浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期数学周末练（8）

杭州学军中学高三（下）数学周末练（8）参考答案 命题：陈硕罡 审题：崔舒静 一、单选题 1．已知集合，若，则实数的取值范围为（ A ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则在复平面内z对应的点位于（ D  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若两个等比数列的公比相等，且，则数列的前7项和为（ B  ） A． B．43 C． D．47 4．已知，则（  C ） A． B． C． D． 5．已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（ D  ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（ D ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右顶点分别为、，是上一点，为等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为C A． B． C． D． 8．已知为奇函数，当时，，当，，若关于x的不等式恒成立，则实数m的取值范围为（  B  ） A． B． C． D． 二、多选题 9．一组样本数据，其中，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为．分布如图所示，且，则（ AD  ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 10．对于棱长为2m的正方体容器（容器壁厚度忽略不计），则（ ACD ） A．底面半径为，高为4m的圆锥形罩子（无底面）能够罩住水平放置的该正方体 B．向容器中装入直径为0.5m的小球，最多可装入118个 C．底面半径为1.2m，高为0.01m的圆柱体可以放入该容器 D．该正方体内能同时整体放入半径分别为，，的三个小球 11．已知的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质： ①； ②； ③当时，，其中 下列说法正确的是（ AC ） A．若，，则 B．恰有两个整数解 C．若，，则，，中至少有两个相等 D．若，则 三、填空题 12．已知向量,不共线，，写出一个在向量上的投影向量等于的向量的坐标 . 【答案】（答案不唯一，） 13．在中，角所对的边分别为，且，则的最小值为 ． 14．二面角为为线段的三等分点，且，到的距离为.若为平面内一动点，则最大时，的值为 . 四、解答题 15．已知数列的首项，的前项和为且满足 (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和． 【详解】（1）证明：因为，即， 所以，又，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列． （2）由（1）可得，所以， 当时， 所以， 当时也成立，所以， 所以， 所以①， ②， ①②得， 则， 所以． 16．高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6分，每小题有4个选项，其中只有2个或者3个选项是正确的.若正确选项有2个，则选对其中1个得3分；若正确选项有3个，则选对其中1个得2分，选对其中2个得4分，答案中有错误选项的得0分.设一套数学试卷的多项选择题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为.在一次模拟考试中： （1）小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得分X的数学期望为3，求p； （2）小明可以确认另一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个.共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？ 【详解】（1）根据题意可知，， 若该题有2个选项正确，则， 若该题有3个选项正确，则， 则分布列如下： X 0 4 6 P 所以， 解之得； （2）不妨记一道多选题“有2个选项正确”为事件， “有3个选项正确”为事件， 若小明选择方案①， 记小明该题得分为，则的可能取值为2，3，对应概率为： ， 故； 若小明选择方案②， 记小明该题得分为，则的可能取值为，对应概率为： ， ， 故， 若小明选择方案③， 记小明该题得分为Z，则Z的可能取值为，对应概率为： ， . 故， ， 故以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择方案②. 17．（本小题满分15分）如如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为正方形，平面平面，点是棱的中点，平面与棱交于点. （1）求证：平面； （2）为平面内一动点，为线段上一点； ①求证：； ②当最小时，求的值. 【详解】（1）证明：因为平面平面 所以平面， 又平面，平面平面 所以. 又平面平面， 所以平面. （2）解：①由平面平面又平面平面， 所以平面，所以，由（1），，故， 又是棱的中点，则为棱中点，为正三角形， 所以平面， 所以平面，且平面， 所以. ②因为.且为棱中点， 所以， 所以 当为与平面的交点时，， 故当最小时，取得最小值，此时， 因为， 所以， 同理， 当时，可得为中点，取中点，连接，如图：    则有且， 有， 所以. 18．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的上､下顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点. （i）设的面积分别为，若，求的最大值； （ii）若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程. 【详解】（1）由题意知，， 椭圆方程为， （2）（i）设， 则， ， ，，， 又在椭圆上，， ，，即， ， ， ， ； （ii）设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， ，直线的倾斜角为， ，， 又， ， 由题意的斜率不为0，设直线的方程为：， 由，得， 设， 则，又， ， 即， 整理得， ，， 的方程为. 19．高等数学的罗尔中值定理：如果上的函数满足条件：①在闭区间上连续；②在开区间可导；③.则至少存在一个，使得.据此定理，请你尝试解决以下问题： (1)证明方程：在内至少有一个实根，其中，，，； (2)已知函数在区间内有零点，求的取值范围. 【详解】（1）设，， 则， 在上连续，在上可导，又， 由罗尔中值定理知：至少存在一个，使得成立， . 故方程在内至少有一个实根. （2），在区间内有零点， 不妨设该零点为，则，. 由于，易知在和上连续，且在和上可导. 又，由罗尔中值定理可得，至少存在一个，使；至少存在一个，使得. 方程在上至少有两个不等实根和. 设，，则. ，. 当，即时， ，故在上单调递增；方程在上至多有一个实根，不符合题意，舍去； 当，即时， ，故在上单调递减. 方程在上至多有一个实根，不符合题意，舍去； 当时， 由得， 时，有单调递减； 时，有单调递增. 在上的最小值. 注意到，则有. 方程在上至少有两个不等实根， ，解得. 结合，且，， 故的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学高三（下）数学周末练（8） 命题：陈硕罡 审题：崔舒静 一、单选题 1．已知集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则在复平面内z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若两个等比数列的公比相等，且，则数列的前7项和为（    ） A． B．43 C． D．47 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右顶点分别为、，是上一点，为等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 8．已知为奇函数，当时，，当，，若关于x的不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．一组样本数据，其中，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为．分布如图所示，且，则（   ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 10．对于棱长为2m的正方体容器（容器壁厚度忽略不计），则（    ） A．底面半径为，高为4m的圆锥形罩子（无底面）能够罩住水平放置的该正方体 B．向容器中装入直径为0.5m的小球，最多可装入118个 C．底面半径为1.2m，高为0.01m的圆柱体可以放入该容器 D．该正方体内能同时整体放入半径分别为，，的三个小球 11．已知的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质： ①； ②； ③当时，，其中 下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．恰有两个整数解 C．若，，则，，中至少有两个相等 D．若，则 三、填空题 12．已知向量,不共线，，写出一个在向量上的投影向量等于的向量的坐标 . 13．在中，角所对的边分别为，且，则的最小值为 ． 14．二面角为为线段的三等分点，且，到的距离为.若为平面内一动点，则最大时，的值为 . 四、解答题 15．已知数列的首项，的前项和为且满足 (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和． 16．高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6分，每小题有4个选项，其中只有2个或者3个选项是正确的.若正确选项有2个，则选对其中1个得3分；若正确选项有3个，则选对其中1个得2分，选对其中2个得4分，答案中有错误选项的得0分.设一套数学试卷的多项选择题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为.在一次模拟考试中： （1）小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得分X的数学期望为3，求p； （2）小明可以确认另一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个.共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？ 17．（本小题满分15分）如如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为正方形，平面平面，点是棱的中点，平面与棱交于点. （1）求证：平面； （2）为平面内一动点，为线段上一点； ①求证：； ②当最小时，求的值. 18．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的上､下顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点. （i）设的面积分别为，若，求的最大值； （ii）若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程. 19．高等数学的罗尔中值定理：如果上的函数满足条件：①在闭区间上连续；②在开区间可导；③.则至少存在一个，使得.据此定理，请你尝试解决以下问题： (1)证明方程：在内至少有一个实根，其中，，，； (2)已知函数在区间内有零点，求的取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $