精品解析：山东省烟台市海阳市2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

山东省烟台市海阳市2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 6．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）．下列每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 2025年是农历乙巳蛇年，下列对2025的说法正确的是（ ） A. 2025的相反数是2025 B. 2025的绝对值是2025 C. 2025的倒数是2025 D. 2025的平方根是2025 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查相反数、绝对值、倒数及平方根的概念，需根据相反数、绝对值、倒数及平方根的概念逐一判断各选项，即可作答． 【分析】解：A、2025的相反数是，故A选项不符合题意； B、2025的绝对值为2025，故B选项符合题意； C、2025的倒数为，故C选项不符合题意； D、2025的平方根为（因），故D选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的合并同类项及同底数幂的乘除法，熟练掌握整式的合并同类项及同底数幂的乘除法是解题的关键．根据整式的合并同类项及同底数幂的乘除法法则逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，所以选项A错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，所以选项B错误，不符合题意； C、，所以选项C正确，符合题意； D、，所以选项D错误，不符合题意． 故选：C． 3. 我国古代数学研究成果辉煌，产生了诸多趣味名词，如“刍童”，它指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面看到的图形进行作答即可． 【详解】解：依题意，的俯视图是， 故选：C． 4. 一个木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，若斜面的坡角，则摩擦力与重力的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．根据平行的性质得到，根据三角形内角和定理求出，根据平行的性质即可得到答案． 【详解】解：支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行， ， 重力的方向竖直向下， ， ， 摩擦力的方向与斜面平行， ， ， 故选A． 5. 如图是根据南街米粉店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（　　） A. 平均数是6 B. 众数是7 C. 中位数是11 D. 方差是8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目要求算出平均数、众数、中位数、方差，再作出选择即可． 【详解】解：A、平均数为，故选项错误，不符合题意； B、众数为5、7、11、3、9，故选项错误，不符合题意； C、从小到大排列为3，5，7，9，11，中位数是7，故选项错误，不符合题意； D、方差，故选项正确，符合题意； 故选∶D． 【点睛】本题考查平均数、众数、中位数、方差的算法，熟练掌握平均数、众数、中位数、方差的算法是解题的关键． 6. 如图①，工人师傅在地面上喷绘了一个不规则图案（图中画图部分），小颖想计算该图案的面积，她采取以下方法：用一个长，宽的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机向该矩形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界限上或矩形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成如图②所示的折线统计图，由此可估计此不规则图案的面积约为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何概率，涉及频率估计概率、折线图等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．设不规则图案的面积大约为x，先计算长方形的面积，继而解得小球落在不规则图形的概率为，由折线图，得到小球落在不规则图形的概率为，据此解题． 【详解】解：设不规则图案的面积大约为x，则由题意得， 矩形的面积为 由几何概率公式得小球落在不规则图形的概率为， 当事件次数足够多即样本足够大时，其频率可作为概率估计值，则有折线图可知，小球落在不规则图形的概率为，即， ， 则此不规则图案的面积约为． 故选：B． 7. 如图是一个由4张直角三角形纸片和1张正方形纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间无缝隙且不重叠，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，则这个平行四边形的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出，，之间的关系，属于中考常考题型． 设等腰直角三角形的直角边为，正方形边长为，求出用、表示，得出，，之间的关系，由此即可解决问题． 【详解】解：设等腰直角三角形的直角边为，正方形边长为， 则， ， ， 平行四边形面积． 故选：B． 8. 如图，在正五边形中，以点为圆心，以的长为半径画弧，分别交，的延长线于点，，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形，三角形的内角和定理，等腰三角形，解题的关键是正确作出辅助线． 由正多边形的内角和公式可得正五边形的内角，综合应用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，可得和，相加即可． 【详解】解：由作图过程可知，， ∵五边形是正五边形， ∴，，， 连接，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点和点在 边上，且，连接轴，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】依次可证明和为等腰直角三角形，再依据勾股定理求得的长度，即可得出D点坐标，从而求得k的值． 【详解】解：∵点，，x轴 轴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 为矩形， ∴， ∵ 轴， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴ ，解得， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，求反比例函数解析式，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 10. 定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则，按此规律继续计算，则第2025次“”运算的结果是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握“给什么用什么”是“新定义”解题的基本思路． 计算出时第1，2，3，4，5，6，7次运算的结果，通过计算从第5次开始，结果就只有1和4两个数循环出现，进而观察规律即可得结论． 【详解】解：当， 第1次“”运算的结果是： ， 第2次“”运算的结果是： ， 第3次“”运算的结果是： ， 第4次“”运算的结果是：， 第5次“”运算的结果是，， 第6次“”运算的结果是，， 第7次“”运算的结果是，， … 以此类推可知，从第5次“”运算开始，每两次“”运算为一个循环，运算的结果为1、4依次出现，且当次数为偶数时，结果是4，次数为奇数时，结果是1， ∴第2025次“”运算的结果是1， 故选：A． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下： 则计算结果是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查利用计算器计算三角函数的幂运算，需要根据按键顺序确定计算式子，再通过计算器得出结果．用到的知识点是三角函数的计算以及幂运算的表示． 从按键顺序＂＂可以看出，所输入的算式为，求解即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 12. 据某数据分析平台显示，DeepSeek App自2025年1月15日上线至2月9日，累计下载量超1.1亿次．将1.1亿用科学记数法表示应为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于10时，n是负数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：1.1亿， 故答案为：． 13. 若是关于的方程的两实数根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分式的求值，完全平方公式的变形应用，熟练掌握的两根满足是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数关系得到，，然后将变形后整体代入求解即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中 开门, 出北门一百步立一表, 出西门二百二十五步适可见之, 问邑方几何? ” 它的意思是：如图、分别是正方形 的边 的中点, 过点 , 且 步, 步, 那么该正方形城邑边长 约为________步． 【答案】300 【解析】 【分析】设AD=2x，则由M、N分别是AD、AB的中点可得AM=AN=x，由两个垂直条件及正方形的性质，易得△EAM∽△AFN，由相似三角形的性质即可求得x的值，从而可得AD的值． 【详解】设AD=2x ∵四边形ABCD是正方形 ∴AD=AB，AD⊥AB ∵M、N分别是AD、AB的中点 ∴AM=AD=x，AN=AB=x ∴AM=AN=x ∵NF⊥AB，AD⊥AB ∴NF∥AD ∴∠EAM=∠AFN ∵EM⊥AD，NF⊥AB ∴∠EMA=∠FNA=90゜ ∴△EAM∽△AFN ∴ 即AM×AN=EM×NF ∴ ∴x=150 ∴AD的长为2×150=300（步） 故答案为：300 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，关键是相似三角形的判定与性质的运用． 15. 二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 2 … 且当时，对应的函数值．则以下结论：①；②和2是关于的方程的两个根；③；④．其中正确结论的序号为______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴．当时，，当时，，即可判断①；直线是对称轴，时，则时，，故和3是关于的方程的两个根，即可判断②；由，可知，由时，，即可判断③；判断出抛物线开口向下，然后由，，求解即可． 【详解】解：由表格得，当时，， 当时，， ，， ，故①正确； ∴直线是对称轴， ∵时，则时，， 和2是关于的方程的两个根，故②正确； ， ， 时，， 则， ， ，故③正确； ∵对称轴是直线，当时，对应的函数值，当时， ∴抛物线开口向下 ∵，， ∵当时，；当时，； ∴，故④错误； 故答案为：①②③． 16. 如图，在矩形中，，现有一点在直线的左侧，且，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，取中点E，中点F，连接，在线段上取点O使，连接，，，以点O为圆心，为半径画弧，首先求出，得到，然后得到点P在以为半径的圆上运动，如图所示，连接，，得到，当点B，P，O三点共线时，有最大值，即的长度，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，取中点E，中点F，连接，在线段上取点O使，连接，，，以点O为圆心，为半径画弧， ∵在矩形中，，点E是中点 ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴，即 ∵ ∴ ∴ ∴点P在以为半径的圆上运动，如图所示，连接，， ∴ ∴如图所示，当点B，P，O三点共线时，有最大值，即的长度 根据题意得，四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴线段的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，求圆外一点到圆上一点最值问题，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，其中卷面5分） 17. 先化简，再求值：，其中为64的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及完全平方公式、分式的运算以及平方根的概念，解题的关键是熟练运用分式的运算法则进行化简，再代入求值． 先对原式中的括号内式子进行通分运算，再将除法转化为乘法进行约分化简，然后根据x是64的平方根确定x的值，最后代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ． 由题意，得， 当时，分式分母为0，分式无意义，舍去， ， 原式． 18. 高效素养课堂强调以学生为中心，实现知识传授与能力提升有机统一．为了解某校高效素养课堂建设情况，该校实践小组在全校范围内随机抽取部分学生进行了问卷调查，问卷共设五个选项：A—上课学习效率明显提升；B—上课学习效率无明显提升；C—自主学习能力明显提升；D—自主学习能力无明显提升；E—没有关注．已知参加调查的学生中，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）本次接受调查的学生共有 人， ， ； （2）补全条形统计图； （3）该校计划面向家委会成员举行“课堂教学开放日”活动，活动备选班级共4个，分别为8.1班、8.2班、9.3班、9.4班．由于报名人数较多，学校计划分两天进行，第一天先从这4个班级中任选一个展示课堂教学，第二天再从剩下的班级中任选一个展示．请用表格或树状图求两次选中的班级既有八年级又有九年级的概率． 【答案】（1）200，144，20 （2） 补全条形统计图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，同时要能用树状图或者表格求概率． （1）由A、B、C、E的人数除以所占百分比得出本次接受调查的学生人数，即可解决问题； （2）求出D的人数，即可解决问题； （3）先画树状图或者列表得出所有等可能的结果数以及两次选中的班级既有八年级又有九年级的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次接受调查的学生共有（人）， ，， ∴，， 故答案为：200，144，20； 【小问2详解】 D的人数为：（人）， 【小问3详解】 将8.1班、8.2班、9.3班、9.4班分别用A、B、C、D表示， 画树状图如下： 由树状图可知：共有12种等可能的结果，其中两次选中的班级既有八年级又有九年级的结果有8种， ∴两次选中的班级既有八年级又有九年级的概率是． 19. 乡村全面振兴背景下，大学生小张毕业返乡创办了樱桃合作社．现合作社需购买甲、乙两种肥料，已知甲种肥料每袋比乙种贵100元，且用15000元购得乙种肥料的数量，恰为10000元购得甲种肥料数量的2倍． （1）求甲、乙两种肥料每袋的价格； （2）若两种肥料共需40袋且总费用不超过13500元，则甲种肥料最多可购买多少袋？ 【答案】（1）甲种肥料每袋400元，乙种肥料每袋300元 （2）甲种肥料最多可购买15袋 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每袋乙种肥料的价格是元，则每袋甲种肥料的价格是元，由题意可得，即可求出每袋甲种肥料的价格； （2）设购买袋甲种肥料，则购买袋乙种肥料，利用总价单价数量，结合总价不超过13500元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设乙种肥料每袋元，则甲种肥料每袋元，根据题意，得 解这个方程，得， 经检验，是所列方程的根， （元）， 所以，甲种肥料每袋400元，乙种肥料每袋300元； 【小问2详解】 解：设购买甲种肥料袋，则购买乙种肥料（）袋，由题意，得 解得． 即甲种肥料最多可购买15袋． 20. 如图，直线与轴，轴分别交于点，反比例函数的图象经过的顶点． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知动点从点到点，同时，动点从点到点，两点均以每秒1个单位的速度运动，任一点到达终点，另一点即停止．求在此过程中，面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数表达式的求解、平行四边形的性质、动点问题中三角形面积最大值的计算，解题的关键是利用平行四边形对边平行且相等的性质确定点的坐标，以及通过建立二次函数模型求面积的最大值。 （1）在中，令，则，得到点的坐标为，再根据平行四边形的性质得到,点的坐标为（6，4），代入反比例函数表达式求出，从而求解； （2）如图，过点作，垂足为点,设动点的运动时间为秒，则，用其表示出三角形的底和高，从而得到面积关于时间的函数关系式，通过求函数的最值来解决问题。 【小问1详解】 解：在中，令，则． 点的坐标为， 四边形ABCD为平行四边形， ．则点的坐标为（6，4）， 将代入，得． 即反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为点, 在中，令，则．则点A的坐标为． ， 在Rt中，可得． 设动点的运动时间为秒，则， ， ， ， ．即． ． ． 面积的最大值为． 21. 根据以下材料，完成问题解决． 利用光的反射定律测量建筑物的高度 背景 如图，当光线入射到平面镜表面时，反射角等于入射角，这是光的反射定律．该定律作为光学领域基础理论，在生活中有着广泛应用．某校实践小组利用此定律及相关数学知识，巧妙测量建筑物的高度，将抽象的理论转化为解决生活问题的有效工具． 工具 激光发射器、平面镜、皮尺、测角仪 步骤 如图，实践小组操作如下： （1）在地面某处放置一个激光发射器，在山坡的中点处放一面镜子； （2）从激光发射器向处发射一束激光，使得反射光线照射到建筑物的顶端处，记此时激光发射器的位置为点； （3）测量山坡底部点到点的距离、光线与地面的夹角． 数据 已知数据：山坡的坡度，山坡上面的平地，米； 测量数据：米，； 参考数据：，，． 问题解决 问题一 求从点观测点的仰角． 问题二 求建筑物的高度． 【答案】问题一：； 问题二：教学楼的高度为米． 【解析】 【分析】问题一、根据坡度为，可知，根据入射角等于反射角可得：，从而可以求出从点观测点的仰角为； 问题二、过点作于点，过点作于点，延长交于点，根据问题一可知是等腰直角三角形，根据的正切求出米，利用可证，根据全等三角形的性质可得：米，根据矩形的性质可以求出米，米，再利用的正切求出的长度即可． 