专题03 二次根式的化简7大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题03 二次根式的化简 目录 典例详解 类型一、二次根式的双重非负性 类型二、根据字母的取值范围进行化简 类型三、复合二次根式的化简 类型四、字母为二次根式的化简求值 类型五、二次根式的探究规律问题 类型六、二次根式的材料题 类型七、二次根式的创新新定义题型 压轴专练 类型一、二次根式的双重非负性 双重非负性: 【例1】将二次根式根号外的移入根号内得到（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ∴． ∴， 故选：D． 【例2】已知，则 ． 【答案】5 【详解】解：， ， 解得， ， ， 故答案为：5． 【变式1-1】若，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式1-2】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：由二次根式非负性，可得， ∴原式 ； （2）解：由二次根式非负性，结合，可得， ∴ 原式 ； （3）解：原式= ； （4）解：由二次根式非负性，即有，可得， ∴原式 ． 【变式1-3】已知三角形的三边分别为，其中两边满足，那么这个三角形的最长边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ，则， ， 要使，则， 解得， 由三角形的三边关系可知， 是这个三角形的最长边， ，即这个三角形的最长边的取值范围是， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形三边关系、绝对值非负性、非负数和为零的条件、完全平方公式因式分解、二次根式性质等知识，熟记三角形三边关系、绝对值非负性、非负数和为零的条件、完全平方公式因式分解、二次根式性质等知识是解决问题的关键． 类型二、根据字母的取值范围进行化简 处理方式： 先根据二次根式有意义的条件（被开方数非负、分母不为零等）确定字母的取值范围，再利用二次根式的性质，结合字母范围判断绝对值内式子的符号（非负时直接去绝对值，负数时取相反数），最后化简合并即可。 【例3】已知，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ； 故答案为：B 【例4】是某三角形三边的长，则等于（    ） A． B． C．10 D．4 【答案】D 【详解】解：是三角形的三边， ， 解得：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简． 【变式2-1】若实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简代数式． 【答案】 【详解】解：由数轴可知， ． 【变式2-2】已知a，b，c为三角形三边，则= ． 【答案】 【详解】由三角形的三边关系定理得： 则 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理、二次根式的运算，掌握理解三角形的三边关系定理是解题关键． 【变式2-3】已知（m，n为两个连续奇数，）,则下列对p的表述中正确的是（   ） A．总是奇数 B．总是偶数 C．总是无理数 D．可能是有理数可能是无理数 【答案】B 【详解】解：∵m，n为两个连续奇数， ∴， ∴ ， ∵为奇数，则为偶数， ∴为偶数， 故选：B． 类型三、复合二次根式的化简 处理方式： 假设，两边平方后得，对比系数得方程组，解出正实数（满足），代入原式即可化简为。 【例5】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：原式 ， 故选：D． 【例6】观察、思考、解答： 反之 (1)仿上例，化简：______，______． (2)若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由； 【答案】(1)， (2)；理由见解析 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，； （2）∵， ∴ 即， ∴ 【变式3-1】已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 【变式3-2】阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式3-3】先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；；； (2) 【详解】（1）解： ； 故答案为：；；；； （2）解： ． 类型四、字母为二次根式的化简求值 处理方式： 先将字母所代表的二次根式化简或有理化，再对所求代数式进行因式分解、合并同类项等变形，使其能利用字母的结构特征（如平方、和差关系）整体代入 【例7】若，则代数式的值为（   ） A．5 B．7 C．9 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：B． 【例8】已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键． 【变式4-1】已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-2】当时，多项式的值为 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：. 【变式4-3】写作业时，小明被一道题难住了：“若，求的值．”老师给予了必要的方法提示：不宜直接代入计算，需要先化简已知式， …… 请你根据老师的提示，解决如下问题： (1)计算：________； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：． 故答案为： （2） · ． 类型五、二次根式的探究规律问题 处理方式： 先计算前几个具体式子的值或化简结果，观察根号内数字、被开方数结构或化简后形式的规律（如整数、分数、根号外系数与根号内的关系），分析其与项数n的关联（如平方数、等差数列、因式分解等），归纳猜想通项公式，再通过代入验证或代数化简（如配完全平方、分母有理化）证明规律的一般性。 【例9】一组数据按一定规律排列：，，，，，……，这组数据的第25项是 ． 【答案】 【详解】解：按一定规律排列的一列数：，即，，即，，……，故第n个数为（且n为正整数）， 所以第25个数是即． 故答案为：． 