专题17 代数式章末易错压轴题型（14易错+8压轴）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题17 代数式章末易错压轴题型 （14易错+8压轴） 易错题型一 用字母表示数 1．（代数式应用）一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是6，表示这个两位数的式子是（    ） A． B． C． D． 2．人们学习数学，通常是从学习数学符号开始的．现代数学符号系统的建立经历了长期的演变和发展．我国清朝学堂课本《代徽积拾级》中用“”来表示相当于的代数式，按此方法，符号“”所表示的代数式为 ． 3．用字母表示图中阴影部分的面积． 易错题型二 代数式 4．用代数式表示“m的3倍与n的差的平方”，正确的是（　   　） A． B． C． D． 5．如图是一面墙与篱笆围成的长方形园子，园子的宽为a米，篱笆的总长度为b米，门的宽度为1米，则园子的长是 米（用含a，b的代数式表示）． 6．如图，正方形的边长为． (1)根据图中数据，用含，的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 易错题型三 代数式的值 7．已知，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 8．已知当时，的值为3，则当时，的值为 ． 9．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． (1)直接写出、、m的值； (2)求的值． 易错题型四 单项式 10．在式子，，，，，，，中，单项式共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 11．单项式的系数是 ，次数为 ． 12．若是关于x，y的五次单项式且系数为最小的正整数，试求m，n的值． 易错题型五 多项式 13．下列代数式，，，中，多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．代数式2x－y，ab，，，中，多项式的个数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 15．下列各式①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中，是整式的有 ，是单项式的有 ，是多项式的有 ．（填序号） 易错题型六 单项式规律题 16．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 17．已知多项式，则第100项是 ，第2007项是 ，第n项是 ． 18．【观察与发现】 ，，，，，，…， (1)直接写出：第7个单项式是______；第8个单项式是______； (2)第2n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 易错题型七 将多项式按某个字母升幂、降幂排列 19．代数式是（   ） A．按x降幂排列 B．按x升幂排列 C．按y降幂排列 D．按y升幂排列 20．（1）将多项式按的升幂排列为 ． （2）把多项式按的降幂排列为 ． 21．已知多项式是关于的六次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求的值； (2)请将该多项式按的降幂重新排列． 易错题型八 整式的判断 22．在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，整式是（　　） A．⑥ B．①②⑥ C．①②③④ D．①②③⑥ 23．将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． (1)单项式：___________； (2)整式：___________； (3)二项式：___________． 24．在代数式，0，中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ 易错题型九 合并同类项 25．下列各组式子中为同类项的是（   ） A．x与y B．与 C．与 D．与 26．写出单项式的一个同类项： ． 27．阅读材料并解答问题． 类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“弱同类项”，例如：与是“弱同类项”． (1)给出下列四个单项式：①，②，③，④．其中，与是“弱同类项”的是________（填序号）． (2)若与是“弱同类项”，求m的值． (3)已知C是关于x，y的多项式，，若C的任意两项都是“弱同类项”，求n的值． 易错题型十 去括号、添括号 28．去括号后的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 29．在下列各式的括号内填上适当的项： （1） ； （2） ]； （3） ]． 30．我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简和求值中有着广泛的应用．请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将合并的结果为_____ (2)已知，求的值． (3)已知，，，求的值． 易错题型十一 整式的加减运算 31．化简： (1)； (2)． 32．化简： (1)； (2)． 33．化简： (1)； (2)． 易错题型十二 整式的加减中的化简求值 34．先化简，再求值：，其中， 35．已知，． (1)化简：； (2)当，时，求代数式的值． 36．已知， (1)求． (2)当，时，求的值． 易错题型十三 整式加减中的无关型问题 37．已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，求的值（  ） A． B．1 C．3 D． 38．若多项式的值与的值无关，则的值为 ． 39．已知：关于的多项式的值与的取值无关． (1)求，的值； (2)求的值． 易错题型十四 整式加减的应用 40．如图，1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，其中标注1、2的正方形边长分别为、，请你解答下列问题： (1)用含、的代数式填空： 第3个正方形的边长＝______； 第5个正方形的边长______． (2)当时，求第6个正方形的面积． 41．如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为b米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的长方形小路，剩余部分种草． (1)小路的面积为______平方米，种花的面积为______平方米，种草的面积为______平方米；（结果保留π） (2)当，时，请计算该长方形场地上种草的面积（π取3.14，结果精确到十分位）． 42．如图，四边形与四边形是两个边长分别为，的正方形． (1)用含，的代数式表示三角形的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 压轴题型一 代数式求值综合 43．数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： （1）若，则 ； （2）已知，，求代数式的值； （3）当，时，代数式的值为8，则当，时，求代数式的值． 44．已知． （1）求的值； （2）求的值． 45．已知代数式，当时，该代数式的值为-1. （1）求的值． （2）已知当时，该代数式的值为-1，求的值． （3）已知当时，该代数式的值为9，试求当时该代数式的值． （4）在第（3）小题已知条件下，若有成立，试比较与的大小． 压轴题型二 数字类规律探索 46．如图，动点从到原点距离为的点处向原点方向跳动，第一次跳到的中点处，第二次从点跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，第次跳动后，该动点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 47．观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：． 按上述规律，回答以下问题： （1）用含的代数式表示第个等式： ． （2）计算： ． 48．观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 压轴题型三 图形类规律探索 49．正整数按如图的规律排列，则2022位于哪一行，哪一列（　　） A．第45行 第4列 B．第4行 第45列 C．第46行 第3列 D．第3行 第46列 50．将长度相同的木棒按如图所示的方式摆放，图1中有5根木棒，图2中有9根木棒，图3中有13根木棒，…，按此规律摆放下去，则图9中木棒的根数是 ． 51．小明将枚硬币任意摆放在图中的点上（每个点的硬币个数不限，可以为）．    (1)对于图定义一次“操作”：从一个至少有2枚硬币的点取走枚硬币，并分别在与此点相邻的点上各放置枚硬币．对小明的每种摆法，若点处无硬币，则总能经过若干次该“操作”，使点处有硬币，求的最小值． (2)对于图定义一次“操作”：从一个至少有枚硬币的点取走枚硬币，若该点有两个相邻点，就分别在每个相邻的点处各放置枚硬币；若该点只有一个相邻点，就只在该相邻点处放置枚硬币．对小明的每种摆法，若点处无硬币，则总能经过若干次该“操作”，使点处有硬币，求的最小值． 压轴题型四 整式的加减运算综合 52．计算： (1)； (2) 53．若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个有理数互为相依数．例如：有理数与3，因为，所以有理数与3是互为相依数． (1)判断下列两组有理数是否互为相依数，并说明理由；①与；②与； (2)若有理数与互为相依数，与互为相反数，求式子的值； 54．观察下列两个等式：给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“”为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． (1)通过计算判断数对是不是“共生有理数对”； (2)若是“共生有理数对”，则______“共生有理数对”（填“是”或“不是”）； (3)如果是“共生有理数对”，且，求的值． 压轴题型五 整式加减中的化简求值 55．数学中运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则________； (2)已知，求代数式的值． 56．小明在数学探究活动中遇到这样一个问题：A、B分别表示两个多项式，且满足． (1)若当时，B的值为12，求此时A的值； (2)若，当时，求A的值． 57．阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是 例如： (1)按照这个规定，请你计算的值． (2)按照这个规定，请你计算当时，的值． 压轴题型六 整式加减中的无关型问题 58．聪聪做一道题“已知两个多项式，，计算“”．聪聪误将看作，求得结果是．若，请解决下列问题： (1)求出； (2)若的值与的取值无关，求的值． 59．【阅读理解】已知；若A值与字母x的取值无关，则，解得． ∴当时，A值与字母x的取值无关． 【知识应用】（1）已知，． ①用含m，x的式子表示；②若的值与字母m的取值无关，求x的值； 【知识拓展】（2）年末，商场计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元；乙种羽绒服每件利润为300元．购进羽绒服后，商场决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服不变．设购进甲种羽绒服x件，当销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时，求a的值． 60．老师写出一个整式（其中、为常数，且表示为系数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算 (1)甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为．则甲同学给出、的值分别是______，______； (2)乙同学给出了，，请按照乙同学给出的数值化简整式； (3)丙同学给出一组数，最后计算结果与的取值无关，请直接写出计算结果． 压轴题型七 整式加减中的无关型问题（几何图形） 61．【问题呈现】 （1）已知代数式的值与x的值无关，求m的值； 【类比应用】 （2）将7张长为a，宽为b的小长方形纸片（如图①），按如图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的两部分的面积分别记为，，当的长度变化时，的值始终不变，求a与b的数量关系． 62．如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒．    (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为______，点与点的中点为，则点表示的数为______；运动秒后，点表示的数为______（用含的式子表示）； (2)若秒钟过后，点是线段的中点，求值； (3)当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 63．中考新考法·过程性学习七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求值； (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形纸片，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． (4) 压轴题型八 整式加减的应用综合 64．已知点P，点，点是数轴上的三个点．若点到原点的距离等于点、点到原点距离的和的一半，则称点P为点和点的“关联点”． (1)已知点表示，点B表示，下列各数，，，在数轴上所对应的点分别是，，，，其中是点和点的“关联点”的是 ； (2)已知点表示，点表示，点P为点和点的“关联点”，且点到原点的距离为，求的值； (3)已知点表示数，将点沿数轴正方向移动个单位长度，得到点．当点为点和点的“关联点”时，我们把点P到点B的距离记为，点P到点A的距离记为，直接写出的值是______________． 65．数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． （1）【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是______，点与点之间的距离______，点与点的中点表示的数是______，且在图1的数轴上标出点． （2）【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点M的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点M关于点P的二次跳跃点．例，如图2所示： 【初步理解】 ①若点表示的数是，点表示的数是5，则点的一次跳跃点表示的数是______，点关于点的二次跳跃点表示的数是______，线段的长度为______． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点分别表示有理数（其中），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 66．问题的提出：“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．图（1）表示，运算结果为． （1）用示例的方法，计算，要求在图（2）中对应位置标数． 问题的拓展： （2）如图（3）一个百位为1的三位数，十位和个位数字未知，与23相乘，请直接写出与？的值； （3）在图（4）中按图（1）示例完成（2）的计算． 延伸与运用： （4）图（5）表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图（5）中现有数据进行推断，运算结果可以用含a的式子表示为____________．（直接写出结果） 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 代数式章末易错压轴题型 （14易错+8压轴） 易错题型一 用字母表示数 1．（代数式应用）一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是6，表示这个两位数的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，解决问题的关键是读懂题意，掌握两位数=十位数字个位数字． 根据：两位数=十位数字×10+个位数字，代入数值，解答即可． 【详解】解：； 故选：D． 2．人们学习数学，通常是从学习数学符号开始的．现代数学符号系统的建立经历了长期的演变和发展．我国清朝学堂课本《代徽积拾级》中用“”来表示相当于的代数式，按此方法，符号“”所表示的代数式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查用字母表示代数式的方法，理解题目含义，掌握字母表示代数式的方法是解题的关键．根据材料提示可知，甲，乙，丙，丁，┈对应的字母是；一，二，三，四，五，┈┈对应的数字是；表示减法，表示加法；的分子与分母交换位置是我们所学的代数式形式，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，“”的代数式为． 故答案为：． 3．用字母表示图中阴影部分的面积． 【答案】（1）ab﹣bx；（2）R2πR2 【分析】（1）读图可得，阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣小长方形的面积； （2）阴影部分的面积＝正方形的面积﹣扇形的面积． 【详解】解：（1）阴影部分的面积＝ab﹣bx； （2）阴影部分的面积＝R2πR2． 【点睛】本题考查代数式的应用，解决问题的关键是看懂图，找到所求的阴影部分的面积和各部分之间的等量关系． 易错题型二 代数式 4．用代数式表示“m的3倍与n的差的平方”，正确的是（　   　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，根据“m的3倍与n的差的平方”，得，即可作答． 【详解】解：依题意，用代数式表示“m的3倍与n的差的平方”， 则， 故选：B 5．如图是一面墙与篱笆围成的长方形园子，园子的宽为a米，篱笆的总长度为b米，门的宽度为1米，则园子的长是 米（用含a，b的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，用篱笆门的长度和减去园子的2个宽即可． 【详解】解：由题意，得 园子的长是米． 故答案为：． 6．如图，正方形的边长为． (1)根据图中数据，用含，的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查了列代数式和代数式的求值．列出代数式是解决本题的关键． （1）用正方形的面积两个三角形的面积即可； （2）把，代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：当，时， ． 易错题型三 代数式的值 7．已知，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，先将原代数式变形为，再整体代入得，再变形得，再一次整体代入即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 8．已知当时，的值为3，则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，把a、b的关系式看作一个整体参与运算是解题的关键． 把代入代数式求出a、b的关系式，再把代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：当时，， 整理得，， 当时， ． 故答案为：． 9．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． (1)直接写出、、m的值； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题考查了有理数的混合运算，涉及到相反数、倒数、绝对值的知识，正确把握相关定义是解题关键． （1）直接利用互为相反数以及互为倒数和绝对值的定义分别分析得出答案； （2）利用（1）中所求，代入得出答案． 【详解】（1）解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2， ∴，，； （2）解：由（1）可知，，； 当时， ； 当时， ； 综上所述，的值为或． 易错题型四 单项式 10．在式子，，，，，，，中，单项式共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义逐一判断即可，解题的关键是正确理解表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 【详解】解：式子，，，，，是单项式，共个， 故选：． 11．单项式的系数是 ，次数为 ． 【答案】 / 3 【分析】本题主要考查了单项式的系数、次数的定义，根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数即可得出答案． 【详解】解：单项式的系数是，次数为3， 故答案为：，3． 12．若是关于x，y的五次单项式且系数为最小的正整数，试求m，n的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查的是单项式的概念，掌握单项中的数字因数叫单项式的系数，各字母指数和叫单项式的系数是解题的关键． 根据单项式的次数和系数的定义可知，求得m、n的值即可． 【详解】解：是关于，的五次单项式，且系数为1， ，． 解得：，． 易错题型五 多项式 13．下列代数式，，，中，多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的定义，熟练掌握几个单项式的和为多项式，是解答本题的关键． 利用多项式的定义分析每一个代数式，，为多项式，然后选出正确答案． 【详解】解：根据多项式的定义， 是单项式，是多项式，是多项式，不是多项式， 故以上代数式中，多项式有2个． 故选：． 14．代数式2x－y，ab，，，中，多项式的个数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】几个单项式的和叫做多项式，结合所给代数式进行判断即可． 解：多项式有：2x﹣y，，共2个． 故选：B． 15．下列各式①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中，是整式的有 ，是单项式的有 ，是多项式的有 ．（填序号） 【答案】 ①②③④⑥⑦； ①②⑥； ③④⑦；． 【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式；多项式：若干个单项式的代数和组成的式子。 多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。 不含字母的项叫做常数；整式；单项式和多项式统称为整式． 【详解】解：整式有：，，，，， 单项式有：，， 多项式有：，， 是不等式，是分式，故不属于整式； 故答案为：①②③④⑥⑦；①②⑥；③④⑦． 【点睛】本题考查整式、单项式、多项式的概念，解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念紧扣概念作出判断． 易错题型六 单项式规律题 16．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找出给出的一列单项式的系数和次数的规律即可解答. 【详解】解：因为给出的一列单项式的系数分别是，次数的规律是从1开始的连续的奇数， 所以第个单项式是. 故选：B. 【点睛】本题考查了单项式的规律探寻，根据给出的单项式找出系数和次数的规律是解题的关键. 17．已知多项式，则第100项是 ，第2007项是 ，第n项是 ． 【答案】 （为奇数）或（为偶数） 【分析】本题考查单项式规律探究，总结归出规律是解题的关键，难度不大． 各项的符号一负一正相隔出现，第奇数项含字母，系数是负数，指数是系数的绝对值；第偶数项含字母，系数是正数，指数是系数的绝对值，分情况讨论：当为奇数；当为偶数． 【详解】解：， 第100项是，第2007项是， 分情况讨论： ①当为奇数，第项是； ②当为偶数，第项是． 故答案为：；；（为奇数）或（为偶数）． 18．【观察与发现】 ，，，，，，…， (1)直接写出：第7个单项式是______；第8个单项式是______； (2)第2n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【答案】(1)； (2)；系数为：，次数为： 【分析】（1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解； （2）根据题意可得出通用规律，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知： 单项式的系数依次为： 的指数依次为： 故第7个单项式是： 第8个单项式是： （2）解：由（1）可得出第个单项式为： 故第个单项式是：，它的系数为：，次数为： 【点睛】本题是以单项式为背景的规律题目．确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键． 易错题型七 将多项式按某个字母升幂、降幂排列 19．代数式是（   ） A．按x降幂排列 B．按x升幂排列 C．按y降幂排列 D．按y升幂排列 【答案】A 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式降幂，升幂排序的定义． 根据降幂排序和升幂排列的定义，依据不同的字母进行排列． 【详解】解：按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，降幂则相反，常数项应该放在最前面， ∵多项式中，的指数为：，y的指数为：， ∴按x降幂排列， 故选：A． 20．（1）将多项式按的升幂排列为 ． （2）把多项式按的降幂排列为 ． 【答案】 【分析】（1）由题意先分清多项式的各项，然后依据多项式升幂排列进行排列即可； （2）由题意先分清多项式的各项，然后依据多项式降幂排列进行排列即可． 【详解】解：（1）将看作数，把看作未知数， 按照的次数从低到高排列为， 故答案为：； （2）多项式按的降幂排列为， 故答案为：． 【点睛】本题考查多项式的降幂排列，注意掌握把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 21．已知多项式是关于的六次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求的值； (2)请将该多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式及单项式的相关概念，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，熟练掌握相关概念是解此题的关键． （1）根据题意得出，，求出的值即可； （2）由（1）得出原多项式为：，再重新排列即可得到答案． 【详解】（1）解：多项式是关于的六次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同， ，， 解得：，； （2）解：， 原多项式为：， 将该多项式按的降幂重新排列为：． 易错题型八 整式的判断 22．在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，整式是（　　） A．⑥ B．①②⑥ C．①②③④ D．①②③⑥ 【答案】D 【分析】本题考查了整式，根据整式的定义：单项式和多项式统称为整式，逐个进行判断即可求解，掌握整式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是单项式，是整式； ②是多项式，是整式； ③是单项式，是整式； ④不是整式； ⑤不是整式； ⑥是多项式，是整式； 综上，整式是①②③⑥， 故选：． 23．将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． (1)单项式：___________； (2)整式：___________； (3)二项式：___________． 【答案】(1)③④⑨ (2)①②③④⑤⑨ (3)②⑤ 【分析】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式，二项式的定义． （1）根据单项式的定义即可求解． （2）根据整式的定义即可求解． （3）根据二项式的定义即可求解． 【详解】（1）单项式有：③，④0，⑨； 故答案为：③④⑨． （2）整式有：①，②，③，④0，⑤，⑨； 故答案为：①②③④⑤⑨； （3）二项式有：②，⑤； 故答案为：②⑤． 24．在代数式，0，中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ 【答案】单项式：，，0；多项式：，；整式：，，，0， 【分析】整式是代数式的一部分，在代数式中可以包含加，减，乘，除，乘方五种运算，但在整式中除数（分母）不能含有字母，整式分为单项式和多项式． 【详解】解：分母中含有字母，不属于整式， 单项式：，，0； 多项式：，； 整式：，，，0，． 【点睛】本题主要考查单项式、多项式和整式的概念．掌握整式是分母中不能含字母的代数式是解决此题的关键． 易错题型九 合并同类项 25．下列各组式子中为同类项的是（   ） A．x与y B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关． 根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，逐项判定即可． 【详解】解：A、与字母不同不是同类项，故此选项不符合题意； B、与相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； C、与所含字母相同且相同字母的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意； D、与所含字母不全相同，不是同类项，故此选项不符合题意； 故选：C． 26．写出单项式的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了同类项的概念，根据同类项的概念逐项判断即可，解题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：（）所含字母相同；（）相同字母的指数相同． 【详解】解：根据同类项的概念得，单项式的一个同类项可以为， 故答案为：．（答案不唯一） 27．阅读材料并解答问题． 类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“弱同类项”，例如：与是“弱同类项”． (1)给出下列四个单项式：①，②，③，④．其中，与是“弱同类项”的是________（填序号）． (2)若与是“弱同类项”，求m的值． (3)已知C是关于x，y的多项式，，若C的任意两项都是“弱同类项”，求n的值． 【答案】(1)②③④ (2) (3)或 【分析】本题考查新定义，绝对值，单项式和同类项，理解新定义是解题的关键． （1）根据“弱同类项”的概念判断即可； （2）根据“弱同类项”的概念即可确定m的值； （3）根据“弱同类项”的概念即可确定n的值； 【详解】（1）解：(1)∵， ∴①与不是“弱同类项”， ∵，， ∴②与是“弱同类项”， ∵，， ∴③与是“弱同类项”， ∵，， ∴④与是“弱同类项”， ∴②③④与是“弱同类项”， 故答案为：②③④； （2）∵与是“弱同类项”， ∴，，， ∴，，； （3）∵，当C的任意两项都是“弱同类项”， 与一定是弱同类项， 当和是弱同类项时，、、， 当和是弱同类项时  、、， ∴或． 易错题型十 去括号、添括号 28．去括号后的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了去括号．去括号法则：括号前是正号时去掉括号和它前面的正号，括号里的各项符号不变；括号前是负号时去掉括号和它前面的负号，括号里的各项符号改变．解决本题的关键是根据去括号法则去掉括号即可． 【详解】解： 故选：A． 29．在下列各式的括号内填上适当的项： （1） ； （2） ]； （3） ]． 【答案】 【分析】本题考查的是一道关于添括号的题目，解题的关键是掌握添括号时符号的变化．对于，所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都不变符号，据此写出括号里的式子；对于其余几个式子，所添括号前面是“”号的，括到括号里的各项都改变符号，据此进行填空． 【详解】解：根据添括号法则可得： （1）； 故答案为：；； （2）； 故答案为：；； （3）． 故答案为：；． 30．我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简和求值中有着广泛的应用．请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将合并的结果为_____ (2)已知，求的值． (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，去括号和添括号： （1）仿照题意把看作一个整体，根据合并同类项的计算法则求解即可； （2）根据，利用整体代入法求解即可； （3）把所求式子去括号，变形为，利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 易错题型十一 整式的加减运算 31．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，合并同类项： （1）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． （1）合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ， ． 33．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减混合运算，熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键． （1）合并同类项求解即可； （2）先去括号，再合并同类项求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 易错题型十二 整式的加减中的化简求值 34．先化简，再求值：，其中， 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 35．已知，． (1)化简：； (2)当，时，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）把A和B整体代入，再去括号，合并同类项即可； （2）把，代入（1）中化简的结果进行计算即可． 【详解】（1）解：把，代入得 ； （2）解：当时， ． 36．已知， (1)求． (2)当，时，求的值． 【答案】(1) (2)22 【分析】本题考查整式的加减运算，代数式求值，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项； （2）将，代入（1）中结论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：当，时， ． 易错题型十三 整式加减中的无关型问题 37．已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，求的值（  ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【详解】本题主要考查了整式的加减运算，掌握合并同类项是关键．先求出两个多项式的差，再根据差不含二次项，二次项系数为0求解即可． 【分析】解： ， 关于，的多项式与差不含二次项， ，， ，， ． 故选：A． 38．若多项式的值与的值无关，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减，原式去括号合并后，根据结果与的值无关，确定出的值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵多项式的值与的值无关， ∴，解得：， 故答案为：． 39．已知：关于的多项式的值与的取值无关． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的加减中的无关题型、整式的加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减的运算法则是解此题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可化简，再根据多项式的值与的取值无关得出，，进行计算即可求解； （2）先去括号，再合并同类项即可化简，再代入，进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式， 关于的多项式的值与的取值无关， ，， ，； （2）解：原式， 当，时，原式． 易错题型十四 整式加减的应用 40．如图，1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，其中标注1、2的正方形边长分别为、，请你解答下列问题： (1)用含、的代数式填空： 第3个正方形的边长＝______； 第5个正方形的边长______． (2)当时，求第6个正方形的面积． 【答案】(1)， (2)144 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算，正确理解各个正方形的边之间的和差关系是解题的关键． （1）根据题意，第1、2的正方形边长分别为x、y，可依次得到第3、4、5个正方形的边长； （2）结合图形，得到第6个正方形边长为，代入y的值，从而求得第6个正方形的面积． 【详解】（1）解：∵第1、2的正方形边长分别为x、y， ∴第3个正方形的边长是：， 则第4个正方形的边长是：； 第5个正方形的边长是：； 故答案为：，； （2）解：由（1）知，第1到第5个正方形的边长， ∴第6个正方形的边长是：； 第7个正方形的边长是：； 第10个正方形的边长是：； 则第8个正方形的边长是：； ∴当时，第6个正方形为， ∴第6个正方形的面积为． 41．如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为b米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的长方形小路，剩余部分种草． (1)小路的面积为______平方米，种花的面积为______平方米，种草的面积为______平方米；（结果保留π） (2)当，时，请计算该长方形场地上种草的面积（π取3.14，结果精确到十分位）． 【答案】(1)，， (2)长方形场地上种草的面积为27.4平方米 【分析】本题考查整式加减的应用，列代数式，代数式求值，准确识图，弄清题意是解题的关键； （1）根据长方形的面积公式求小路的面积，根据图形可知，种花的面积为半径为a的圆的面积，种草的面积等于两个小长方形的面积和减去圆的面积，列出代数式即可； （2）把当，代入（1）中的代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：小路的面积为平方米，种花的面积为平方米，种草的面积为平方米， 故答案为：，，； （2）解：当，时， 平方米． 答：该长方形场地上种草的面积为27.4平方米． 42．如图，四边形与四边形是两个边长分别为，的正方形． (1)用含，的代数式表示三角形的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为 【分析】本题主要考查整式的运用，理解图示，几何面积的计算，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据题意，即可求解； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形与四边形是两个边长分别为，的正方形， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，， ∴， ， 当，时，， ∴阴影部分的面积为． 压轴题型一 代数式求值综合 43．数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题： （1）若，则 ； （2）已知，，求代数式的值； （3）当，时，代数式的值为8，则当，时，求代数式的值． 【答案】（1）-1；（2）42；（3）-10 【分析】（1）根据整体思想代入计算即可求解； （2）根据已知条件先求出a-c的值，再整体代入到所求代数式中即可； （3）根据已知可得2a+4b=9，再整体代入到所求代数式中即可． 【详解】解：（1）因为x2-3x=2， 所以1+3x-x2=1-（x2-3x） =1-2=-1 故答案为：-1． （2）∵a-b=5，b-c=3， ∴a-b+b-c=a-c=5+3=8， ∴（a-c）2-3a+2+3c=（a-c）2-3（a-c）+2=82-24+2=64-24+2=42； （3）∵当x=-1，y=2时，代数式ax2y-bxy2-1的值为8， 即2a+4b-1=8， 所以2a+4b=9， ∴当x=1，y=-2时，代数式ax2y-bxy2-1=-2a-4b-1=-（2a+4b）-1=-9-1=-10． 【点睛】本题考查了代数式求值，解决本题的关键是运用整体代入思想． 44．已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）当x=1时，即可得到； （2）当x=-1时可得到，结合，可得到，再当x=0时，可求出，即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴当x=1时， ， ∴； （2）当x=-1时，， 即， 又∵， 由①+②得：， ∴， 又∵当x=0时，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了代数式的求值，解题的关键是灵活运用已知等式，对x进行适当的赋值． 45．已知代数式，当时，该代数式的值为-1. （1）求的值． （2）已知当时，该代数式的值为-1，求的值． （3）已知当时，该代数式的值为9，试求当时该代数式的值． （4）在第（3）小题已知条件下，若有成立，试比较与的大小． 【答案】（1）；（2）-4；（3） 8；（4） 【分析】（1）将x=0代入代数式求出c的值即可； （2）将x=1代入代数式即可求出a+b+c的值； （3）将x=3代入代数式求出35a+33b的值，再将x=-3代入代数式，变形后将35a+33b的值代入计算即可求出值； （4）由35a+33b的值，变形得到27a+3b=-2，将5a=3b代入求出a的值，进而求出b的值，确定出a+b的值，与c的值比较大小即可． 【详解】（1）当x=0时，=-1，则有c=﹣1； （2）把x=1代入代数式，得到a+b+3+c=﹣1， ∴a+b+c=﹣4； （3）把x=3代入代数式，得到35a+33b+9+c=9，即35a+33b+c=0， 35a+33b=-c 当x=﹣3时，原式=﹣35a﹣33b﹣9+c=﹣（35a+33b）﹣9+c=c-9+c=2c-9=-2-9=-11； （4）由（3）题得35a+33b=1，即9a+b=， 又∵3a=5b， ∴15b+b=， ∴b=， 则a=b>0， ∴a+b＞0， ∴a+b＞c． 【点睛】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 压轴题型二 数字类规律探索 46．如图，动点从到原点距离为的点处向原点方向跳动，第一次跳到的中点处，第二次从点跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，第次跳动后，该动点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的运动规律，根据计算可得每次运动后点距原点的距离是上一个点距原点距离的一半，据此即可求解，根据计算找到点的运动规律是解题的关键． 【详解】解：第一次跳动到的中点处，得， 第二次从跳到的中点处，得， 第三次从点跳到的中点处，得， ， ∴第次跳动后，该质点到原点的距离为， ∴第次跳动后，该质点到原点的距离为， ∵， ∴， 故选：． 47．观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：． 按上述规律，回答以下问题： （1）用含的代数式表示第个等式： ． （2）计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了探寻数列规律问题； （1）首先根据前四个等式的特征，可得第个等式的分子是n+2，分母是；然后判断出后面算式的两个数的分子都是1，第一个数的分母是，第二个数的分母是，据此解答即可． （2）根据题意，把前3个等式左右两边分别相加，求出的值，再把第4，5，6，7个等式左右两边分别相加，求出的值即可解答． 【详解】解：（1）根据分析，可得用含的代数式表示第个等式： 故答案为：； （2）∵ ∴ 故答案为：． 48．观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据式子的规律，可得； （）利用（）的结论递推，得出答案即可； （）把式子乘递推得出答案即可； 本题考查了数字类变化规律，得出数字次数的变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵；；；；， ∴第个等式为； （2）解： ， ， ； （3）解： ， ， ． 压轴题型三 图形类规律探索 49．正整数按如图的规律排列，则2022位于哪一行，哪一列（　　） A．第45行 第4列 B．第4行 第45列 C．第46行 第3列 D．第3行 第46列 【答案】B 【分析】观察图形可知这些数字排成的是一个正方形，则由，即可判断2022的位置． 【详解】解：观察图形可知这些数字排成的是一个正方形， ∵， ∴2022在第45列， ∵， ∴2022在第4行，即2022位于第4行，第45列． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，由所给的数字得出存在的规律是解答的关键． 50．将长度相同的木棒按如图所示的方式摆放，图1中有5根木棒，图2中有9根木棒，图3中有13根木棒，…，按此规律摆放下去，则图9中木棒的根数是 ． 【答案】37 【分析】本题考查图形的变化类．熟练掌握图形变化规律，列代数式，是解决问题的关键． 根据图形可以写出前几个图案需要的小木棒的数量，即可发现小木棒数量的变化规律，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得， 图案①有：根小木棒； 图案②有：根小木棒； 图案③有：根小木棒； …； ∴第n个图案有：根小木棒． ∴当时，． ∴第⑨个图案有：37根小木棒． 故答案为：37． 51．小明将枚硬币任意摆放在图中的点上（每个点的硬币个数不限，可以为）．    (1)对于图定义一次“操作”：从一个至少有2枚硬币的点取走枚硬币，并分别在与此点相邻的点上各放置枚硬币．对小明的每种摆法，若点处无硬币，则总能经过若干次该“操作”，使点处有硬币，求的最小值． (2)对于图定义一次“操作”：从一个至少有枚硬币的点取走枚硬币，若该点有两个相邻点，就分别在每个相邻的点处各放置枚硬币；若该点只有一个相邻点，就只在该相邻点处放置枚硬币．对小明的每种摆法，若点处无硬币，则总能经过若干次该“操作”，使点处有硬币，求的最小值． 【答案】(1)最小值为； (2)最小值为． 【分析】（）根据最终的平衡状态可以确定最小值即可； （）根据最终的平衡状态可以确定最小值即可； 本题主要考查了图形的变化规律，根据每个点上最多有一个点得出结论是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，不满足题意， ∴， 不妨设， 当点或点处有枚硬币时，则经过一次“操作”就能使点处有硬币； 当点，处的硬币数小于或等于枚时，由对称性有如图，种情况（其中字母边上的数字代表该点处初始状态的硬币数）， 经验证，经过若干次“操作”总能使点处有硬币， ∴的最小值为； （2）解：当处有枚硬币时，经过一次“操作”就能使处有硬币， 当初始状态，处都没有硬币时，处至少要有枚硬币，才能使得处有枚硬币， 当初始状态，处都没有硬币时， 经如图，检验（相应的数字代表每次“操作”后的硬币数）， 当处有枚硬币时，符合题意． ∴的最小值为． 压轴题型四 整式的加减运算综合 52．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减混合运算； （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 53．若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个有理数互为相依数．例如：有理数与3，因为，所以有理数与3是互为相依数． (1)判断下列两组有理数是否互为相依数，并说明理由；①与；②与； (2)若有理数与互为相依数，与互为相反数，求式子的值； 【答案】(1)①与不是互为相依数；②与是互为相依数，理由见解析 (2) 【分析】本题考查有理数的加法和乘法，整式的加减运算，相反数的定义，理解“互为相依数”的定义是解题关键． （1）根据“互为相依数”的定义结合有理数的加法和乘法法则计算判断即可； （2）根据“互为相依数”的定义可得出，根据相反数的定义可得出，再结合整式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：①因为，，， 所以与不是互为相依数； ②因为， 所以与是互为相依数； （2）解：因为有理数与互为相依数，与互为相反数， 所以，， 所以 ． 54．观察下列两个等式：给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“”为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． (1)通过计算判断数对是不是“共生有理数对”； (2)若是“共生有理数对”，则______“共生有理数对”（填“是”或“不是”）； (3)如果是“共生有理数对”，且，求的值． 【答案】(1)不是 (2)是 (3) 【分析】本题考查对新定义的理解能力，有理数的混合运算，代数式求值，整式的加减运算，理解“共生有理数对”的定义是解题关键． （1）根据“共生有理数对”的定义求解判断即可； （2）根据“共生有理数对”的定义可求出，从而通过计算可证，即得出是 “共生有理数对”； （3）根据“共生有理数对”的定义可求出，即可求出，代入中求值即可． 【详解】（1）解：因为，，所以，所以数对不是“共生有理数对”； （2）解：因为是“共生有理数对”， 所以． 因为，， 所以， 所以是“共生有理数对”； （3）解：因为是“共生有理数对”， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 压轴题型五 整式加减中的化简求值 55．数学中运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则________； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值和代数式求值，解题关键是熟练掌握利用整体代入求值的方法求代数式的值． （1）把所求代数式的后两项先变形，再把代入进行计算即可； （2）把所求式子按照去括号法则去掉括号，写成含有和的形式，再把，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， 故答案为：； （2），， ． 56．小明在数学探究活动中遇到这样一个问题：A、B分别表示两个多项式，且满足． (1)若当时，B的值为12，求此时A的值； (2)若，当时，求A的值． 【答案】(1)9 (2)8 【分析】本题考查了代数式的求值，整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则，注意添括号和去括号时符号问题； （1）先把代入求出的值，再减去B的值即可得解； （2）由减去B得出A，再代入求值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵B的值为12， ∴此时A的值为； （2）解：， ， 当时，． 57．阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是 例如： (1)按照这个规定，请你计算的值． (2)按照这个规定，请你计算当时，的值． 【答案】(1)8 (2)3 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用题中的新定义计算即可得出结果； （2）利用非负数的性质求出和的值，原式利用题中新定义变形，整体代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由得，， ∴，， ． 压轴题型六 整式加减中的无关型问题 58．聪聪做一道题“已知两个多项式，，计算“”．聪聪误将看作，求得结果是．若，请解决下列问题： (1)求出； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键． （1）根据，，即可求解． （2）将，代入中，得到，根据的值与的取值无关，而可得，可得的值，进而可求出的值． 【详解】（1）解：，， ； （2）解： ， 的值与的取值无关， ， ， ． 59．【阅读理解】已知；若A值与字母x的取值无关，则，解得． ∴当时，A值与字母x的取值无关． 【知识应用】（1）已知，． ①用含m，x的式子表示；②若的值与字母m的取值无关，求x的值； 【知识拓展】（2）年末，商场计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元；乙种羽绒服每件利润为300元．购进羽绒服后，商场决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服不变．设购进甲种羽绒服x件，当销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时，求a的值． 【答案】（1）①；②10；（2）20 【分析】本题主要考查了代数式表示式，整式加减中的无关型问题等知识． （1）①把，代入，展开去括号合并合并同类项即可． ②根据的值与字母m的取值无关，结合①可知，进而可得出x的值． （2）设购进甲种羽绒服x件，则购进乙种羽绒服件，销售完这30件羽绒服的利润为：，展开得出，再根据销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时，即可得出，进而可得出a的值． 【详解】解：（1）①，， ∴ ， ②若的值与字母m的取值无关， 则， ∴． （2）设购进甲种羽绒服x件，则购进乙种羽绒服件， 销售完这30件羽绒服的利润为：， 当销售完这30件羽绒服的利润与x的取值无关时， ∴ ∴ 60．老师写出一个整式（其中、为常数，且表示为系数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算 (1)甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为．则甲同学给出、的值分别是______，______； (2)乙同学给出了，，请按照乙同学给出的数值化简整式； (3)丙同学给出一组数，最后计算结果与的取值无关，请直接写出计算结果． 【答案】(1)6，2 (2) (3) 【分析】（1）把所给代数式化简，再根据甲同学的计算结果，算出、的值即可； （2）把，代入（1）化简的结果即可； （3）利用（1）化简的结果，根绝最后的结果与x取值无关即可求出、的值． 【详解】（1） ， ∵最后计算的结果为， ∴， ∴． 故答案为：6，2； （2）把，代入，得 ． （3）∵的结果与的取值无关， ∴， ∴， ∴丙同学给出一组数是， 当时，． 【点睛】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解． 压轴题型七 整式加减中的无关型问题（几何图形） 61．【问题呈现】 （1）已知代数式的值与x的值无关，求m的值； 【类比应用】 （2）将7张长为a，宽为b的小长方形纸片（如图①），按如图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的两部分的面积分别记为，，当的长度变化时，的值始终不变，求a与b的数量关系． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题主要考查了整式的混合运算及列代数式，读懂题意列出代数式是解决本题的关键． （1）根据题意，代数式，可化为，因为代数式的值与x无关，可得，即可得出答案； （2）设，算出阴影的面积分别为，即可得出面积的差为，因为S的取值与n无关，即． 【详解】解：（1）原式． 由题意得，含x项的系数为0，即． 所以． （2）设， 则，， 所以， 由题意得，含n项的系数为0，即． 62．如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒．    (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为______，点与点的中点为，则点表示的数为______；运动秒后，点表示的数为______（用含的式子表示）； (2)若秒钟过后，点是线段的中点，求值； (3)当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，3，； (2)； (3)，理由见详解； 【分析】（1）本题考查数轴上两点间距离及动点问题，根据数轴上两点间距离等于两数之差的绝对值直接求解即可得到答案； （2）本题考查数轴上两点间距离及动点问题，根据中点列式求解即可得到答案； （3）本题考查整式化简无关型问题，根据动点及距离问题列式，结合定值即与t无关求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵运动前点表示数，点表示数1， ∴， ∵点表示数9， ∴， ∵点与点的中点为， ∴点代表的数据是：， ∵点A以每秒2个单位长度速度运动， ∴点表示的数为：， 故答案为：4，3，； （2）解：点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， ∴点表示的数字是：，点表示的数字是：， 当点是线段的中点时， ， 解得：； （3）解：存在，当时的值为定值，理由如下， ∵点在点右侧， ∴，即：， ， 当时，即：，， ∴当时的值为定值． 63．中考新考法·过程性学习七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求值； (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形纸片，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． (4) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，正确的将整式进行整理化简，令题中项的系数为零是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令的系数为0，即可求出； （2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与无关得出，即可得出答案； （3）设，由图可知，，即可得到关于的代数式，根据取值与无关可得． 【详解】（1）解：， 因为其值与的取值无关， 所以，解得， 故当时，多项式的值与的取值无关； （2）因为，， 所以 因为的值与的取值无关，所以，即； （3）解：设，由图可知，， 所以， 因为当的长变化时，的值始终保持不变， 即的值与的取值无关， 所以，即． 压轴题型八 整式加减的应用综合 64．已知点P，点，点是数轴上的三个点．若点到原点的距离等于点、点到原点距离的和的一半，则称点P为点和点的“关联点”． (1)已知点表示，点B表示，下列各数，，，在数轴上所对应的点分别是，，，，其中是点和点的“关联点”的是 ； (2)已知点表示，点表示，点P为点和点的“关联点”，且点到原点的距离为，求的值； (3)已知点表示数，将点沿数轴正方向移动个单位长度，得到点．当点为点和点的“关联点”时，我们把点P到点B的距离记为，点P到点A的距离记为，直接写出的值是______________． 【答案】(1) (2) (3)0或4 【分析】本题考查有理数与数轴，整式的加减计算，熟知“关联点”的定义是解题的关键． （1）求出点A，点B到原点距离和的一半，进而根据“关联点”的定义得出点P到原点的距离，即得出点P表示的数； （2）根据已知可求出点A，点B到原点距离的和，进而确定点B到原点的距离，然后进行计算即可解答； （3）根据题意确定点B表示的数，再求出点A，点B到原点距离的和，即可求出点P到原点的距离，然后分两种情况讨论求解即可：点P在原点的左侧，点P在原点的右侧． 【详解】（1）解：∵点表示，点B表示， ∴点、点到原点距离的和的一半为． ∵点P是为点和点的“关联点”， ∴点P到原点的距离为2， ∴点P表示的数为2或， ∴，，，中是点和点的“关联点”的是； （2）解：∵点P为点和点的“关联点”， 且点到原点的距离为， ∴点、点到原点距离的和的一半为5， ∴点、点到原点距离的和为10． ∵点表示， ∴点到原点距离为3， ∴点到原点距离为， ∴点B表示的数为7或； （3）解：∵点表示数，将点沿数轴正方向移动个单位长度，得到点， ∴点表示的数为， ∴点、点到原点距离的和为， ∴点、点到原点距离的和一半为． ∵点为点和点的“关联点”， ∴点到原点距离为， ∴点P表示的数为或． 分类讨论：当点P位于原点右侧时，即点P表示的数为， ∴，， ∴； 当点P位于原点左侧时，即点P表示的数为， ∴，， ∴． 综上可知的值为0或4． 65．数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． （1）【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是______，点与点之间的距离______，点与点的中点表示的数是______，且在图1的数轴上标出点． （2）【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点M的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点M关于点P的二次跳跃点．例，如图2所示： 【初步理解】 ①若点表示的数是，点表示的数是5，则点的一次跳跃点表示的数是______，点关于点的二次跳跃点表示的数是______，线段的长度为______． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点分别表示有理数（其中），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】（1）1，6，3；（2）①2，8，10；②的值不变，；③ 【分析】本题主要考查了相反数、有理数、数轴两点的距离、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意即可得解； （2）①根据跳跃点的定义可知M和关于原点对称，所以可得到表示的数，再根据二次跳跃点的定义可得表示的数，进而可求的长度； ②由题易知P是和中点，再分类讨论利用数轴上两点距离求解即可； ③同②思路即可得解． 【详解】解：（1）由题易知，点B表示的数是1，，D表示的数是3；如图所示，点D为所求作． 故答案为：1，6，3； （2）①由题可知M和关于原点对称， ∴表示的数是2， ∵点P表示的数为5， ∴， ∵， ∴表示的数是8， ∴线段的长度为， 故答案为：2，8，10； ②解：的值不变，，理由如下： 分类讨论， 依题意知点表示的数是， 若，如图所示， ∵点与点位于点P的两侧，且， ∴， ∴， ∴点表示的数是， ∴； 若，如图所示， ∵点与点位于点P的两侧，且， ∴， ∴， ∴点表示的数是， ∴， 综上所述：； ③∵点M表示的数是m，则一次跳跃点表示的数是， ∵点与点位于点P的两侧，且， 即点P是的中点， ∵点P表示的数是p， ∴点表示的数是， ∴． 66．问题的提出：“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．图（1）表示，运算结果为． （1）用示例的方法，计算，要求在图（2）中对应位置标数． 问题的拓展： （2）如图（3）一个百位为1的三位数，十位和个位数字未知，与23相乘，请直接写出与？的值； （3）在图（4）中按图（1）示例完成（2）的计算． 延伸与运用： （4）图（5）表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图（5）中现有数据进行推断，运算结果可以用含a的式子表示为____________．（直接写出结果） 【答案】（1）18450，填图见详解 （2） （3）2852 （4） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，代数式表示数，理解题目中表格方法计算有理数的乘法，掌握有理数的混合运算法则，用代数式表示数的方法是解题的关键． （1）根据材料提示的方法计算即可； （2）根据有理数的乘法可得，，由此即可求解； （3）根据表格计算有理数乘法运算方法计算即可； （4）根据题意，，令，可得，，根据表格计算有理数乘法运算即可求解． 【详解】解：（1）根据材料提示，填图如下， ∴； （2）根据图示， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）根据（2）可得，如图所示， ∴计算结果为； （4）根据题意，， ∴令， ∴，， 如图所示， ∴， 故答案为：． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$