浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期数学周末练（5）

杭州学军中学2024学年第二学期高三数学周末练（5） 命题人：杨建忠 审题人：卢予奇 一、单选题 1．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知b，，虚数是方程的根，则（    ） A． B． C．4 D．2 3．已知.若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿.如果大轮的转速为180（转/分），小轮的半径为10cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是（    ）cm. A． B． C． D． 5．已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是上的奇函数，则（    ） A．2 B．-2 C． D． 7．小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与6的大小无法确定 8．已知函数满足：（1）对任意，都有；（2）对任意，都有．则的值是（   ）． A．324 B．336 C．348 D．360 二、多选题 9．某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量如表所示，若与线性相关，且线性回归方程为，则（    ） 月份编号 1 2 3 4 5 下载量（万次） 5 4.5 4 3.5 2.5 A．与负相关 B． C．预测第6个月的下载量是2.1万次 D．残差绝对值的最大值为0.2 10．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 11．已知圆，过点向圆引切线，切点为，记的轨迹为曲线，则（    ） A．曲线关于轴对称 B．在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为 C．的渐近线为 D．当点在上时， 三、填空题 12．在的展开式中，若的系数为，则 . 13．M、N分别为曲线与直线上的点，则的最小值为 . 14．将椭圆上所有的点绕原点逆时针旋转角，得到椭圆的方程：，椭圆的离心率为 . 四、解答题 15．已知的内角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若为边上一点，为的平分线，且，求的面积． 16．如图，在四棱锥中，平面． (1)求的长； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 17．已知平面内一动圆过点，且该圆被轴截得的弦长为4，设其圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)梯形的四个顶点均在曲线上，，对角线与交于点. （i）求直线的斜率； （ii）证明：直线与交于定点. 18．已知函数，函数与的图像关于对称，. (1)求的解析式； (2)在定义域内恒成立，求a的值； (3)求证：，. 19．有编号为的个空盒子，另有编号为的个球，现将个球分别放入个盒子中，每个盒子最多放入一个球．放球时，先将1号球随机放入个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个．记号球能放入号盒子的概率为． (1)求； (2)当时，求； (3)求． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2024学年第二学期高三数学周末练（5） 参考答案 单选题 CAAB ABBC 多选题 ACD BC ABD 12． 13． 14． 15．（1）因为， 由正弦定理可得， 且， 即， 整理可得， 且，则，可得， 又因为，则，可得，所以. （2）因为为的平分线，则， 因为，则， 即，可得， 在中，由余弦定理可得， 即，整理可得，解得或（舍去）， 所以的面积. 16．（1）取中点，连，，由，所以四边形为平行四边形，故. 由平面，平面，有，所以. 又，所以，又，平面，所以平面. 由平面，所以. 由平面，平面，有，故. 又，故. （2）以为坐标原点，为，轴的正方向， 以过且与平面垂直向上为轴的正方向建立空间直角坐标系. 由，得为正三角形，故. 又， . 设平面的法向量， 由，即， 取，得到平面的一个法向量. 又， 设直线与平面所成角的大小为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．（1）设圆心为， 由题意可得：，整理可得， 所以曲线的方程为. （2）（i）由题意可知：直线的斜率不为0， 设， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 可知直线， 联立方程，消去x可得， 由题意可知：，即， 且，可得， 同理可得：， 则 ， 因为，则，即， 整理可得， 由题意可知：点不在直线上，则，即， 可得，即，所以直线的斜率； （ii）由（i）可知：，则的中点， 又因为，即，则的中点， 即直线， 由梯形的性质可知：直线与的交点即为直线与的交点， 因为直线的斜率， 则直线， 令可得 ， 即直线与直线的交点为， 所以直线与交于定点. 18．（1）依题意，设图像上任意一点坐标为， 则其关于对称的点在图像上， 则，则， 故，； （2）令，， 则在在恒成立， 又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点， ，， 下证当时，在恒成立， 令，, 当，，在上单调递增， 当，，在上单调递减， 故，在上恒成立，又， 则时，恒成立， 综上，. （3）由（2）可知：， 则，即， 则， 又由（2）可知：在上恒成立， 则在上恒成立且当且仅当时取等， 令，，则， 即， 则 ， 综上，，即证 19．（1）1号球放入1号盒中的概率为,此时2,3号球分别放入2,3号盒中； 1号球放入2号盒中的概率为,欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号盒中，概率为, 1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中; 综上所述： . （2）1号球放入1号,4号，5号，, n 号盒中的概率为，此时3号球可放入3号盒中; 1号球放入2号盒中的概率为,欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号，4号，5号，.... n 号盒中，概率为, 1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中; 综上所述： （3）1号球放入1号，号，号，号，..., n 号盒中的概率为,此时 k 号球可放入 k 号盒中： 1号球放入 号盒中的概率为,此时2号，3号，....号球都可以放入对应编号的盒中， 剩下编号为 的球和编号为 的空盒， 此时 j 号盒非空， j 号球在所有空盒中随机选择一个放入，此时要让 k 号球放入 k 号盒中的放法总数等效于将编号为的球， 按照题设规则放入编号为的盒中（1号球仍然随机选择一个盒子放入）,所以概率为 1号球放入 k 号盒中时，此时 k 号球不能放入 k 号盒中： 所以 , 整理得： ,① 分别用 和 替换 和 ，可得： ,② 由①②式相减，整理得： 从而 , 等于1号球不放在2号盒的概率，即. 所以 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $