数m的取值范围是 A．[1,2) B． C．[,2) D． 6．已知正项等比数列中，，数列满足，则使得不等式成立的的最小值为 A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 7．某寝室的5位同学每人写一张祝福卡片放在一起，打乱后每人从中随机抽取一张卡片，已知有同学拿到自己写的祝福卡，则至多有2位同学摸到自己写的祝福卡片的概率为 A． B． C． D． 8．已知方程和的解分别是和，则函数的单调递减区间是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是 A．若数列为等差数列，则恒成立 B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列 C．若数列为等比数列，且，，则 D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列 10．有两个书架，第一个书架上有4本语文书，6本数学书，第二个书架上有6本语文书，4本数学书．先从第一个书架上随机取出一本书放到第二个书架上，分别以和表示从第一个书架上取出的书是语文书和数学书的事件；再从第二个书架上随机取出一本书，以表示第二个书架上取出的书是语文书的事件，则 A．事件与事件相互独立 B． C． D． 11．已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是 A．当时，若，则m的取值范围为 B．若是的一条切线，则实数的值有且只有1个 C．当时，的图象关于点对称 D．当时，有3个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。双空题第一个空2分，第二个空3分。 12．曲线在点处的切线方程为 ． 13．已知函数，求使成立的实数t的取值范围是 ． 14．将一枚质地均匀的骰子连续投掷3次，若每一次投掷时出现“1点”或“2点”正面朝上，则称该次实验成功，3次投掷中成功次数记为，则 ；记第次正面朝上的点数为，发生“”的事件为A，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知为等差数列的前n项和，，． （1）求的通项公式； （2）若，的前n项和为，证明：． 16．（本小题满分15分） 随机询问80名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果： 职业 买食品时是否看营养说明 合计 不看营养说明 看营养说明 从事与医疗相关行业 12 28 40 从事与医疗无关行业 18 22 40 合计 30 50 80 （1）从这80名受访者中随机抽出1人，已知此人在购买食品时要看营养说明，求这名受访者从事与医疗无关行业的概率； （2）依据小概率的独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？ 附：参考公式： 独立性检验中常用小概率值和相应临界值： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．（本小题满分15分） 记数列的前项和为. （1）设，若，求的通项公式； （2）记，设，求. 18．（本小题满分17分） 甲每次掷骰子，若点数不超过三点，则加1分，若点数超过三点，则减1分.已知甲的初始积分为0分.记甲重复掷骰子次后的得分为. （1）若，求. （2）证明：若为偶数，，则越大，越小. （3）求，. 19．（本小题满分17分） 已知a为常数，函数. （1）当时，求的图象在处切线方程； （2）讨论函数的零点个数； （3）若函数有两个极值点，（），求证. 答案第1页，共2页 高二数学试卷 第 5 页（共 4 页） 辽宁鸿飞 高二数学试卷 第 6 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$高二数学答题卡 第 1页（共 6页） 高二数学答题卡 第 2页（共 6页） 高二数学答题卡 第 3页（共 6页） 辽宁省普通高中 2024-2025学年下学期 7月期末调研试题（2） 高二数学答题卡 姓 名 准考证号 填 涂 要 求 正确填涂 错误填涂示例 缺考考生由监考 员用 2B 铅笔填 涂右侧缺考标记 缺考标记 注 意 事 项 1.首先，检查题卡有无破损及印刷问题，若有问题请及时更换。用 0.5mm黑色字迹签字笔在 规定位置填写姓名、准考证号。核对条形码上姓名、准考证号是否正确，并贴好条形码。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5mm黑色字迹签字笔作答，字体工整、 笔迹清楚。 3.选择题修改时请用橡皮擦净后再作答；非选择题在对应题号答题区内作答，超出答题区域 的答案无效；选择题和非选择题在试卷、草稿纸上作答无效。 4.保持卡面清洁，不可折叠、污损。题卡上禁用涂改液、修正带和胶带纸。 第一部分 选择题（共 58分） （须用 2B铅笔填涂） 第二部分 非选择题（共 92分） （须用 0.5mm黑色字迹签字笔书写） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 条 形 码 粘 贴 处 三、填空题：每小题 5分，共 15分．双空题第一个空 2分，第二个空 3分。 12． ． 13． ． 14． ； ． 四、解答题（共 77分） 15．（本小题满分 13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 （续 15题） 16．（本小题满分 15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 17．（本小题满分 15分） ·监制 1． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 高二数学答题卡 第 4页（共 6页） 高二数学答题卡 第 5页（共 6页） 高二数学答题卡 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 （续 17题） 18．（本小题满分 17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 （续 18题） 19．（本小题满分 17分） （续 19题） ·监制 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期7月期末调研试题（2） 高二数学 参考答案与解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A D C B B A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 BD BCD ACD 1．D 【分析】根据集合并集和补集的概念及运算，即可求解. 【详解】由题意，集合，，可得， 又由，所以. 故选：D 2．A 【分析】根据对数的性质和充分必要条件的定义求解. 【详解】根据对数运算性质知，当，时，成立； 对于，有，或，， 故“，”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．D 【分析】由对数函数性质得，从而，由对数换底公式和对数运算法则计算得，再由不等式性质可得结论． 【详解】因为，，所以，所以， ，即，所以. 故选：D． 4．C 【分析】分析可知，函数在上有一个零点，在上有两个零点，求出这三个零点，根据题意可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围. 【详解】当时，函数单调递增，则函数在上至多一个零点， 当时，函数至多两个零点， 因为函数有三个零点，则函数在上有一个零点，在上有两个零点， 当时，令，可得，必有，解得， 所以，，解得； 当时，由，可得或， 所以，，解得. 综上所述，实数m的取值范围为. 故选：C. 5．B 【分析】根据，构造函数，结合可判断为奇函数，且为R上的递增函数，分情况对处理，即可求解. 【详解】因为，所以，令， 所以， 因为，所以，所以为奇函数； ，当时，单调递减，因此在R上单调递减； 当，即时，；则： 所以：， 即，所以， 由于递减，所以，解之得；所以AC错误； 当，即时，， 同理可得：， 所以，解之得：； 综上，， 故选：B 6．B 【分析】确定，得到，，，再利用裂项相消法计算得到答案. 【详解】由题可得， 所以， 设的公比为，，则，得，所以． 则，所以， 所以， 由，得． 故选：B． 7．A 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理，结合组合计数问题求出试验及所求概率的事件的基本事件数，进而求出概率. 【详解】恰1位同学摸到自己写的祝福卡片，有种； 恰2位同学摸到自己写的祝福卡片，有种； 恰3位同学摸到自己写的祝福卡片，有种； 不可能只有4位同学摸到自己写的祝福卡片， 恰有5位同学摸到自己写的祝福卡片，有1种， 所以至多有2位同学摸到自己写的祝福卡片的概率. 故选：A 8．A 【分析】根据给定条件，利用互为反函数的函数图象特征求出即可作答. 【详解】方程和依次化为：和， 因此和分别是直线与曲线和的交点横坐标， 而函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称， 又直线垂直于直线，因此直线与曲线和的交点关于直线对称， 于是，函数， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 9．BD 【分析】根据等差数列的性质判定AB选项，根据等比数列的性质判定CD选项. 【详解】若数列为等差数列，不妨设其公差为d,则, 显然当才相等，故A错误， 而，作差可得成立，故B正确； 若数列为等比数列，且，，设其公比为q， 则，作商可得或所以 或，故C错误； 由题意得各项均不为0，而实数范围内，， 即且，结合选项B的计算可得，故D正确. 故选：BD. 10．BCD 【分析】对选项A：根据事件的独立性概念判断即可；对B，根据条件概率公式求解即可；对C，根据全概率公式求解即可；对D，根据条件概率公式求解即可. 【详解】对选项A：发生时B发生的概率是，不发生时B发生的概率是，由事件的独立性概念知，事件与事件B不相互独立，A错误； 对选项B：，B正确； 对选项C：，C正确； 对选项D：，D正确； 故选：BCD． 11．ACD 【分析】对于选项A，首先求出时的函数解析式和导数，进而求解不等式成立时的的取值范围；对于选项B，对原函数求导，令其等于斜率2，得到方程，然后判断方程的解的个数，进而求得的个数；对于选项C，根据函数的对称性质，求解是否等于-2进而判断选项C的正确性；对于选项D，对原函数求导，判断函数的单调性，结合极大值极小值等特殊值的正负号来判断函数的零点个数. 【详解】对于选项A：当时，，求导得. 由，可得，即， 要使得不等式恒成立，则，解得，故A正确； 对于选项B：对函数求导得，因为是的一条切线， 所以方程有解，又因为， 所以方程有两个不相等的实根，此时满足条件的的值有无数个.B错误； 对于选项C：当时，，此时 ， 所以当时，的图象关于点对称，故C正确； 对于选项D：对函数求导为. 当时，由，得或，此时单调递增； 由，得，此时单调递减， 所以，， 因为当时，，所以单调递减，即， 又，，所以有3个零点，故D正确. 故选： ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。双空题第一个空2分，第二个空3分。 12． 【分析】由导数的几何意义即可求解切线斜率，从而求解切线方程. 