【例10】观察下列等式，并回答问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)请直接写出第5个等式_______； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明； (3)计算：． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3)1 【详解】（1）解：依题意，第5个等式：， 故答案为：； （2）解：依题意，第n个等式:． 即第n个等式:， 证明如下： ； （3）解：由（2）得 ∴ ． 【变式5-1】观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： … (1)求的倒数； (2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律（不必证明）； (3)利用上面的结论，求下列式子的值： 【答案】(1) (2) (3)2024 【详解】（1）解∶ ， 的倒数是； （2）解：观察已知式子可得，； （3）解∶ 原式 ． 【变式5-2】观察下列各式： ， ， ， …… 请利用你所发现的规律， 求的值． 【答案】 【详解】解：由题意可得： ． 【变式5-3】观察下列等式： 第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：， 第4个等式：按照以上规律，解决下列问题： (1)第6个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式，并证明其正确性（用含的式子表示）； (3)若符合上述规律，请直接写出代数式的值． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3)的值为2或30 【详解】（1）解：由题干中所给等式可得第6个等式为：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为：，证明如下： ； （3）解：∵ ∴， 符合所得规律， ， 解得：或，， 那么或， 即的值为2或30． 类型六、二次根式的材料题 【例11】阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 请解答下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)， (2)3 (3) 【详解】（1）解：， ，即， 的整数部分是，小数部分是， 故答案为：4，； （2）解：， ，即， ， ， ，即， ， ； （3）解：， ，即， ． ，其中m是整数，且， ，， ， ∴的相反数为． 【例12】【阅读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当，时： ∵， ∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)______（用>或<填空）；式子的最小值为______； (2)求分式的最小值 (3)应用：小明同学要做一个面积为1250平方厘米，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线（，）的竹条至少要多长？ 【答案】(1)； (2)6 (3)用来做对角线的竹条至少要100厘米长 【详解】（1）解：根据题意可得； ， 故式子的最小值为， 故答案为：；； （2）解：， ∴的最小值为6； （3）解：四边形的面积； ∴， ∴， 答：用来做对角线的竹条至少要100厘米长． 【变式6-1】阅读材料：像，，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 如：， 请你解决如下问题： (1)的有理化因式是______，______． (2)化简． (3)数学课上，老师出了一道题“已知，求的值” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为，所以． 所以，所以，所以， 所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是， ， 故答案为：，； （2）解： ， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【变式6-2】阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： （1）， （2）． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ①                 ② 【答案】(1)6，3 (2)， (3)①时，原式有最小值4，②时，原式有最小值5 【详解】（1）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （3）解：① 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， 时取等号，即时，原式有最小值4． ② 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， ∴当时取等号，即时，原式有最小值5． 【变式6-3】请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，，则，即，∴，两边同时乘以x得，，把作为整体，代入原式得，原式． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)2025 (2)2026 【详解】（1）解：由得，， 则，即， ∴， 把代入原式得， 原式； （2）解：由得，，即， 则，即， ∴，即 两边同时乘以得， 把作为整体，代入原式得， 原式． 类型七、二次根式的创新新定义题型 【例13】对代数式M定义新运算：．对于若干个数，先将任意两个数求和，再将这些和分别进行新运算，最后再将新运算的结果求和，称此为“新运算操作”．例如，对1，2，3进行“新运算操作”，得以下结论正确的有（   ） ①若，则； ②在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8； ③a，b，c的“新运算操作”化简结果可能存在的不同表达式共有6种． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【详解】解：①∵， ∴， ∴或， 解得或， 故①错误； ②进行“新运算操作”得到， ∵在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8； ∴， 则， ∵在数轴上和的距离为8， ∴在数轴上找不到一个数，使得到和的距离之和为6， ∴无解， 故②错误， a，b，c的“新运算操作”结果为， 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 根据a，b，c的取值范围，化简结果可能存在的不同表达式共有8种． 故③错误， 故选：A 【例14】我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； （2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】（3）已知，求的值是_____ 【实际应用】（4）已知，，满足，求． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）；（4） 【详解】（1）由条件可知； 故答案为：； （2） ， 由条件可知，即． （3）∵， ∴， ∴， ∴，， 解得，， 则． 故答案为：4． （4）由条件可转化为， ，，， ． 【变式7-1】定义：对于一组关于x的多项式，，，，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式，，，是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为 ． 【答案】 【详解】解：若多项式，，，（是有理数）是一组黄金多项式，有三种情况， ① ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 此时：舍去， ② ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 此时，符合题意； ③ ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 此时； 综上所述，的值为． 故答案为： 【变式7-2】定义：形如和的两个实数，叫做共轭实数，其中为有理数且，为正整数且开方开不尽． (1)请你写出一对共轭实数：________和__________； (2)共轭实数都是无理数，但它们的和与积都是有理数．请计算（）中你写出的一对共轭实数的和与积； (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)， (3) 【详解】（1）解：写出的一对共轭实数可以是和， 故答案为：，； （2）解：， ； （3）解：∵， ∴， ， ∴原式 ． 【变式7-3】定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的和谐二次根式． (1)若与是关于6的和谐二次根式，求的值． (2)若为有理数，且与是关于的和谐二次根式，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：由题意可得， ． （2）由题意可得， 整理得． 是有理数， ，， ，． 一、单选题 1．已知，，是的三边长，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，是的三边长， ， ， 故选：C． 2．若、为正有理数，则有得到有理数结果，例如：．我们把称为“的有理化因式”，与互称为“有理化因式”．某同学利用有理化因式，得到如下结论： ①； ②； ③若（其中为有理数）则； ④若，则． 以上结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：①，故①错误，不合题意； ②，故②正确，符合题意； ③ ， 若， 则， 解得， ∴，故③错误， ④∵， 又∵， ∴，故④正确，符合题意； 综上，结论正确的有个， 故选：． 3．当时，化简得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴，即， ∴． 故选C． 4．设，，，，，则的值（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解；， ， ∴， ∴ ， 故选：B． 5．若a和b都是正整数且和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（   ） ①只存在一组a和b使得； ②只存在两组a和b使得； ③不存在a和b使得； ④若只存在三组a和b使得，则的值为36或81 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式， ， ， 当时，，故结论①正确； ②， 当，则 当则．故结论②正确； ③， 当时，， 当时，，故结论③错误； ④， ， 当时，， ， ， 有无数和满足等式，故结论④错误． 综上所述：正确结论有①②，共2个， 故选：B． 二、填空题 6．已知，去分母，得；移项，得；两边平方，得；整理，得．我们规定：方程称为的“还原方程”． （1）的“还原方程”是 ； （2）若，则代数式 ． 【答案】 4 【详解】解：（1）， 去分母得：， 移项得：， 两边平方得：， 整理得：， ∴的“还原方程”是， 故答案为：； （2）当时， ， 故答案为：4． 7．已知，则 ． 【答案】 【详解】解： ． 8．若满足关系式 ，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，两两乘积的算术平方根分别为整数6，3，2，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为9，求m的值． 【答案】(1)，，这三个数是“完美组合数”，理由见解析 (2)m的值是 【详解】（1）解：，，这三个数是“完美组合数”， 理由如下： ∵，，， ∴，，这三个数是“完美组合数”； （2）解：∵， ∴分两种情况讨论： ①当时，， ∴； ②当时，， ∴（不符合题意，舍之）； 综上，m的值是． 10．阅读下列材料： ，像与与这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．请运用上面的知识解决下列问题： (1)指出的有理化因式； (2)计算化简，_________，________，________； (3)类比（2）的方法，化简下列式子：__________； (4)①已知，求的值； ②若同时满足以下两个方程：，求的值． 【答案】(1) (2) (3)9 (4)①；② 【详解】（1）解：的有理化因式是； （2）解：； ； ； 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：； （4）解：① ， 即， ； ②将两式左右分别相乘得， ， 则， 解得或， 经检验，不是原方程的解， ． 11．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； (2)的算术平方根为_________________； (3)若，且、、均为正整数，求的值； (4)化简：． 【答案】(1)； (2) (3)的值为或 (4) 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：；； （2）解：∵， 故答案为：； （3）解：∵， ∴，，即， ∵、、均为正整数， ∴，或，， ∴当，时，； 当，时，； ∴的值为或； （4）解：∵ ， ∴． 12．小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． (1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： (2)请直接写出方程的解为________． 【答案】(1)9；1；． (2) 【详解】（1）解：设，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 联立，解得： ∴． ∴． 故答案为：9；1． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴，解得：． 经检验：是原方程的解． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次根式的化简 目录 典例详解 类型一、二次根式的双重非负性 类型二、根据字母的取值范围进行化简 类型三、复合二次根式的化简 类型四、字母为二次根式的化简求值 类型五、二次根式的探究规律问题 类型六、二次根式的材料题 类型七、二次根式的创新新定义题型 压轴专练 类型一、二次根式的双重非负性 双重非负性: 【例1】将二次根式根号外的移入根号内得到（    ） A． B． C． D． 【例2】已知，则 ． 【变式1-1】若，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-3】已知三角形的三边分别为，其中两边满足，那么这个三角形的最长边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 类型二、根据字母的取值范围进行化简 处理方式：先根据二次根式有意义的条件（被开方数非负、分母不为零等）确定字母的取值范围，再利用二次根式的性质，结合字母范围判断绝对值内式子的符号（非负时直接去绝对值，负数时取相反数），最后化简合并即可。 【例3】已知，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【例4】是某三角形三边的长，则等于（    ） A． B． C．10 D．4 【变式2-1】若实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简代数式． 【变式2-2】已知a，b，c为三角形三边，则= ． 【变式2-3】已知（m，n为两个连续奇数，）,则下列对p的表述中正确的是（   ） A．总是奇数 B．总是偶数 C．总是无理数 D．可能是有理数可能是无理数 类型三、复合二次根式的化简 处理方式： 假设，两边平方后得，对比系数得方程组，解出正实数（满足），代入原式即可化简为。 【例5】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【例6】观察、思考、解答： 反之 (1)仿上例，化简：______，______． (2)若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由； 【变式3-1】已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【变式3-2】阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． (1)． (2)． (3)． 【变式3-3】先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 类型四、字母为二次根式的化简求值 处理方式：先将字母所代表的二次根式化简或有理化，再对所求代数式进行因式分解、合并同类项等变形，使其能利用字母的结构特征（如平方、和差关系）整体代入 【例7】若，则代数式的值为（   ） A．5 B．7 C．9 D． 【例8】已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式4-2】当时，多项式的值为 【变式4-3】写作业时，小明被一道题难住了：“若，求的值．”老师给予了必要的方法提示：不宜直接代入计算，需要先化简已知式， …… 请你根据老师的提示，解决如下问题： (1)计算：________； (2)若，求的值． 类型五、二次根式的探究规律问题 处理方式：先计算前几个具体式子的值或化简结果，观察根号内数字、被开方数结构或化简后形式的规律（如整数、分数、根号外系数与根号内的关系），分析其与项数n的关联（如平方数、等差数列、因式分解等），归纳猜想通项公式，再通过代入验证或代数化简（如配完全平方、分母有理化）证明规律的一般性。 【例9】一组数据按一定规律排列：，，，，，……，这组数据的第25项是 ． 【例10】观察下列等式，并回答问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)请直接写出第5个等式_______； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明； (3)计算：． 【变式5-1】观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： … (1)求的倒数； (2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律（不必证明）； (3)利用上面的结论，求下列式子的值： 【变式5-2】观察下列各式： ， ， ， …… 请利用你所发现的规律， 求的值． 【变式5-3】观察下列等式： 第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：， 第4个等式：按照以上规律，解决下列问题： (1)第6个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式，并证明其正确性（用含的式子表示）； (3)若符合上述规律，请直接写出代数式的值． 类型六、二次根式的材料题 【例11】阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 请解答下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【例12】【阅读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当，时： ∵， ∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)______（用>或<填空）；式子的最小值为______； (2)求分式的最小值 (3)应用：小明同学要做一个面积为1250平方厘米，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线（，）的竹条至少要多长？ 【变式6-1】阅读材料：像，，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 如：， 请你解决如下问题： (1)的有理化因式是______，______． (2)化简． (3)数学课上，老师出了一道题“已知，求的值” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为，所以． 所以，所以，所以， 所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 【变式6-2】阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： （1）， （2）． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ①                 ② 【变式6-3】请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，，则，即，∴，两边同时乘以x得，，把作为整体，代入原式得，原式． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 类型七、二次根式的创新新定义题型 【例13】对代数式M定义新运算：．对于若干个数，先将任意两个数求和，再将这些和分别进行新运算，最后再将新运算的结果求和，称此为“新运算操作”．例如，对1，2，3进行“新运算操作”，得以下结论正确的有（   ） ①若，则； ②在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8； ③a，b，c的“新运算操作”化简结果可能存在的不同表达式共有6种． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例14】我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； （2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】（3）已知，求的值是_____ 【实际应用】（4）已知，，满足，求． 【变式7-1】定义：对于一组关于x的多项式，，，，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式，，，是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为 ． 【变式7-2】定义：形如和的两个实数，叫做共轭实数，其中为有理数且，为正整数且开方开不尽． (1)请你写出一对共轭实数：________和__________； (2)共轭实数都是无理数，但它们的和与积都是有理数．请计算（）中你写出的一对共轭实数的和与积； (3)已知，求代数式的值． 【变式7-3】定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的和谐二次根式． (1)若与是关于6的和谐二次根式，求的值． (2)若为有理数，且与是关于的和谐二次根式，求和的值． 一、单选题 1．已知，，是的三边长，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．若、为正有理数，则有得到有理数结果，例如：．我们把称为“的有理化因式”，与互称为“有理化因式”．某同学利用有理化因式，得到如下结论： ①； ②； ③若（其中为有理数）则； ④若，则． 以上结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．当时，化简得（   ） A． B． C． D． 4．设，，，，，则的值（   ） A． B． C． D． 5．若a和b都是正整数且和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（   ） ①只存在一组a和b使得； ②只存在两组a和b使得； ③不存在a和b使得； ④若只存在三组a和b使得，则的值为36或81 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．已知，去分母，得；移项，得；两边平方，得；整理，得．我们规定：方程称为的“还原方程”． （1）的“还原方程”是 ； （2）若，则代数式 ． 7．已知，则 ． 8．若满足关系式 ，则 ． 三、解答题 9．三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，两两乘积的算术平方根分别为整数6，3，2，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为9，求m的值． 10．阅读下列材料： ，像与与这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．请运用上面的知识解决下列问题： (1)指出的有理化因式； (2)计算化简，_________，________，________； (3)类比（2）的方法，化简下列式子：__________； (4)①已知，求的值； ②若同时满足以下两个方程：，求的值． 11．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； (2)的算术平方根为_________________； (3)若，且、、均为正整数，求的值； (4)化简：． 12．小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． (1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： (2)请直接写出方程的解为________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$