【详解】问题一、解：如下图所示，过点作， 则有， 坡度，即， ， ， ， ， 入射角等于反射角， ， ， 从点观测点的仰角为； 问题二、解：如下图所示，过点作于点，过点作于点，延长交于点， 在中，， 在中，， 解得：（米）， 点是的中点， ， 又，， 在和中，， ， （米）， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形为矩形， （米），（米）， 在中，， ， 解得：（米）， 教学楼的高度为米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，解决本题的关键是根据坡度判断是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质计算出边的长度． 22. 如图，在中，，以为直径作，与边交于点，过点的的切线交的延长线于点． （1）根据题意，在图中作出点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，求的长． 【答案】（1） 如图，由题意，点即为所求． （2）8 【解析】 【分析】本题考查了作垂线、圆的切线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握圆的切线的性质和解直角三角形的方法是解题关键． （1）先连接，再过点作的垂线，交的延长线于点，由此即可得； （2）先证出，则可得，再根据圆的切线的性质可得，解直角三角形可得，然后在中，利用勾股定理可得，由此即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ． ∵， ． 为的切线， ． ∵， ∴． 解得． ． ． 23. 已知均为等腰直角三角形，． 【观察发现】 （1）如图①，点分别在线段上，请直接写出与的数量关系； 【类比探究】 （2）如图②，将绕点顺时针旋转，连接，且与所在的直线交于点．（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，在旋转的过程中，当直线时，求线段的长． 【答案】（1）； （2）成立， 理由如下：∵，均为等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． （3）或 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，即可求解． （2）通过证明，可得可得． （3）分两种情况讨论：当点在点右侧时；当点在点左侧时．设与直线的交点为，由等腰直角三角形的性质可求，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：． 理由如下：∵，均为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴ ． （2）略 (3)当点在点右侧时，如图，设与直线的交点为， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在点左侧时，如图，设与直线的交点为， 同理可求，， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 24. 已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线为抛物线的对称轴． （1）求抛物线的表达式； （2）如图①，点是直线上的一个动点，当的周长最小时，求的值； （3）如图②，点坐标为，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的横坐标为2或3或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到A、B关于对称轴对称，则，得到当P、B、C三点共线时，，进而求出P点坐标，即可得解； （3）求出D点坐标为，进而得到，得到，分点Q在D点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，得 ， 解得， 表达式为． 【小问2详解】 由（1）知，点的坐标为，直线的表达式为． 则直线与轴的交点的坐标为． ． 如图，当三点共线时，的周长最小，且． 轴， ． 【小问3详解】 存在．理由如下： 由点得，． 在Rt中，． ， ． 如图，当轴时，满足， 点的纵坐标为-2． 解 得． 当DQ与轴不平行时，设直线DQ与轴交于点． ， ． 在Rt中，．而． 解 得． 设直线DE的表达式，将代入， 得． 将代入，， 得 即直线DE的表达式． 令， 解得． 综上，点的横坐标为2或3或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，利用数形结合、分类讨论的思想进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省烟台市海阳市2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 6．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）．下列每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 2025年是农历乙巳蛇年，下列对2025的说法正确的是（ ） A. 2025的相反数是2025 B. 2025的绝对值是2025 C. 2025的倒数是2025 D. 2025的平方根是2025 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国古代数学研究成果辉煌，产生了诸多趣味名词，如“刍童”，它指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 一个木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，若斜面的坡角，则摩擦力与重力的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是根据南街米粉店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（　　） A. 平均数是6 B. 众数是7 C. 中位数是11 D. 方差是8 6. 