精品解析：上海市黄浦区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

2024学年第二学期七年级数学期末试卷 一、选择题（共6小题，每题3分，满分18分） 1. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的基本性质；根据不等式的基本性质，逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵， 选项A： 两边同时加2，不等号方向不变，应为，故A错误． 选项B： 左边减5，右边减3，应为，故B错误． 选项C： 两边同时除以正数3，不等号方向不变，应为，故C错误． 选项D： 两边同时乘以负数，不等号方向改变，由可得，故D正确． 故选：D． 2. 如图，点E在的延长线上，在下列四个条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，则，故本选项不符合题意； 故选：B 3. 用下列长度的三根木条首尾顺次连接，不能做成三角形框架的是 ( ) A. 3cm， 4cm， 5cm B. 1cm， 3cm， 4cm C. 6cm， 8cm， 10cm D. 3cm， 3cm， 3cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查构成三角形三边关系．根据题意利用“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”知识点逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵A选项， ∴可以构成三角形， ∵B选项， ∴不可以构成三角形， ∵C选项， ∴可以构成三角形， ∵D选项， ∴可以构成三角形， 故选：B． 4. 对于命题“如果，那么和中必定有一个是钝角”，能说明它是假命题的是 （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据角大小关系，锐角、钝角的概念即可求解． 【详解】解：．，不符合题意； ．，不能证明题设为假，不符合题意； ．，且和都不是钝角，能证明题设是假命题，符合题意； ．，不能证明题设为假，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，以及钝角的概念，掌握命题真假的判定，以及锐角、钝角的概率是解题的关键． 5. 作一个角等于已知角的尺规作图过程如图，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由作法易得，，，利用SSS得到三角形全等，由全等三角形的对应角相等． 【详解】解：由作法易得，，， 在和中， ， ∴， ∴即． 故选：A． 6. 如图，中，，将绕着点A顺时针旋转得到，其中点B、O分别旋转到点C、D，当时，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、平行线的性质、等边对等角，由题意得，由旋转得，则，由平行线的性质得，得到，再根据计算即可． 【详解】解：如图 ∵， ∴． ∵将绕着点A顺时针旋转得到， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题（共12小题，每题2分，满分24分） 7. 用不等式表示“7与y的积减16的差是负数”是___________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查列不等式，根据用字母表示数或数量关系及书写规则即可求解． 【详解】解：∵7与y的积表示为， ∴根据题意得，， 故答案为：． 8. 不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行解不等式即可； 【详解】∵， ∴， ∴，即． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了不等式的求解，准确分析师解题的关键． 9. 如图，，C为垂足，，D为垂足，，那么点C到的距离是 ________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了点到直线的距离．根据点到直线的距离解答即可． 【详解】解：∵， ∴点C到的距离是． 故答案为： 10. 已知图中的两个三角形全等，则等于 ________°． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图： ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 11. 如图，直线，若，则_____________________． 【答案】40度## 【解析】 【分析】构造辅助线，利用平行线的性质理解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 【详解】解：作 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 故答案为：． 12. “等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题是___________． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查逆命题，将原命题的题设和结论互换，写出逆命题即可． 【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形； 故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 13. 在中，，，则_________ ． 【答案】6 【解析】 【分析】判定是等边三角形，继而可求得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：6． 【点睛】此题考查等边三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理． 14. 若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形定义、构成三角形的三边关系等知识，熟记等腰三角形的定义及三角形三边关系是解决问题的关键． 先由等腰三角形的定义分类：和，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形即可得到答案． 【详解】解：一个等腰三角形的两边长分别是和， 等腰三角形三边长分两类：和， 当等腰三角形三边长为时，，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形三边长为时，满足三角形三边关系，能构成三角形， 则其周长为； 故答案为：． 15. 如图，已知在等边中，，点D在边BC上，连接AD，线段AD的垂直平分线分别交边、于点E、F，如果的周长比的周长小，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据的周长比的周长小得出，再结合可求出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴． ∴ ． 则， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，已知的面积为12，平分，且于点P，则的面积是____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积．延长交于点E，先证明，得，再根据中线的性质即可得出结果． 详解】解：延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：6． 17. 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．若是“准直角三角形”，且，，则的度数为____________ ． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．根据新定义，分类讨论，或，根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：是准直角三角形， 或， 当， 而， ， ， ， 当， ， ， ， 解得， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 18. 如图，在中，，，，直线经过点C且与边相交，动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的运动速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒，则当__________时，与全等． 【答案】2或或12 【解析】 【分析】分点在上，点在上；点与点重合；与重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．本题考查的是全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【详解】解：①如图1，点在上，点在上时， 由题意得，，， ，， ，， ∵，， ， ， ， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点与点重合时， 由题意得，，， ，， ，， 当， 则， ， 解得：； ③如图3，当点与重合时， 由题意得，， ， ，， ， ， 当， 则， 即， 解得：； 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 故答案为：2或或12． 三、简答题（共6小题，每题6分，满分36分） 19. 解不等式：，并求出它的最大整数解． 【答案】，不等式的最大整数解为 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题关键． 依次去分母、移项、合并同类项、系数化为1即可得出不等式的解集，再根据解集确定最大整数解． 【详解】解： 所以不等式的最大整数解为． 20. 解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法和在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键； 先求出不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即得不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是； 不等式组的解集在数轴上表示如下： 21. 如图，点在外，点在边上，按要求画图，写出结论，并填空． （1）联结，用尺规作出线段的垂直平分线； （2）过、两点分别画出、的平行线交于点， 若，则 °． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线，平行四边形的判定与性质： （1）根据线段垂直平分线的作法即可完成作图； （2）由作图过程可得，所以得四边形是平行四边形，进而可以解决问题． 【小问1详解】 解：如图1，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，点G即为所求， 由作图过程可知：， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：120． 22. 如图，在中，平分交于点，点在边上，且，，和交于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质定理，三角形中内角和边的关系等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用等边对等角得出，利用角平分线的性质得出，然后利用三角形的外角定理及等量代换得出，最后利用三角形内角和边的关系得出结论． 【详解】证明：， ， ， ， 平分， ， ，， ， ． 23. 如图，在中，为边上一点，为的中点，连接并延长至点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，且平分，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质，解题的关键是利用SAS证明三角形全等，再结合角的关系进行推理． （1）通过证明，得到，进而证明； （2）利用，得到，，从而得到，利用角平分线的定义得到，求出的度数． 【小问1详解】 证明：在和中 ； 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， 平分， ， ． 24. 实践与探究 【提出问题】是等边三角形，点D在的延长线上，平分，点是边上一动点，连接，并以为边作，交射线于点，连接．猜想的形状． 兴趣小组的三位同学根据已知条件画出图形并分别度量和的长度，结果如下： 的长度 的长度 小明 2.6 2.6 小丽 3.4 3.4 小亮 4.1 4.1 根据以上数据，猜想：是___________三角形． 【解决问题】兴趣小组对上述猜想进行了证明，请你补全证明过程． 证明：如图，在边上截取，连接． 是___________三角形． 【答案】[提出问题]等边；[解决问题]见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可作答． （2）理解题意，结合上下已有的过程，先结合等边三角形的性质得出，因为平分以及进行角的等量代换得，再证明，然后进行角的整理，得，即可作答． 【详解】解：[提出问题] ∵根据所测的数据得出 ∵ ∴是等边三角形； 故答案为：等边 [解决问题] 在边上截取，连接． 是等边三角形， ， ∵ ∴ ． 平分 ． 在和中， ． ， 是等边三角形． 四、解答题（共3小题，第25、26题每题7分，第27题8分，满分22分） 25. 静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八五折 乙 所购商品按原价每满300元减60元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： （1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款______元（用含有x的代数式表示） （2）顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）由甲商店所购商品按原价打八五折，即可得出结果； （2）先算出顾客选择乙商店的优惠活动购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时的实际付款，再根据如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款为：元， 故答案为：； 【小问2详解】 解：在时，选择乙商店的优惠活动后实际付款为：元， 由题意得：， 解得：， ． 26. 如图，在中，，D是上一点，且，过B作，分别交于点E、交于点F． （1）求证：； （2）如果，请猜想和的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由与得和可得，由得，从而得证； （2）过D作于G，根据已知条件可证明．再证明，即可得解． 【小问1详解】 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； 【小问2详解】 ，证明如下： 过D作于G ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 27. （1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以___________；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中的面积是___________； （3）拓展提升：如图3，等边中，，点在上，且，动点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． ①当时，的长是___________． ②当点恰好落在射线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）8；（3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据证明过程，不难发现其判定的依据是，解答即可． （2）利用（1）的全等三角形结论，解答即可． （3）①当时，证明是等边三角形，解答即可． ②证明解答即可． 【详解】（1）解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以（）， 故答案为：； （2）解：由（1）同理可证，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积是， 故答案为：8． （3）①如图，当时， 则， ∵等边中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． ②如图所示，当点恰好落射线上时， ∵等边中，，且， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期七年级数学期末试卷 一、选择题（共6小题，每题3分，满分18分） 1. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点E在的延长线上，在下列四个条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 3. 用下列长度三根木条首尾顺次连接，不能做成三角形框架的是 ( ) A. 3cm， 4cm， 5cm B. 1cm， 3cm， 4cm C. 6cm， 8cm， 10cm D. 3cm， 3cm， 3cm 4. 对于命题“如果，那么和中必定有一个是钝角”，能说明它是假命题的是 （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 作一个角等于已知角的尺规作图过程如图，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（ ） A B. C. D. 6. 如图，中，，将绕着点A顺时针旋转得到，其中点B、O分别旋转到点C、D，当时，的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共12小题，每题2分，满分24分） 7. 用不等式表示“7与y的积减16的差是负数”是___________． 8. 不等式的解集为________． 9. 如图，，C为垂足，，D为垂足，，那么点C到的距离是 ________ ． 10. 已知图中的两个三角形全等，则等于 ________°． 11. 如图，直线，若，则_____________________． 12. “等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题是___________． 13. 在中，，，则_________ ． 14. 若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是_____． 15. 如图，已知在等边中，，点D在边BC上，连接AD，线段AD的垂直平分线分别交边、于点E、F，如果的周长比的周长小，那么___________． 16. 如图，已知的面积为12，平分，且于点P，则的面积是____． 17. 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．若是“准直角三角形”，且，，则的度数为____________ ． 18. 如图，在中，，，，直线经过点C且与边相交，动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的运动速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒，则当__________时，与全等． 三、简答题（共6小题，每题6分，满分36分） 19. 解不等式：，并求出它的最大整数解． 20. 解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 21. 如图，点在外，点在边上，按要求画图，写出结论，并填空． （1）联结，用尺规作出线段的垂直平分线； （2）过、两点分别画出、的平行线交于点， 若，则 °． 22. 如图，在中，平分交于点，点在边上，且，，和交于点．求证：． 23. 如图，在中，为边上一点，为的中点，连接并延长至点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，且平分，求的度数． 24. 实践与探究 【提出问题】是等边三角形，点D在的延长线上，平分，点是边上一动点，连接，并以为边作，交射线于点，连接．猜想的形状． 兴趣小组的三位同学根据已知条件画出图形并分别度量和的长度，结果如下： 的长度 的长度 小明 2.6 2.6 小丽 34 3.4 小亮 4.1 4.1 根据以上数据，猜想：是___________三角形． 解决问题】兴趣小组对上述猜想进行了证明，请你补全证明过程． 证明：如图，在边上截取，连接． 是___________三角形． 四、解答题（共3小题，第25、26题每题7分，第27题8分，满分22分） 25. 静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八五折 乙 所购商品按原价每满300元减60元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： （1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款______元（用含有x的代数式表示） （2）顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 26. 如图，在中，，D上一点，且，过B作，分别交于点E、交于点F． （1）求证：； （2）如果，请猜想和的数量关系，并证明你的猜想． 27. （1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以___________；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中的面积是___________； （3）拓展提升：如图3，等边中，，点在上，且，动点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． ①当时，的长是___________． ②当点恰好落在射线上时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $