精品解析：河南省驻马店市汝南县汝南县一中、二中、三中联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

八年级下学期期中测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列根式是最简二次根式的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当二次根式满足：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内面没有分母．即为最简二次根式，由此即可求解． 【详解】解：A选项：，是最简二次根式，故该选项符合题意； B选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选:A． 【点睛】此题考查最简二次根式，解题关键在于掌握最简二次根式的性质． 2. 如图，以表示2的点为圆心，以边长为1的正方形的对角线长为半径画弧与数轴交于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理求出半径，再根据两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：∵以边长为1的正方形的对角线长为半径画弧与数轴交于点， ∴点到的距离为， ∴点表示的数为； 故选D． 【点睛】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数．熟练掌握用数轴上的点表示无理数的方法，是解题的关键． 3. 计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算；根据二次根式的运算法则逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A． ，而非，错误． B． 表示算术平方根，结果为，而非，错误． C． ，正确． D． ，结果应为正数，而非，错误． 故选：C． 4. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是2、3、3、6，则最大正方形E的面积是（ ） A. 14 B. 34 C. 58 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】如图，根据勾股定理分别求出M、N的面积，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图 根据勾股定理可得： ，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 5. 已知是的边上的高，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况当在内部时，当在外部时，由勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】解：当在内部时，如图①， ，，，， ，， ， 当在外部时，如图②， ，，，， ，， ， 的长是或 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键关键是熟练掌握勾股定理的内容，以及要分两种情况讨论． 6. 在中，，，，下列不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和分别判断即可． 【详解】解：由，可知，故选项A不符合题意； 由整理得：，则为直角三角形，故选项B不符合题意； ，，，则，故选项C符合题意； 当时，设，，， 则，则为直角三角形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键． 7. 将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，分类讨论，当筷子直立在水杯中时，；当筷子斜放在水杯中，如图所示，运用勾股定理可得；由此即可求解． 【详解】解：根据题意，当筷子直立在水杯中时，； 当筷子斜放在水杯中，如图所示，，且 ∴， ∴筷子露在外面的部分的长度为， ∴的取值范围为：， 故选：B ． 8. 为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【详解】解：如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， 点O为跷跷板的中点， 是的中位线， ， ， 故选：B． 9. 如图，在中，，连接，作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，直角三角形的性质，证明四边形是平行四边形，得出，证出，求出，得出，即可得出的长，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，在菱形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，设点P的运动时间为，当为等边三角形时，t的值为（　　） A. 1 B. 1.3 C. 1.5 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质，延长至点M，使，连接，易证，即可推出是等边三角形，列出方程即可解决问题． 【详解】解：如图，延长至点M，使，连接． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． 又∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，， ∴． ∵． ∴． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得：， 解得． 12. 如图，小明操纵无人机从树尖A飞向旗杆顶端C，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为___________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点A作于点E，连接，由勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E，连接， 由题意可知，米，，， 则， ∴ ∴在中，由勾股定理得：． ∴无人机飞行的最短距离为． 故答案为：15． 13. 如图，在中， 、相交于点,=10 cm,=8 cm, ,则=____cm 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出长，继而求出长，再利用勾股定理求出的长解题． 【详解】∵的对角线与相交于点， ∴，，， ∵，， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 14. 如图，在菱形中，，菱形的面积为30，对角线，交于点O．过点A作，交边于点E，连接，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，先根据菱形的性质求出，，然后直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】解：在菱形中，，菱形的面积为30， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 15. 