【详解】由得， 所以， 所以在点处的切线方程为， 即 故答案为：. 13． 【分析】利用函数单调性和奇偶性得到不等式，解出即可. 【详解】由题意得的定义域为，其定义域关于原点对称， ，故函数为奇函数， 当时，， 则当时，单调递增，因为为奇函数，则在上单调递增， ，即， 即，则，则. 故答案为：. 14． 【分析】由题设易知3次投掷中成功次数服从，根据二项分布的期望公式即可求，发生“”的事件下，讨论为1到6时对应、的值的可能情况数加总，除以任意3次投掷的可能情况总数，即为所求事件A的概率. 【详解】由题意知：3次投掷中成功次数，且每次成功的概率为， ∴服从分布，则. 当时，；共有. 当时，，则可能有；，则可能有；共有. 当时，，则可能有；，则可能有；，则可能有；共有. … 由上可知：当时，共有. ∴发生“”的事件为A的可能情况共有种，而所有可能情况有种， ∴. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：分析判断所服从二项分布，应用二项分布期望公式求期望，根据发生“”的事件，讨论不同值下所有可能情况，再应用古典概型的概率求法求概率. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） （1）； （2）详见解析. 【分析】（1）设数列的公差为，将已知条件转化为关系，即可求解； （2）根据通项公式，用裂项相消法求出和，即可证明结论. 【详解】（1）由设数列的公差为，则 解得，， 所以是首项为3，公差为2的等差数列， 所以； （2）由，可得， 所以 , 又，故. 16．（本小题满分15分） （1） （2）无差异 【分析】（1）根据条件概率及古典概型计算即可； （2）代入公式计算的值，结合临界值判断即可. 【详解】（1）用A表示事件“受访者在购买食品是要看营养说明”， B表示事件“受访者从事医疗无关行业”，“已知此人在购买食品时要看营养说明， 求这名受访者从事与医疗无关行业”的概率就是在“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为， ，，所以； （2）零假设为：职业与看营养说明相互独立，即两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异， 根据表中数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以可以认为成立， 即认为两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异. 17．（本小题满分15分） （1） （2） 【分析】（1）由，的关系即可求解， （2）通过求导确定通项公式，再由错位相减法、等比数列求和公式即可求解； 【详解】（1）当时， ，整理得，当时，有. 数列是以为公比，以为首项的等比数列， 所以． （2）当时， ， 所以， 所以， 令，其前项和为， ∴① ∴② 得： . ∴. 令，其前项和易知为：， 所以 18．（本小题满分17分） （1） （2），证明见解析 （3）， 【分析】（1）求得每次抛掷骰子加1分的概率为，减1分的概率为，若，则4次抛掷骰子应有2次加1分，2次减1分，利用二项分布概率公式可求解； （2）利用二项分布求得，利用作商法可得可得结论； （3）每一次掷骰子的得分，，，求得，，进而计算可求得，. 【详解】（1）因为每次抛掷骰子有6种结果，点数不超过三点有3种结果，故每次抛掷骰子加1分的概率为， 出现点数超过三点有3种结果，故故每次抛掷骰子减1分的概率为， 若，则4次抛掷骰子应有2次加1分，2次减1分， 故； （2）若为偶数，，则有次加1分，有次减1分， 故， 又， 所以则越大，越小. （3）每一次掷骰子的得分，，， ，， 又，所以， 又， ， 因为是独立的，故. 19．（本小题满分17分） （1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，从而得到切线的斜率，故可得切线方程； （2），，则函数的零点个数等价于零点的个数，利用导数讨论的单调性并结合零点存在定理可判断零点的个数. （3）求出的导数，利用零点存在定理可得，从而可证. 【详解】（1）当时，，故， 而，故， 故的图象在处切线方程为即. （2）的定义域为， 的零点等价于的解即的解， 令，，故， 当时，，故在上为增函数， 而，， 故在上有且只有一个实数解，即有且只有一个零点， 当时，当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故， 若即，此时，故无零点，故无零点. 若即，此时， 故有且只有一个零点，故有且只有一个零点. 若即，此时. 而，故在有且只有一个零点； 又， 设，则，故在上为减函数， 故， 因为，故，而， 故在有且只有一个零点； 故此时有且只有两个不同的零点即有且只有两个不同的零点. 综上，当时，无零点； 当或时，有且只有一个零点； 当时，有且只有两个不同的零点. （3）的定义域为，而， 由题设可得有两个变号零点， 设，故在上有两个变号零点， 而， 若，则在上为增函数，在上至多一个零点，舍； 若， 当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故， 所以即，而，且，故. 又，而， 故， 因为，故，故， 要证：，即证， 即证：在上恒成立. 设，则， 故在上为减函数，故即成立. 综上，. 【点睛】关键点点睛：函数零点个数的判断，需利用导数讨论其单调性，再结合零点存在定理判断个数，后者需注意特殊点的选取，一方面要满足特殊点与极值点的大小，而且函数值要容易计算，必要时利用导数判断符号. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$