专题1.1 从自然数到有理数（课堂同步）-2025-2026学年七年级数学上册同步课堂与核心专题特训（浙教版2024）

专题1.1.从自然数到有理数 1. 通过生活实例认识正数和负数及0的特殊性； 2. 会用正负数表示相反意义的量；会用正负数表示允许偏差及相关运算； 3. 知道有理数的定义；会判断一个数是否为有理数；会对有理数进行分类； 4. 本节内容主要培养学生的符号意识、应用意识、创新意识等。 2 考点1.正数、负数、零的概念辨析与分类 2 考点2.“0”的意义与特殊性 3 考点3.正负数表示相反意义的量 4 考点4.正负数的应用1-时差（时间）、温差的相关运算 5 考点5.正负数的应用2-用正负数表示允许偏差 7 考点6.正负数的应用3-基准量的相关计算 8 考点7.有理数的相关概念辨析 9 考点8.有理数的分类 11 考点9.有理数中的新定义问题 12 15 考点1.正数、负数、零的概念辨析与分类 1）正数：像8848，36，，，1.31等，这样大于的数叫做正数。正数都大于。 2）负数：像-500，-60，-，-0.5等，这样的数叫做负数。负数都小于。 3）符号：一个数前面的“”，“”号叫做它的符号。 正数前面的“” 号可以省略，注意与表示是同一个正数．负数前面的“”号不可省略。 注：不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别。 例1．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法中正确的是（　　） A．不带“”的数都是正数 B．不存在既不是正数，也不是负数的数 C．如果a是正数，那么一定是负数 D．一个数不是正数就是负数 【答案】C 【详解】A．正数是大于0的数，与带不带“”无关，故这种说法不正确； B．0既不是正数，也不是负数，故这种说法不正确； C． a是正数，那么表示a的相反数，一定是负数，正确； D．一个数可以为正数，也可以为0，也可以是负数，故这种说法不正确．故选：C 例2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）在，，，，，这些数中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 【答案】 ，， ， 0 【详解】解：在，，，，，这些数中， 正数有，，；负数有，；0既不是正数也不是负数． 故答案为：，，；，；0． 变式1．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，，纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：“”所表示的数是，故选：． 变式2．（24-25七年级上·河北邢台·期中）下列四个数中，属于负数的是（   ） A．1.2 B．1 C． D．0 【答案】C 【详解】A、1.2是正数，A项错误；B、1是正数，B项错误； C、小于0，根据负数的定义：小于0的数是负数，所以是负数，C项正确； D、0既不是正数也不是负数，D项错误．故选：C． 考点2.“0”的意义与特殊性 1）的意义： 有时表示没有，比如文具盒中有支铅笔，表示没有铅笔； 有时是一个数，比如是一个确定的温度； 有时也作为基准，比如海拔高度为表示的是海平面的平均高度。 2）“0”的特殊性：（1）既不是正数，也不是负数；（2）是正数与负数的分界；（3）是自然数； 例1．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确； ②0除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误； ③0可以表示特定的意义，如，故③正确；④0既不是正数，也不是负数，故④错误， 综上所述：正确的有①③，共2个，故选：B． 变式1．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（   ） A．是一个确定的温度 B．海拔表示没有海拔 C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示 【答案】B 【详解】A．是一个确定的温度，本选项说法正确，不符合题意； B．海拔表示与海平面一样的高度‌，原选项说法错误，符合题意； C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻，本选项说法正确，不符合题意； D．在二进制中，0是基本的数字表示，本选项说法正确，不符合题意；故选：B． 变式2．（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【答案】A 【详解】解：0既不是正数也不是负数，是整数。故选：A． 考点3.正负数表示相反意义的量 用正数和负数表示具有相反意义的量： 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然。 比如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为。 “相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量。 例1．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）如果小明体重增加记作，那么小华体重减少应记作（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如果小明体重增加记作，那么小华体重减少应记作，故选：A． 变式1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）某河流的警戒水位是，高于警戒水位记作正数，低于警戒水位记作负数．下列说法错误的是（   ）． A．水位为时，记作 B．水位为时，记作 C．表示达到警戒水位 D．表示水位为 【答案】D 【详解】解：水位为时，记作，故A选项说法正确； 水位为时，记作，故B选项说法正确；表示达到警戒水位，故C选项说法正确； 表示水位为8.5m，故D选项说法不正确；故选：D． 变式2．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）如图所示，如果把张明前面第二个同学李利记作，那么表示张明周围的（    ）同学． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【详解】解：张明前面的第2个同学李利记作，表示张明后面的第一个同学丙， 考点4.正负数的应用1-时差（时间）、温差的相关运算 对于两个具有相反意义的量，究竟哪个为正，哪个为负，并不是固定的，而是人们在实际生活和生产中根据情况规定的。 在地理计算中，在通常将某一城市的时间定为标准时间0，比它早的时间用正数表示，比它晚的时间用负数表示。例如：纽约比北京时间晚13小时，如果将北京时间定位标准时间，因此纽约的时差为-13小时。 温差是指某一地点最高温度与最低温度的差值。通常将零摄氏度作为温度的基准，零上的温度规定为正数，零下的温度规定为负数。例如：某地气温记录为-3℃至7℃，温差为10℃。‌ 例1．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）：（带“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数） 城市 纽约 伦敦 巴黎 首尔 时差 奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（   ）． A．伦敦时间7月26日18时30分 B．北京时间7月27日3时30分 C．纽约时间7月26日14时30分 D．首尔时间7月27日5时30分 【答案】A 【详解】解：奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分， 因为，巴黎与北京的时差为， 所以，北京时间为7月26日19时30分小时，即7月27日2时30分，B选项错误； 因为，伦敦与北京的时差为， 所以，伦敦时间为7月27日2时30分小时，即7月26日18时30分，A选项正确； 因为，纽约与北京的时差为， 所以，纽约时间为7月27日2时30分小时，即7月26日13时30分，C选项错误； 因为，首尔与北京的时差为， 所以，首尔时间为7月27日2时30分小时，即7月27日3时30分，D选项错误；故选：A． 变式1．（2024·湖北十堰·七年级统考期末）如图是丹江口市2024年12月7日气象预报截图，预报显示当天最高气温6℃，最低气温-4℃，这一天我市的温差是______℃． 【答案】10 【详解】∵当天最高气温6℃，最低气温-4℃，∴这一天我市的温差是10（℃），故答案为:10． 变式2．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）： 城市 悉尼 纽约 时差/时 当北京10月9日23时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） A．10月10日1时；10月9日10时 B．10月10日1时；10月8日10时 C．10月9日21时；10月9日10时 D．10月9日21时；10月10日12时 【答案】A 【详解】解：悉尼的时间：10月9日23时小时10月10日1时； 纽约的时间：10月9日23时小时10月9日10时．故选A． 考点5.正负数的应用2-用正负数表示允许偏差 M±n的意义：最大值M+n，最小值：M-n。（注意M和n均为非负数）。 例1．（24-25七年级上·江苏南通·期末）某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，那么在这批合格的产品中随机拿出两个乒乓球，它们的直径最大相差为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：它们的直径最大相差：，故选：C． 变式1．（24-25七年级上·云南昆明·期末）机床厂工人加工一种直径为的机械零件，其中直径在范围内的零件为合格．质检员抽取5个机械零件进行检测，把每个机械零件直径超过的毫米数记作正数，不足的毫米数记作负数．5个机械零件对应的数分别是，，，，．其中不合格的零件有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：∵要求误差不大于，∴不合格的零件的尺寸有，共1个，故选：A． 变式2．（24-25七年级下·河南南阳·开学考试）某品牌酸奶外包装上标明“净含量：”；随机抽取四种口味的这种酸奶分别称重如下表．其中，净含量不合格的是（   ） 种类 原味 草莓味 香草味 巧克力味 净含量 294 300 299 305 A．原味 B．草莓味 C．香草味 D．巧克力味 【答案】A 【详解】解：由题意可得净含量合格的范围为， 则300，299，305均在该范围内，294不在该范围内，那么净含量不合格的是原味，故选：A． 考点6.正负数的应用3-基准量的相关计算 正负数的应用在基准量的相关计算中主要体现在通过设定基准量，将实际量与基准量进行比较，从而用正负数来表示差异。例如：某学校七年级8班同学的平均体重是50kg，若以此体重为基准，52kg记为+2kg，反之若某同学的体重记为-2.5kg，则他的实际体重为：47.5kg。‌ 例1．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）七年一班期末数学考试的平均成绩是分，小欢得了分，记作分，小乐的成绩记作分，则小乐得了（    ） A．83分 B．85分 C．91分 D．92分 【答案】B 【详解】解：依题意，小乐得了分，故选：B． 变式1．（24-25九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）化学实验课上，嘉嘉对4个小包装的同一药品进行了称量，以标准克数为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，下面4个选项分别是记录结果．接下来，需要选择实际克数最接近标准克数的药品来做试验，应选择（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A. 表示比标准克数多2克；B. 表示比标准克数少2克； C. 表示比标准克数多5克；D. 表示比标准克数多1克， 所以，示实际克数最接近标准克数的是.故选D 变式2．（23-24七年级上·河北沧州·期末）古人都讲“四十不惑”，如果以40岁为基，张明60岁，记为岁，那么王横25岁，记为（    ） A．25岁 B．岁 C．岁 D．岁 【答案】C 【详解】解：由题意得：王横25岁，记为岁，故选：C． 变式3．（2024·浙江·七年级统考期中）某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况： 班级 1班 2班 3班 4班 实际购书量（本） a 32 c 22 实际购书量与计划购书量的差值（本） b (1)直接写出___， ___；(2)根据记录的数据可知4个班实际购书共___本；(3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费．若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）∵由于4班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为本，∴一班实际购入本，二班实际购入数量与计划购入数量的差值本， 故答案依次为：，． （2）4个班一共购入数量为：本，故答案为： （3）∵，∴如果每次购买本，则可以购买次，且最后还剩本书需单独购买， ∴最低总花费为：元． 考点7.有理数的相关概念辨析 常见名词：非负数：正数和零统称为非负数；非正数：负数和零统称为非正数； 有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。有限小数和无限循环小数可化为分数，所以我们也把它们看成分数。 3）有理数：整数和分数统称为有理数。 例1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：是有理数，有6个．故选B． 例2．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：①可以写成分数形式的数称为有理数，故①正确； ②有理数不是正数就是负数或，故②不正确；③非负数就是正数和0，故③正确； ④没有最小的整数，故④不正确．正确的有①③；故选：C． 变式1．（24-25七年级上·天津·阶段练习）对于，下列说法不正确的是（   ） A．是非正数 B．是分数 C．是有理数 D．是非负整数 【答案】D 【详解】解：A、，非正数是指0和负数，故说法正确，不符合题意； B、是无限循环小数，是分数，故说法正确，不符合题意； C、是无限循环小数，是有理数，故说法正确，不符合题意； D、非负整数是指0和正整数，则不是非负整数，故说法错误，符合题意．故选：D． 变式2．（24-25七年级上·重庆·期末）在、、0、、2、3、4中，非负整数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：∵非负整数有：0，2、3、4，∴共有4个，故选：C． 变式3．（24-25七年级上·辽宁阜新·期末）下列说法正确的是（    ） A．正整数和负整数统称为整数 B．整数和分数统称为有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．零表示不存在，所以零不是有理数 【答案】B 【详解】解：、正整数、、负整数统称为整数，该选项说法错误，不合题意； 、整数和分数统称为有理数，该选项说法正确，符合题意； 、非负有理数就是和正有理数，该选项说法错误，不合题意； 、零是有理数，该选项说法错误，不合题意；故选：． 考点8.有理数的分类 有理数的分类： （1）（2） 例1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合：， 负数集合：｛ ｝…；正整数集合：｛ ｝…；分数集合：｛ ｝… 【答案】；； 【详解】解：负数集合为：； 正整数集合为：；分数集合为：； 故答案为：；；. 变式1．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在有理数，，，0，，，，中，可以写成负分数形式的数有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【详解】解：依题意，，，则可以写成负分数形式的数有2个，故选：D 变式2．（24-25七年级上·天津滨海新·期中）把下列各数填入相应的大括号里： ，，0，，，2005， 整数集合：{ …}；正数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}；负有理数集合：{ …}． 【答案】见解析 【详解】解：根据相关概念有：整数集合：{， 0， 2005， …}；正数集合：{ ，2005，…}； 负分数集合：{ ，， ， …}；负有理数集合：{，，，， …}． 变式3．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）将下列各数填在相应的括号里： ，，，0，，，20%，，，2024． 自然数：{ …}；分数：{ …}； 有理数：{ …}；非负数：{ …}； 【答案】见解析 【详解】解：自然数：{ 0， 2024 }； 分数：{ ，， }； 有理数：{ ，，0，，，20%，，2024．}； 非负数：{ ，0，，，20%，，2024． }． 考点9.有理数中的新定义问题 所谓新定义问题，就是在题目中给出一个从未接触过的新概念，要求我们通过认真阅读，现学现用，是近年来中考数学的新亮点、新题型，解决此类问题步骤如下：1）读懂题意（最关键）；2）根据新定义进行运算、推理、迁移。 例1．（2024·浙江·七年级校考阶段练习）我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数． (1)对于是不是有理数呢？我们不妨设，则，即，故，即，解得，由此得：无限循环小数 　 　有理数（填“是”或“不是”）； (2)请仿照（1）的做法，将写成分数的形式（写出过程）； (3)在中，属于非负有理数的是 　 　． 【答案】(1)是(2)(3)，0，，16.2 【详解】（1）由解题过程可知，无限循环小数是有理数，故答案为：是； （2）设，则，即，故，即，解得，即； （3）在中，属于非负有理数的是，0，，，故答案：，0，，． 变式1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）身份证号码含有很多个人信息：前6位是地区代码；位是出生日期；位是顺序码；第17位奇数表示男性，偶数表示女性；第18位是校验码．下面是小明的爷爷、爸爸、妈妈以及小明四人的身份证号码（*为最后一位隐藏的校验码），你认为小明的妈妈的身份证号码应该是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为小明的妈妈是一位女性，所以小明的妈妈的身份证号码的第17位数字是偶数， 观察四个选项可知，只有选项C符合，故选：C． 变式2．（2024七年级上·浙江·专题练习）阅读以下材料：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．例如0.666…的循环节是“6”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如0.1333…、0.2456456456…的循环节是“3”“456”，它们可以写作、，像这样的循环小数称为混循环小数． 阅读材料回答下列问题：（1）是 循环小数（填“纯”或“混”）；（2）的循环节是 ． 【答案】 纯 24 【详解】解：（1）由纯循环小数和混循环小数的概念可知：是纯循环小数，故答案是：纯； （2）的循环节是24，故答案为：24． 变式3．（24-25七年级上·山东日照·期末）如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常以“××D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”等，通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼睛进行视力矫正．下列是4位同学的验光记录，需要持续佩戴眼镜的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵表示近视50度，表示近视125度， 表示近视250度，表示近视75度，∴需要持续配戴眼镜的是．故选：C． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列关于“0”的叙述中，不正确的是（   ） A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是最小的自然数 D．不能写成分数的形式，不是有理数 【答案】D 【详解】解：A、表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界，故此选项正确，不符合题意； B、0既不是正数，也不是负数，故此选项正确，不符合题意； C、0是整数，也是最小的自然数，故此选项正确，不符合题意； D、0能写成分数的形式，是有理数，故此选项错误，符合题意；．故选：D． 2．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）某地的国际标准时间是指该地与格林尼治的时差，以下同一时刻4个城市的国际标准时间（“＋”表示当地时间比格林尼治时间早，“－”表示当地时间比格林尼治时间晚）：则这四个城市中最先进入2024年的城市是（    ） 城市 东京 北京 多伦多 纽约 国际标准时间 A．东京 B．北京 C．多伦多 D．纽约 【答案】A 【详解】根据正负数的意义，“”表示当地时间比格林尼治时间早，“”表示当地时间比格林尼治时间晚，，这四个城市中最先进入2024年的城市是东京，故选：A． 3．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）从踏入学校的那一刻起，我们就认识和使用数学，为了表示物体的个数或者顺序，产生了整数1、2、3…；为了表示“没有”引入了数0；为了表示具有相反意义的量，我们又引进了（    ） A．分数 B．有理数 C．负数 D．自然数 【答案】C 【详解】解：为了表示具有相反意义的量，我们又引进了负数，故选：C． 4．（2025·广西贵港·一模）若某件商品销售“盈利14元”记作元，则元表示（ ） A．亏损6元 B．亏损20元 C．盈利6元 D．盈利8元 【答案】A 【详解】解：若某件商品销售“盈利14元”记作元，则元表示亏损6元，故选：A． 5．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）下列说法正确的是（   ） ①在和之间没有正数；②在0与之间没有负数；③在和之间有很多个正分数；④在和之间没有正分数． A．③ B．④ C．①②③ D．③④ 【答案】A 【详解】解：∵在和之间有正数，例如，∴①不正确， ∵在0与之间有负数，例如，∴②不正确， ∵在和之间有很多个正分数，∴③正确， ∵在和之间有正分数，例如，∴④不正确，故选：A． 6．（2025·内蒙古·一模）如图，小球左端固定在弹簧上，若小球从静止位置向右，记作，则小球从静止位置向左，记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：小球从静止位置向右，记作， 小球从静止位置向左，记为，故选：B． 7．（24-25七年级上·河北邢台·期中）周末嘉嘉骑车从家出发，先向西骑行到达小明家，继续向西骑行到达琪琪家，然后向东骑行到达图书馆．则图书馆到小明家的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】规定向东为正方向，那么向西就为负方向．嘉嘉从家出发到小明家的行程可表示为，从小明家到琪琪家的行程为，从琪琪家到图书馆的行程为， 嘉嘉从家到图书馆的总行程为，这表明图书馆在嘉嘉家东边300m处， 已知小明家在嘉嘉家西边300m处，图书馆在嘉嘉家东边300m处，所以图书馆到小明家的距离是，故选：C． 8．（24-25七年级上·浙江·期末）如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：），其中不合格的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴零件的直径的合格范围是：零件的直径， ∵不在该范围之内，∴不合格的是C．故选：C． 9．（24-25七年级上·广东清远·期中）下列个数、、、、、每两个之间依次一个、，其中有理数有(   )个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：、、、、、每两个之间依次一个、， 其中有理数为、、、、，共5个，故选：C． 10．（24-25七年级上·福建福州·期中）在中，整数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：在中，整数有，共4个；故选：B 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）祖冲之，中国南北朝时期著名的数学家、天文学家．他是世界上将圆周率精确到小数点后第七位的第一人，这一研究发现比西方早了1100多年，他将圆周率的分数近似值称为密率，称为约率．请判断：约率是（   ） A．有理数 B．整数 C．有限小数 D．无限不循环小数 【答案】A 【详解】解：∵是分数，∴是有理数，故选：A． 12．（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．是最大的负有理数 B．有理数包括整数、分数和零 C．整数只包括正整数和负整数 D．没有最小的有理数 【答案】D 【详解】解：A、是最大的负整数，该选项错误，不合题意； B、有理数包括整数和分数，该选项错误，不合题意； C、整数包括了正整数、负整数和，该选项错误，不合题意； D、没有最小的有理数，该选项正确，符合题意；故选：D． 13．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列说法正确的是（    ） A．是负分数 B．是负数，但不是整数 C．0是正数 D．是分数但不是正数 【答案】A 【详解】解：A、是负分数，原说法正确，故此选项符合题意； B、是负数，也是整数，原说法错误，故此选项不符合题意； C、0不是正数，原说法错误，故此选项不符合题意； D、是分数，也是正数，原说法错误，故此选项不符合题意；故选：A． 14．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）下列有关0的说法中，正确的是（    ） A．0是最小的非负整数 B．0是正数 C．0是最小的有理数 D．0是分数 【答案】A 【详解】A、0是最小的非负整数，说法正确；B、0既不是正数也不是负数，故原说法错误； C、0不是最小的有理数，故原说法错误；D、0既不是正数也不是负数，故原说法错误；故选A． 15．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：在，，0，1.2，2，中，非负整数有0，2，共2个，故选：B． 16．（24-25七年级下·山西阳泉·开学考试）某种零件的直径的合格标准是(25±0.2)mm．经检查， 一个零件的直径是24.9 mm， 则该零件是 的（填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【详解】解：根据题意（mm），（mm）， 可知零件直径的合格标准在之间，所以24.9mm合格．故答案为：合格． 17．（24-25七年级上·浙江台州·期末）现在桌子上放着6枚一元硬币，全部正面朝上．做这样一个翻硬币游戏：每次翻转其中的4枚，最后把它们全部翻成反面朝上，则需要进行翻转的最少次数为 次． 【答案】3 【详解】解：用“正”表示正面朝上，，用“反”表示正面朝下，开始时∶正正正正正正 第一次∶反反反反正正第二次∶反正正正反正第三次∶反反反反反反， 至少翻转3次能使所有硬币都反面朝上，故答案为∶3． 18．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）在下列各数：7，，，，，，，0中，属于分数的有 个． 【答案】5 【详解】解：在下列各数：7，，，，，，，0中，属于分数的有，，，，，共5个，故答案为：5． 19．（24-25七年级上·四川乐山·期中）把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④0，⑤0.01，⑥，⑦，⑧3.14，⑨100． 正数集合{ }； 整数集合{ }； 负分数集合{ }；非负整数集合{ }． 【答案】正数集合{②⑤⑧⑨}；整数集合{③④⑥⑨}；负分数集合{①⑦}；非负整数集合{④⑨} 【详解】解：正数集合{②⑤⑧⑨}；整数集合{③④⑥⑨}； 负分数集合{①⑦}；非负整数集合{④⑨}． 20．（24-25七年级上·福建漳州·期中）把下列各数填入相应的集合中： ，，，，，，，． 正分数集合：{ …}；正整数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}；非正整数集合：{ …}． 【答案】，；，；，；，； 【详解】解：正分数集合：{，，…}；正整数集合：{，，…}； 负分数集合：{ ，，…}；非正整数集合：{ ，，…}． 故答案为：，；，；，；，； 21．（23-24七年级上·海南海口·期中）(1)把下列各数分别填入表示它所在的数集图里： ，，0，，，，，， (2)图中A区表示 数集，B区表示 数集． 【答案】(1)见详解； (2) 正整数，负整数； 【详解】（1）解：由题意可得， （2）解：由（1）可得，A是正整数集，B为负整数集， 故答案为：正整数，负整数． 22.（2024·江阴市·七年级期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合． （1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？ （2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）． （3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合． 【解答】解：（1）若a＝1，则﹣a+10＝9不在集合{1，2}内，∴{1，2}不是和谐集合． ∵-2+12＝10，1+9＝10，5+5＝10，∴{﹣2，1，5，9，12}是和谐集合． （2）根据和谐集合的定义可知a+10﹣a＝10，只要集合中两个数之和为10即可，∵1+9＝2+8＝3+7＝4+6， ∴{2，5，8}和{1，9，2，8，3，7}是和谐集合． （3）∵5+5＝10，∴要使素个数最少，则集合{5}，满足条件． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1.从自然数到有理数 1. 通过生活实例认识正数和负数及0的特殊性； 2. 会用正负数表示相反意义的量；会用正负数表示允许偏差及相关运算； 3. 知道有理数的定义；会判断一个数是否为有理数；会对有理数进行分类； 4. 本节内容主要培养学生的符号意识、应用意识、创新意识等。 2 考点1.正数、负数、零的概念辨析与分类 2 考点2.“0”的意义与特殊性 3 考点3.正负数表示相反意义的量 4 考点4.正负数的应用1-时差（时间）、温差的相关运算 5 考点5.正负数的应用2-用正负数表示允许偏差 7 考点6.正负数的应用3-基准量的相关计算 8 考点7.有理数的相关概念辨析 9 考点8.有理数的分类 11 考点9.有理数中的新定义问题 12 15 考点1.正数、负数、零的概念辨析与分类 1）正数：像8848，36，，，1.31等，这样大于的数叫做正数。正数都大于。 2）负数：像-500，-60，-，-0.5等，这样的数叫做负数。负数都小于。 3）符号：一个数前面的“”，“”号叫做它的符号。 正数前面的“” 号可以省略，注意与表示是同一个正数．负数前面的“”号不可省略。 注：不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别。 例1．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法中正确的是（　　） A．不带“”的数都是正数 B．不存在既不是正数，也不是负数的数 C．如果a是正数，那么一定是负数 D．一个数不是正数就是负数 例2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）在，，，，，这些数中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 变式1．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，，纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·河北邢台·期中）下列四个数中，属于负数的是（   ） A．1.2 B．1 C． D．0 考点2.“0”的意义与特殊性 1）的意义： 有时表示没有，比如文具盒中有支铅笔，表示没有铅笔； 有时是一个数，比如是一个确定的温度； 有时也作为基准，比如海拔高度为表示的是海平面的平均高度。 2）“0”的特殊性：（1）既不是正数，也不是负数；（2）是正数与负数的分界；（3）是自然数； 例1．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（   ） A．是一个确定的温度 B．海拔表示没有海拔 C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示 变式2．（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 考点3.正负数表示相反意义的量 用正数和负数表示具有相反意义的量： 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然。 比如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为。 “相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量。 例1．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）如果小明体重增加记作，那么小华体重减少应记作（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）某河流的警戒水位是，高于警戒水位记作正数，低于警戒水位记作负数．下列说法错误的是（   ）． A．水位为时，记作 B．水位为时，记作 C．表示达到警戒水位 D．表示水位为 变式2．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）如图所示，如果把张明前面第二个同学李利记作，那么表示张明周围的（    ）同学． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 考点4.正负数的应用1-时差（时间）、温差的相关运算 对于两个具有相反意义的量，究竟哪个为正，哪个为负，并不是固定的，而是人们在实际生活和生产中根据情况规定的。 在地理计算中，在通常将某一城市的时间定为标准时间0，比它早的时间用正数表示，比它晚的时间用负数表示。例如：纽约比北京时间晚13小时，如果将北京时间定位标准时间，因此纽约的时差为-13小时。 温差是指某一地点最高温度与最低温度的差值。通常将零摄氏度作为温度的基准，零上的温度规定为正数，零下的温度规定为负数。例如：某地气温记录为-3℃至7℃，温差为10℃。‌ 例1．（24-25七年级上·山西·期末）第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）：（带“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数） 城市 纽约 伦敦 巴黎 首尔 时差 奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（   ）． A．伦敦时间7月26日18时30分 B．北京时间7月27日3时30分 C．纽约时间7月26日14时30分 D．首尔时间7月27日5时30分 变式1．（2024·湖北十堰·七年级统考期末）如图是丹江口市2024年12月7日气象预报截图，预报显示当天最高气温6℃，最低气温-4℃，这一天我市的温差是______℃． 变式2．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）： 城市 悉尼 纽约 时差/时 当北京10月9日23时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） A．10月10日1时；10月9日10时 B．10月10日1时；10月8日10时 C．10月9日21时；10月9日10时 D．10月9日21时；10月10日12时 考点5.正负数的应用2-用正负数表示允许偏差 M±n的意义：最大值M+n，最小值：M-n。（注意M和n均为非负数）。 例1．（24-25七年级上·江苏南通·期末）某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，那么在这批合格的产品中随机拿出两个乒乓球，它们的直径最大相差为（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级上·云南昆明·期末）机床厂工人加工一种直径为的机械零件，其中直径在范围内的零件为合格．质检员抽取5个机械零件进行检测，把每个机械零件直径超过的毫米数记作正数，不足的毫米数记作负数．5个机械零件对应的数分别是，，，，．其中不合格的零件有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（24-25七年级下·河南南阳·开学考试）某品牌酸奶外包装上标明“净含量：”；随机抽取四种口味的这种酸奶分别称重如下表．其中，净含量不合格的是（   ） 种类 原味 草莓味 香草味 巧克力味 净含量 294 300 299 305 A．原味 B．草莓味 C．香草味 D．巧克力味 考点6.正负数的应用3-基准量的相关计算 正负数的应用在基准量的相关计算中主要体现在通过设定基准量，将实际量与基准量进行比较，从而用正负数来表示差异。例如：某学校七年级8班同学的平均体重是50kg，若以此体重为基准，52kg记为+2kg，反之若某同学的体重记为-2.5kg，则他的实际体重为：47.5kg。‌ 例1．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）七年一班期末数学考试的平均成绩是分，小欢得了分，记作分，小乐的成绩记作分，则小乐得了（    ） A．83分 B．85分 C．91分 D．92分 变式1．（24-25九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）化学实验课上，嘉嘉对4个小包装的同一药品进行了称量，以标准克数为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，下面4个选项分别是记录结果．接下来，需要选择实际克数最接近标准克数的药品来做试验，应选择（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24七年级上·河北沧州·期末）古人都讲“四十不惑”，如果以40岁为基，张明60岁，记为岁，那么王横25岁，记为（    ） A．25岁 B．岁 C．岁 D．岁 变式3．（2024·浙江·七年级统考期中）某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况： 班级 1班 2班 3班 4班 实际购书量（本） a 32 c 22 实际购书量与计划购书量的差值（本） b (1)直接写出___， ___；(2)根据记录的数据可知4个班实际购书共___本；(3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费．若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用． 考点7.有理数的相关概念辨析 常见名词：非负数：正数和零统称为非负数；非正数：负数和零统称为非正数； 有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。有限小数和无限循环小数可化为分数，所以我们也把它们看成分数。 3）有理数：整数和分数统称为有理数。 例1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 例2．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式1．（24-25七年级上·天津·阶段练习）对于，下列说法不正确的是（   ） A．是非正数 B．是分数 C．是有理数 D．是非负整数 变式2．（24-25七年级上·重庆·期末）在、、0、、2、3、4中，非负整数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式3．（24-25七年级上·辽宁阜新·期末）下列说法正确的是（    ） A．正整数和负整数统称为整数 B．整数和分数统称为有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．零表示不存在，所以零不是有理数 考点8.有理数的分类 有理数的分类： （1）（2） 例1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合：， 负数集合：｛ ｝…；正整数集合：｛ ｝…；分数集合：｛ ｝… 变式1．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在有理数，，，0，，，，中，可以写成负分数形式的数有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 变式2．（24-25七年级上·天津滨海新·期中）把下列各数填入相应的大括号里： ，，0，，，2005， 整数集合：{ …}；正数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}；负有理数集合：{ …}． 变式3．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）将下列各数填在相应的括号里： ，，，0，，，20%，，，2024． 自然数：{ …}；分数：{ …}； 有理数：{ …}；非负数：{ …}； 考点9.有理数中的新定义问题 所谓新定义问题，就是在题目中给出一个从未接触过的新概念，要求我们通过认真阅读，现学现用，是近年来中考数学的新亮点、新题型，解决此类问题步骤如下：1）读懂题意（最关键）；2）根据新定义进行运算、推理、迁移。 例1．（2024·浙江·七年级校考阶段练习）我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数． (1)对于是不是有理数呢？我们不妨设，则，即，故，即，解得，由此得：无限循环小数 　 　有理数（填“是”或“不是”）； (2)请仿照（1）的做法，将写成分数的形式（写出过程）； (3)在中，属于非负有理数的是 　 　． 变式1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）身份证号码含有很多个人信息：前6位是地区代码；位是出生日期；位是顺序码；第17位奇数表示男性，偶数表示女性；第18位是校验码．下面是小明的爷爷、爸爸、妈妈以及小明四人的身份证号码（*为最后一位隐藏的校验码），你认为小明的妈妈的身份证号码应该是（  ） A． B． C． D． 变式2．（2024七年级上·浙江·专题练习）阅读以下材料：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．例如0.666…的循环节是“6”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如0.1333…、0.2456456456…的循环节是“3”“456”，它们可以写作、，像这样的循环小数称为混循环小数． 阅读材料回答下列问题：（1）是 循环小数（填“纯”或“混”）；（2）的循环节是 ． 变式3．