如图，点P在长方形的边上，将长方形纸片沿折叠，顶点B与边上的点Q重合．若Q恰好是的中点，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，先理解四边形是长方形，得，结合Q恰好是的中点，故，由折叠性质得，根据勾股定理列式计算得，再把数值代入，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 则设， ∵Q恰好是的中点， ∴， ∵将长方形纸片沿折叠，顶点B与边上的点Q重合． ∴， 在中，， 即， ∴， 即（负值已舍去） ∴， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用二次根式混合运算法则计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式以及完全平方公式，能够熟练应用运算法则和掌握公式的应用是解题的关键． 17. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD， 求证：四边形OCED是菱形． 【答案】 证明：∵DE//AC，CE//BD， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD=AC=BD ∴四边形OCED是菱形． 【解析】 【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键 18. 如图，在中，，延长至D，使得，过点A，D分别作，，与相交于点E．下面是两位同学的对话： 小星：由题目的已知条件，若连接，则可 证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明． （1）请你选择一位同学的说法，并进行证明； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：①选择小星的说法，证明如下： 如图，连接， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 又，点D在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ； ②选择小红的说法，证明如下： 如图，连接，， 由①可知四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）选择小星的说法，先证四边形是平行四边形，推出，再证明四边形是矩形，即可得出；选择小红的说法，根据四边形是矩形，可得，根据四边形是平行四边形，可得，即可证明； （2）根据，可得，再用勾股定理解即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：如图，连接， ，， ， ， 在中，， ， 解得 即的长为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形和矩形的判定方法． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格、每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、、、D、E、F均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中以线段为边画一个直角； （2）在图②中以线段为边画一个面积为9的平行四边形； （3）在图③中以线段为边画一个正方形． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：如图所示，四边形即为所求； （3） 解：如图所示，四边形即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，正方形的判定： （1）如图所示，取格点M，连接，，即为所求； （2）如图所示，取格点N、P，连接，四边形即为所求； （3）如图所示，取格点，连接 ，四边形即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，在一条河的北侧有一个村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中．由于施工，点C到点A的路段暂时封闭，为方便村民取水，工程部决定在河边新建一个取水点H（点A，H，B在一条直线上），并修一条路．已知，，． （1）请判断是否为从村庄C到河边的最近路，并说明理由． （2）新修的这条路比原来的路线缩短了多少千米？ 【答案】（1） 是从村庄C到河边的最近路，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，是村庄到河边的最近路． （2）千米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、垂线段最短，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键． （1）先根据勾股定理的逆定理可得，再根据垂线段最短即可得； （2）设千米，则千米，在中，利用勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设千米，则千米， 由（1）已得：， 在中，，即， 解得， 即千米， ∴ 答：新修的这条路比原来的路线缩短了千米． 21. 先观察下面的运算过程，再按要求解答问题． ， ． （1）观察上面的运算过程，化简：__________． （2）已知n为正整数，化简：__________． （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3）9 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，解题的关键是根据题目中给出的数字表达式，找出规律，准确计算． （1）根据题目中给出的方法进行计算即可； （2）根据（1）中找出的规律，写出用含n（n 为正整数）的关系式表示的规律即可； （3）根据解析（2）找出的一般规律进行化简计算即可． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：原式 ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：原式 ． 22. 在中，D，E分别是，的中点，O是内一点．连接，． （1）如图1，G，F分别是，的中点，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，若O恰为和的交点，求证：，． 【答案】（1） 证明：∵D，E分别是的边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2） 证明：取，中点G，F，连接，，，， ∴，， 由（1）知，四边形是平行四边形， ∴，， ∴，． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，解题的关键是 （1）根据三角形中位线定理可得出，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证； （2）取，中点G，F，连接，，，，则，，由（1）知四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. （1）尝试探究： 如图1，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于F． ①求证：△CDE≌△CBF； ②过点C作∠ECF的平分线交AB于P，连接PE，请探究PE与PF的数量关系，并证明你的结论． （2）拓展应用： 如图2，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于F，连接EF交DB于M，连接CM并延长CM交AB于P，已知AB＝6，DE＝2，求PB的长． 【答案】 （1）①证明：如图1中， 在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝90°， ∵CF⊥CE， ∴∠ECF＝90°， ∴∠DCB＝∠ECF＝90° ∴∠DCE＝∠BCF， ∴△CDE≌△CBF（ASA）． ②结论：PE＝PF． 理由：如图1中，∵△CDE≌△CBF， ∴CE＝CF， ∵PC＝PC，∠PCE＝∠PCF， ∴△PCE≌△PCF（SAS）， ∴PE＝PF． （2）3． 【解析】 【分析】（1）先判断出∠CBF＝90°，再证明∠DCE＝∠BCF即可解决问题． （2）证明△PCE≌△PCF（SAS）即可解决问题． （3）如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE．证明△EMH≌△FMB（AAS），由EM＝FM，CE＝CF，推出PC垂直平分线段EF，推出PE＝PF，设PB＝x，则PE＝PF＝x+2，PA＝6﹣x，理由勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝6，∠A＝90°，∠EDH＝45°， ∵EH⊥AD， ∴∠DEH＝∠A＝90°， ∴EH∥AF，DE＝EH＝2， ∵△CDE≌△CBF， ∴DE＝BF＝2， ∴EH＝BF， ∵∠EHM＝∠MBF，∠EMH＝∠FMB， ∴△EMH≌△FMB（AAS）， ∵EM＝FM， ∵CE＝CF， ∴PC垂直平分线段EF， ∴PE＝PF，设PB＝x，则PE＝PF＝x+2，PA＝6﹣x， 在Rt△APE中，则有（x+2）2＝42+（6﹣x）2， ∴x＝3， ∴PB＝3． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期期中测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列根式是最简二次根式的（ ） A. B. C. D. 2. 如图，以表示2的点为圆心，以边长为1的正方形的对角线长为半径画弧与数轴交于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 3. 计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是2、3、3、6，则最大正方形E的面积是（ ） A. 14 B. 34 C. 58 D. 72 5. 已知是的边上的高，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，下列不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 7. 将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，连接，作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 10. 如图，在菱形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，设点P的运动时间为，当为等边三角形时，t的值为（　　） A. 1 B. 1.3 C. 1.5 D. 2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 12. 如图，小明操纵无人机从树尖A飞向旗杆顶端C，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为___________． 13. 如图，在中， 、相交于点,=10 cm,=8 cm, ,则=____cm 14. 如图，在菱形中，，菱形的面积为30，对角线，交于点O．过点A作，交边于点E，连接，则__________． 15. 如图，点P在长方形的边上，将长方形纸片沿折叠，顶点B与边上的点Q重合．若Q恰好是的中点，则的值为__________． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2） 17. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD， 求证：四边形OCED是菱形． 18. 如图，在中，，延长至D，使得，过点A，D分别作，，与相交于点E．下面是两位同学的对话： 小星：由题目的已知条件，若连接，则可 证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明． （1）请你选择一位同学的说法，并进行证明； （2）连接，若，求的长． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格、每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、、、D、E、F均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中以线段为边画一个直角； （2）在图②中以线段为边画一个面积为9的平行四边形； （3）在图③中以线段为边画一个正方形． 20. 如图，在一条河的北侧有一个村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中．由于施工，点C到点A的路段暂时封闭，为方便村民取水，工程部决定在河边新建一个取水点H（点A，H，B在一条直线上），并修一条路．已知，，． （1）请判断是否为从村庄C到河边的最近路，并说明理由． （2）新修的这条路比原来的路线缩短了多少千米？ 21. 先观察下面的运算过程，再按要求解答问题． ， ． （1）观察上面的运算过程，化简：__________． （2）已知n为正整数，化简：__________． （3）计算：． 22. 在中，D，E分别是，的中点，O是内一点．连接，． （1）如图1，G，F分别是，的中点，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，若O恰为和的交点，求证：，． 23. （1）尝试探究： 如图1，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于F． ①求证：△CDE≌△CBF； ②过点C作∠ECF的平分线交AB于P，连接PE，请探究PE与PF的数量关系，并证明你的结论． （2）拓展应用： 如图2，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于F，连接EF交DB于M，连接CM并延长CM交AB于P，已知AB＝6，DE＝2，求PB的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $