浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期数学周测试卷（2）

2024学年第二学期高三数学学科周测卷（2） 命题：李逸扬 审题：吴林 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．集合  2| 0 ,xA x B a x        ，若 B A ，则 a可能是 A． 1 2  B． 1 3 C．3 D． 1 3  2．在复平面内，复数Z绕原点逆时针旋转 π 2 得 3 i ，则复数 Z的虚部为 A． 3 B．1 C． 1 D． 3i 3．已知焦点在 x轴上的椭圆的离心率为 12 ，且它的长轴长等于 4，则椭圆的标准方程是 A． 2 2 1 4 3 x y   B． 2 2 1 16 12 x y   C． 2 2 1 4 x y  D． 2 2 1 16 4 x y   4．已知变量 x和 y的统计数据如下表. x 80 90 100 110 120 y 120 140 a 165 180 若 x， y线性相关，经验回归方程为 1.45 7ŷ x  ，则 a  A．155 B．158 C．160 D．162 5．已知 4sin 5sin 2 6 tan    ， π 02    ，则 cos2  A． 3 5 - B． 3 5 C． 7 25  D． 7 25 6．圆 2 2: ( 2) 9M x y   的圆心与抛物线  2: 2 0C y px p  的焦点重合， ,A B为两曲线的 交点，则 AB  A．4 B．8 C． 4 2 D． 4 10 7．已知   6 70 1 71 ( )x a x a a x a x      ，若 0 1 7 0a a a    ，则 3a  A． 5 B． 20 C．15 D．35 8.已知函数    ,f x g x 的定义域均为  R, 1f x  为奇函数，且        1 2, 3 2f x g x f x g x      ，则 A．  f x 不为偶函数 B．  g x 为奇函数 C．   20 1 40 k f k   D．   20 1 40 k g k   二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错得 0分. 9．工厂质检科从标准质量为500 g的一批奶粉中，随机抽查了 100袋，测得的质量数据如下 表（单位：g）： 质量 [485, 490) [490, 495) [495,500) [500,505) [505,510) [ ]510 515, 频数 11 25 28 20 12 4 A．这 100袋产品质量的中位数为 494 g B．这 100袋产品质量的极差介于 20 g到30 g之间 C．这 100袋产品质量的 75%分位数为 506g D．这 100袋产品质量的平均数大于495 g 10．已知任何大于 1的非质数总可以分解成素数乘积的形式，且如果不计分解式中素数的次 序，则这种分解式是唯一的．例如 324 3 2  ，其中素数 2和 3称为 24的素因数，且 24的 不同正因数个数为 (1 1) (3 1) 8    ．完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数， 它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，例如6 2 3 1 6    ，可 知 6的所有真因子为 1，2，3，且1 2 3 6   ，则 6为完全数，则 A．97200不同的正因数有 96个 B．97200的素因数为 2，3，5 C．在小于 30的非负偶数中随机选两个数，这两个数中至少有一个完全数的概率为 9 35 D．在小于 30的非负偶数中有 3个完全数 11．如图，曲线C是一条“双纽线”，其C上的点满足：到点  1 2,0F  与到点  2 2,0F 的距离 之积为 4，则下列结论正确的是 A．点  2 2,0D 在曲线C上 B．点   ,1 0M x x  在C上，则 1 2 2MF  C．点Q在椭圆 2 2 1 6 2 x y   上，若 1 2FQ FQ ，则Q C D．过 2F 作 x轴的垂线交C于 ,A B两点，则 2AB  三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12．已知  2 1 0, 0a b a b    ，则 2 2log loga b 的最大值为 ． 13．设实数 0k  ，对于任意的 1x  ，不等式 e lnkxk x 恒成立，则 k的最小值为 ． 14．已知空间单位向量 1e  ， 2e  ， 3e  ， 4  e ， 1 2 3 4 1 2 3 42 1                e e e e e e e e ，则 1 3   e e 的 最大值是 ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在△ ���中，角 , ,A B C 的对边分别为  2 2, , , 2 cos2a b c a c b a A b   . (1)求证： 2C A ； (2)若 4, 5a b  ，求△ ���的面积. 16．如图，三棱锥 A BCD 中， ,BD CD AB AD  ，且 AB AD ， 2, 1BD DC  . (1)当三棱锥 A BCD 的体积最大时，求其外接球的表面积； (2)设M 为 BC的中点，记平面 ABD与平面 AMD的夹角为，求 cos 的最小值. 17．悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立坐标系，悬 链线可表示为双曲余弦函数 e ech( ) 2 x x x   的图象.现定义双曲正弦函数 e es 2 )h( x x x   ，回答 以下问题： (1)对任意 0x  ，恒有 sh( )x ax 成立，求实数 a的取值范围； (2)求 2( ) ( )ch cosf x xx x   的最小值． 18．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的左，右焦点分别为 1F ， 2F ，短轴长为 2 3，离心率 为 1 2 . (1)求C的方程； (2)记C的左顶点为A，直线 l与C交于 P，Q两点，直线 AP，AQ的斜率之积为 1 4  . （i）证明：直线 l过定点； （ii）若 P在 x轴上方，直线 1PF与圆 2 2: ( 1) 16M x y   交于点 B，点 B在 x轴上方.是否存 在点 P，使得 2PBF 与 1 2QF F 的面积之比为 3：5？若存在，求出点 P坐标；若不存在，说明 理由. 19.随着中国式现代化高速发展，中华民族伟大复兴事业蒸蒸日上，人民生活的幸福指数节 节攀高，事关身体健康的各项指标越来越被国民重视.已知身体某项健康指标的值记为 n，n 为正整数，当 22n 时，则该项健康状况为正常.且 n可以由关于该健康指标的专门体检数据 推算.某人先进行若干次体检，由其体检所有数据构造得到集合T ，� ⊆ {1，2，3……，�}， 设集合T 中最小的元素为u，最大的元素为 v . (1)若 2u  ，试用 n表示符合条件的集合T 的个数； (2)若 3u  的概率   213 85 p u   ，求 n值； (3)记随机变量是随机变量 u，v的等差中项.对居民小帅的该项指标体检数据研究后发现， 随机变量的期望为 12，请由此计算 n的值，并判断小帅的该项健康状况是否正常?请说明 理由.