（24-25七年级上·山东日照·期末）如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常以“××D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”等，通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼睛进行视力矫正．下列是4位同学的验光记录，需要持续佩戴眼镜的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列关于“0”的叙述中，不正确的是（   ） A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是最小的自然数 D．不能写成分数的形式，不是有理数 2．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）某地的国际标准时间是指该地与格林尼治的时差，以下同一时刻4个城市的国际标准时间（“＋”表示当地时间比格林尼治时间早，“－”表示当地时间比格林尼治时间晚）：则这四个城市中最先进入2024年的城市是（    ） 城市 东京 北京 多伦多 纽约 国际标准时间 A．东京 B．北京 C．多伦多 D．纽约 3．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）从踏入学校的那一刻起，我们就认识和使用数学，为了表示物体的个数或者顺序，产生了整数1、2、3…；为了表示“没有”引入了数0；为了表示具有相反意义的量，我们又引进了（    ） A．分数 B．有理数 C．负数 D．自然数 4．（2025·广西贵港·一模）若某件商品销售“盈利14元”记作元，则元表示（ ） A．亏损6元 B．亏损20元 C．盈利6元 D．盈利8元 5．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）下列说法正确的是（   ） ①在和之间没有正数；②在0与之间没有负数；③在和之间有很多个正分数；④在和之间没有正分数． A．③ B．④ C．①②③ D．③④ 6．（2025·内蒙古·一模）如图，小球左端固定在弹簧上，若小球从静止位置向右，记作，则小球从静止位置向左，记作（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·河北邢台·期中）周末嘉嘉骑车从家出发，先向西骑行到达小明家，继续向西骑行到达琪琪家，然后向东骑行到达图书馆．则图书馆到小明家的距离是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·浙江·期末）如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：），其中不合格的是（  ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·广东清远·期中）下列个数、、、、、每两个之间依次一个、，其中有理数有(   )个 A．3 B．4 C．5 D．6 10．（24-25七年级上·福建福州·期中）在中，整数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）祖冲之，中国南北朝时期著名的数学家、天文学家．他是世界上将圆周率精确到小数点后第七位的第一人，这一研究发现比西方早了1100多年，他将圆周率的分数近似值称为密率，称为约率．请判断：约率是（   ） A．有理数 B．整数 C．有限小数 D．无限不循环小数 12．（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．是最大的负有理数 B．有理数包括整数、分数和零 C．整数只包括正整数和负整数 D．没有最小的有理数 13．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列说法正确的是（    ） A．是负分数 B．是负数，但不是整数 C．0是正数 D．是分数但不是正数 14．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）下列有关0的说法中，正确的是（    ） A．0是最小的非负整数 B．0是正数 C．0是最小的有理数 D．0是分数 15．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（24-25七年级下·山西阳泉·开学考试）某种零件的直径的合格标准是(25±0.2)mm．经检查， 一个零件的直径是24.9 mm， 则该零件是 的（填“合格”或“不合格”）． 17．（24-25七年级上·浙江台州·期末）现在桌子上放着6枚一元硬币，全部正面朝上．做这样一个翻硬币游戏：每次翻转其中的4枚，最后把它们全部翻成反面朝上，则需要进行翻转的最少次数为 次． 18．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）在下列各数：7，，，，，，，0中，属于分数的有 个． 19．（24-25七年级上·四川乐山·期中）把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④0，⑤0.01，⑥，⑦，⑧3.14，⑨100． 正数集合{ }； 整数集合{ }； 负分数集合{ }；非负整数集合{ }． 20．（24-25七年级上·福建漳州·期中）把下列各数填入相应的集合中： ，，，，，，，． 正分数集合：{ …}；正整数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}；非正整数集合：{ …}． 21．（23-24七年级上·海南海口·期中）(1)把下列各数分别填入表示它所在的数集图里： ，，0，，，，，， (2)图中A区表示 数集，B区表示 数集． 22.（2024·江阴市·七年级期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合． （1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？ （2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）． （3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$