如图①，工人师傅在地面上喷绘了一个不规则图案（图中画图部分），小颖想计算该图案的面积，她采取以下方法：用一个长，宽的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机向该矩形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界限上或矩形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成如图②所示的折线统计图，由此可估计此不规则图案的面积约为（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图是一个由4张直角三角形纸片和1张正方形纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间无缝隙且不重叠，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，则这个平行四边形的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，在正五边形中，以点为圆心，以的长为半径画弧，分别交，的延长线于点，，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点和点在 边上，且，连接轴，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 4 10. 定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则，按此规律继续计算，则第2025次“”运算的结果是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下： 则计算结果是_____． 12. 据某数据分析平台显示，DeepSeek App自2025年1月15日上线至2月9日，累计下载量超1.1亿次．将1.1亿用科学记数法表示应为_____． 13. 若是关于的方程的两实数根，则的值为_____． 14. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中 开门, 出北门一百步立一表, 出西门二百二十五步适可见之, 问邑方几何? ” 它的意思是：如图、分别是正方形 的边 的中点, 过点 , 且 步, 步, 那么该正方形城邑边长 约为________步． 15. 二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 2 … 且当时，对应的函数值．则以下结论：①；②和2是关于的方程的两个根；③；④．其中正确结论的序号为______． 16. 如图，在矩形中，，现有一点在直线的左侧，且，则线段的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，其中卷面5分） 17. 先化简，再求值：，其中为64的平方根． 18. 高效素养课堂强调以学生为中心，实现知识传授与能力提升有机统一．为了解某校高效素养课堂建设情况，该校实践小组在全校范围内随机抽取部分学生进行了问卷调查，问卷共设五个选项：A—上课学习效率明显提升；B—上课学习效率无明显提升；C—自主学习能力明显提升；D—自主学习能力无明显提升；E—没有关注．已知参加调查的学生中，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）本次接受调查的学生共有 人， ， ； （2）补全条形统计图； （3）该校计划面向家委会成员举行“课堂教学开放日”活动，活动备选班级共4个，分别为8.1班、8.2班、9.3班、9.4班．由于报名人数较多，学校计划分两天进行，第一天先从这4个班级中任选一个展示课堂教学，第二天再从剩下的班级中任选一个展示．请用表格或树状图求两次选中的班级既有八年级又有九年级的概率． 19. 乡村全面振兴背景下，大学生小张毕业返乡创办了樱桃合作社．现合作社需购买甲、乙两种肥料，已知甲种肥料每袋比乙种贵100元，且用15000元购得乙种肥料的数量，恰为10000元购得甲种肥料数量的2倍． （1）求甲、乙两种肥料每袋的价格； （2）若两种肥料共需40袋且总费用不超过13500元，则甲种肥料最多可购买多少袋？ 20. 如图，直线与轴，轴分别交于点，反比例函数的图象经过的顶点． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知动点从点到点，同时，动点从点到点，两点均以每秒1个单位的速度运动，任一点到达终点，另一点即停止．求在此过程中，面积的最大值． 21. 根据以下材料，完成问题解决． 利用光的反射定律测量建筑物的高度 背景 如图，当光线入射到平面镜表面时，反射角等于入射角，这是光的反射定律．该定律作为光学领域基础理论，在生活中有着广泛应用．某校实践小组利用此定律及相关数学知识，巧妙测量建筑物的高度，将抽象的理论转化为解决生活问题的有效工具． 工具 激光发射器、平面镜、皮尺、测角仪 步骤 如图，实践小组操作如下： （1）在地面某处放置一个激光发射器，在山坡的中点处放一面镜子； （2）从激光发射器向处发射一束激光，使得反射光线照射到建筑物的顶端处，记此时激光发射器的位置为点； （3）测量山坡底部点到点的距离、光线与地面的夹角． 数据 已知数据：山坡的坡度，山坡上面的平地，米； 测量数据：米，； 参考数据：，，． 问题解决 问题一 求从点观测点的仰角． 问题二 求建筑物的高度． 22. 如图，在中，，以为直径作，与边交于点，过点的的切线交的延长线于点． （1）根据题意，在图中作出点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，求的长． 23. 已知均为等腰直角三角形，． 【观察发现】 （1）如图①，点分别在线段上，请直接写出与的数量关系； 【类比探究】 （2）如图②，将绕点顺时针旋转，连接，且与所在的直线交于点．（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，在旋转的过程中，当直线时，求线段的长． 24. 已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线为抛物线的对称轴． （1）求抛物线的表达式； （2）如图①，点是直线上的一个动点，当的周长最小时，求的值； （3）如图②，点坐标为，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $