专题13 实数章末易错压轴题型（19易错+3压轴）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题13 实数章末易错压轴题型 （19易错+3压轴） 易错题型一 算术平方根 1．若一个自然数的算术平方根为，则比这个自然数大的数可以表示为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．根据算术平方根的概念及题意可直接求解． 【详解】解：由一个自然数的算术平方根是a，则有这个自然数是，所以比这个自然数大1的数是； 故选D． 2．的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根．根据算术平方根的定义即可得． 【详解】解：， 的算术平方根是， 故答案为：． 3．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)12 (2) (3)100 (4)0.07 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟记定义是解答本题的关键． （1）根据算术平方根的定义计算即可； （2）根据算术平方根的定义计算即可； （3）根据算术平方根的定义计算即可； （4）根据算术平方根的定义计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； 易错题型二 利用算术平方根的非负性解题 4．已知，则的平方根是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根与绝对值的非负性，求一个数的平方根． 根据算术平方根与绝对值的非负性求出a、b的值，进而即可解答． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 故选：B． 5．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了代数式的求值，绝对值的非负性及算术平方根的非负性．根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性得到，，求，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解方程组， 解得， ∴， 故答案为：． 6．已知实数a，b满足关系式． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）由题意，， 可得，， 解得，． （2）的算术平方根是． 【点睛】本题考查了非负数的性质和算术平方根的定义，注意：几个非负数的和为0时，则每个数都是0． 易错题型三 估计算术平方根的取值范围 7．估算的值在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】B 【分析】估算出的范围即可求解． 【详解】解：∵36＜40＜49， ∴6＜＜7， ∴3＜－3＜4， 故选：B． 【点睛】本题考查估计算术平方根的取值范围，熟练掌握估算的方法是解答的关键． 8．根据以下表格里的数据： 2.024 20.24 202.4 2024 20240 1.422 4.499 14.22 44.99 142.2 则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开方数的小数点每向左移动两位，那么开方的结果的小数点就向左移动一位，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9．【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 易错题型四 求算术平方根的整数部分与小数部分 10．若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 【答案】 【分析】根据首先确定的值，则小数部分即可确定． 【详解】解：， ， 则． 故答案是：3，． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 11．已知，若是整数，则a＝ ． 【答案】2或﹣2或﹣1 【分析】利用是整数可判断a为整数且a≥﹣2，则利用a2≤得到﹣7＜a＜7且a为整数，然后找出满足条件的整数a的值即可． 【详解】解：∵是整数， ∴a为整数且a≥﹣2， ∵a2≤， ∴﹣7＜a＜7且a为整数， ∴当a＝﹣2或﹣1或2时，是整数． 故答案为2或﹣2或﹣1． 【点睛】本题考查了估算无理数大小的知识，难度不大，注意夹逼法的运用． 12．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据平方根与算术平方根的定义分别求出的值；进而得出的值，求出它的平方根即可； 【详解】解：∵的算术平方根是；的平方根是， ∴，， ∴，． ∵是的整数部分，， ∴． ∴． ∵的平方根是． ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了考查了平方根与算术平方根；熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键． 易错题型五 与算术平方根有关的规律探索题 13．若．则（   ） A．0.0101 B．0.101 C．1.01 D．10.1 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．观察题干可知是将的小数点向左平移2个单位，再利用算术平方根的意义解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 14．，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了算术平方根的定义，求一个数的近似数，掌握算术平方根的定义是本题的关键．根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位，进行解答即可． 【详解】解：∵， 故答案为：． 15．观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … (1)表格中______，______； (2)由表格中数据，归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位； (3)①已知，则______； ②已知，，求m的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)右，一 (3)①0.245；②600 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案； （3）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案； ②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）解：根据算术平方根的定义得， ， 故答案为：0.1，10； （2）解：由根据题意，由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位， 则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 故答案为：右，一； （3）解：①∵， ∴， 故答案为：0.245； ②∵， ∴根据表格中数据总结规律可知，0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64， ∴由上述表格可知被开方数0.0012小数点需要向右移动6个单位得到2m， 解得，， ∴的值为600． 易错题型六 算术平方根的实际应用 16．某农场有一块长，宽的长方形场地，现要在这块场地上建一个底面为正方形的鱼塘，使其底面面积为长方形场地面积的一半，问：能否建成？若能建成，鱼塘的底面边长大约为多少？ 【答案】能；鱼塘的底面边长大约为 【分析】本题考查了算术平方根的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式然后结合算术平方根的定义进行求解．本题中要注意得出的未知数的值应该符合实际条件的要求．要判断鱼池是否能建成，就要先求出鱼池的边长．根据正方形的面积公式，已知长方形的长和宽，我们可求出鱼池的边长，然后再看这个边长是否在长方形场地的范围内，如果在就能建成，反之则不能． 【详解】解：鱼塘能建成，理由如下： 鱼塘的底面面积为， 故鱼塘的底面边长为， 因为，即， 所以鱼塘能建成． 17．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为．求绣布的周长． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，设绣布的长为，宽为，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设绣布的长为，宽为，根据题意， 得，即， ， ， ， 绣布的长为，宽为， 周长为， 答：绣布的周长为． 18．如图，用两个面积为的小正方形剪拼成一个大的正方形． (1)则大正方形的边长是_________； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由． （参考数据：） 【答案】(1)4 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的实际应用： （1）求出大正方形的面积，再开方求出边长即可； （2）设长方形纸片的长为，宽为，求出长方形的长和宽，与正方形的边长进行比较即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的面积为， ∴大正方形的边长：； 故答案为：4； （2）设长方形纸片的长为，宽为， 则， 解得：（负值已舍掉）， ， 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为． 易错题型七 平方根 19．下列说法：①36的平方根是6；②的平方根是；③；④是的平方根；⑤的平方根是4；⑥81的算术平方根是，其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 【答案】A 【分析】本题运用了平方根和算术平方根，解题的关键是准确应用性质．利用平方根和算术平方根的定义可求解． 【详解】解：①36的平方根是，故①错误； ②9的平方根是，没有平方根，故②错误； ③，故③错误； ④是的一个平方根，故④错误； ⑤，的平方根是，故⑤错误； ⑥81的算术平方根是9，故⑥错误； 综上分析可知：正确的为0个． 故选：A． 20．下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．40的平方根是20 D．负数没有平方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根，正数的平方根为一正一负互为相反数的两个数，0的平方根为0，负数没有平方根． 由平方根的概念解答即可． 【详解】A．4的平方根为，故A错误；     B．负数没有平方根，故B错误；     C．40的平方根是，故C错误； D．负数没有平方根，故D正确． 故选：D． 21．一个正数x的两个不同的平方根是和，则a的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平方根的概念，根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数列出式子，计算即可得出答案． 【详解】解：依题意，得：， 解得， 故答案为：． 易错题型八 平方根的计算 22．求下列各数的平方根： (1)121； (2)0.81； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的定义，是解题的关键． （1）根据平方根的定义，进行求解即可； （2）根据平方根的定义，进行求解即可； （3）根据平方根的定义，进行求解即可； （4）根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 23．一个正数b的两个平方根分别是与， (1)求和的值． (2)求平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方根的概念和求一个数的平方根： （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到据此求出a的值，再根据平方根的定义求出b的值即可； （2）根据（1）求出的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数b的两个平方根分别是与， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵36的平方根为， ∴的平方根为． 24．如图所示，数轴上原点O的右侧有A，B，C三点，A和B两点表示的数分别为1和，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x．    (1)请你写出数x的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是实数与数轴． （1）根据数轴上两点间的距离求出之间的距离即为的值； （2）把的值代入所求代数式进行计算即可． 【详解】（1）解： 点、分别表示1，， ， ∵点B到点A的距离与点C到点O的距离相等， ∴； （2）解：， 原式， 的平方根为． 易错题型九 平方根的应用 25．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】(1)21 (2)37 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）将代入关系式计算即可； （2）将代入关系式求解即可． 【详解】（1）解：当时， （厘米）， 答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米． （2）解：当时， 即， ， 答：冰川约是在37年前消失的． 26．勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他先做了一张边长为的正方形桌子，结果涛涛说桌子太大，想让爷爷做成面积为的桌子，于是爷爷在原有桌子的基础上，在两边等距消去宽为的阴影部分，于是空白部分成为了涛涛想要的为的桌子，请问的长度为多少？      【答案】 【分析】根据题意列方程，再解方程即可得出结果． 【详解】解：根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）． 故的长度为． 【点睛】本题考查了平方根的应用及方程的思想，本题的关键是，用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义． 27．公元3世纪初，东吴数学家赵爽用著名的“勾股圆方图”找出了直角三角形中求斜边的方法．李明同学在数学思维拓展课上效仿赵爽，如图1，先将一个边长为2的正方形纸片沿两对边中点处剪开，得到两个长方形，再分别沿对角线剪开，得到四个一模一样的直角三角形，再将它们按图2所示无重叠、无缝隙摆放，形成一个外部轮廓为正方形，内部缺口（阴影部分）也是正方形的图形． (1)图1中每个直角三角形的面积是_________，图2中内部缺口正方形的边长为_________． (2)求图1中直角三角形的斜边长． 【答案】(1)1，1 (2) 【分析】（1）根据图1中每个直角三角形的面积是正方形面积的可得每个直角三角形的面积，图2中内部缺口正方形的边长为直角三角形的两直角边的差； （2）利用大正方形的面积等于小正方形加4个三角形面积列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：正方形面积的面积为， 图1中每个直角三角形的面积是， 图2中内部缺口正方形的边长为； 故答案为：1，1； （2）解：由图形可得， ， ∴大正方形的边长为：． 【点睛】本题考查图形的拼剪，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 易错题型十 实数的概念与分类 28．下列说法正确的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数都是无理数 D．无理数与数轴上的点是一一对应的 【答案】A 【分析】依据有理数和无理数的概念回答即可． 【详解】A．无理数都是无限不循环小数，故A正确； B．无限循环小数是有理数，故B错误； C．带根号的数不都是无理数，如，故C错误； D．实数与数轴上的点一一对应，故D错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的相关概念，熟练掌握有理数和无理数的定义是解题的关键． 29．在，，0，，2，，（两个2之间依次多一个1），中． (1)是有理数的有____________； (2)是无理数的有____________； (3)是整数的有____________； (4)是分数的有____________． 【答案】(1)，0，2，， (2)，，（两个2之间依次多一个1） (3)，0，2， (4) 【分析】本题考查了实数的分类，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数． 根据有理数，无理数，整数和分数的定义，即可解答． 【详解】（1）解：是有理数的有，0，2，，， 故答案为：，0，2，，． （2）解：是无理数的有，，（两个2之间依次多一个1）， 故答案为：，，（两个2之间依次多一个1）． （3）解：是整数的有，0，2，， 故答案为：，0，2，． （4）解：是分数的有， 故答案为：． 30．数学文化节邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位：（每两个“1”之间依次多一个“0”） (1)主办方需要准备_______个“无理数”的席位； (2)请为下列席位找到对应的嘉宾： “整数”席：{     } “分数”席：{     } 【答案】(1)3 (2)； 【分析】本题主要考查了实数分类，无理数的定义，求一个数的算术平方根，解题的关键理解相关定义． （1）根据无理数定义进行解答即可； （2）根据实数分类方法进行求解即可． 【详解】（1）解：，， （每两个“1”之间依次多一个“0”）中无理数有，，（每两个“1”之间依次多一个“0”）共3个， ∴主办方需要准备3个“无理数”的席位； （2）解：“整数”席：{}； “分数”席：{}． 易错题型十一 实数与数轴 31．如图，数轴上的数a，b，c，d中，小于的是（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，越在数轴的左边的数越小，进行作答即可． 【详解】解：依题意，位于左侧的数小于， 则观察数轴，位于左侧， ∴． 故选：A 32．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】根据正方形的面积公式求得边的长，即可得到点与原点的距离，进而得到点所表示的数． 【详解】解：由正方形面积公式得， 点在数轴正半轴上，点表示的数为， 点到原点的距离为， 点所表示的数为， 故答案为：． 33．如图①是由4个面积相同的小正方形组成的图形，面积为4． (1)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (2)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与重合，那么点在数轴上表示的数为 ． 【答案】(1)边长都是1，面积2 (2) 【分析】本题主要考查实数与数轴、算术平方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）根据正方形的面积得出边长，再求出正方形的对角线，即阴影部分图形的边长和面积； （2）用点表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）解：设正方形的边长为， 则，解得：； 每个小正方形的边长都是1， 正方形的边长为：， ； （2）解：正方形的边长为，点与重合， 点在数轴上表示的数为：， 故答案为：． 易错题型十二 无理数整数部分的有关计算 34．若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数．解题关键是熟练掌握如何估算无理数． 先估算的大小，再根据不等式的基本性质判断的大小，从而求出，最后代入所求式子，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴ ， 故选：B． 35．已知的小数部分是，的小数部分是，则 ． 【答案】1 【分析】直接利用估算无理数的大小的方法得出的值，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ，， 的小数部分是，的小数部分是， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，正确得出的值是解题的关键． 36．【阅读理解】 如何判断无理数的大小范围呢？我们可这样做： 因为： 所以： 即： 因此：是介于5到6的一个数． 由此我们也可以得到这样的结论：的整数部分是5，小数部分是． 【问题解决】 (1)下列无理数中，大小在3与4之间的是（   ） A．　B．　C．　D． (2)的整数部分是_______，小数部分是_______． (3)的整数部分为，小数部分为，则_______． 【答案】(1)C (2)3； (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小．熟练掌握利用算术平方根对无理数的大小进行估算是解题的关键． （1）分别估算出各选项中无理数大小，即可得出答案； （2）根据得到，即可求解； （3）根据，得到，即可求出a、b值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：A、∵，∴，∴是介于2到3的一个数，故此选项不符合题意； B、∵，∴，即，∴是介于2到3的一个数，故此选项不符合题意； C、∵，∴，∴是介于3到4的一个数，故此选项符合题意； D、∵，∴，∴是介于4到4的一个数，故此选项不符合题意； 故选：C． （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是． 故答案为：3；． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为， ∴，， ∴． 故答案为：． 易错题型十三 立方根 37．下列说法正确的是（ ） A．没有立方根 B．是的立方根 C．一个非零数的立方根，仍然是一个非零的数 D．的立方根是 【答案】C 【分析】根据立方根的定义逐个判断即可．如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，也称为三次方根，也就是说，如果，那么x叫做a的立方根． 【详解】解：A、有立方根，故A不正确，不符合题意； B、是的立方根，故B不正确，不符合题意； C、一个非零数的立方根，仍然是一个非零的数，故C正确，符合题意； D、的立方根是，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了立方根的定义，解题的关键是掌握如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，也称为三次方根，也就是说，如果，那么x叫做a的立方根． 38．下列说法：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②负数没有立方根；③任何数的立方根都只有一个；④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．其中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、立方根，根据平方根和立方根的定义逐项判断即可求解，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：①一个数的平方根有两个，它们互为相反数，该选项说法错误； ②负数有立方根，该选项说法错误； ③任何数的立方根都只有一个，该选项说法正确； ④一个数有立方根，这个数不一定有平方根，比如负数，该选项说法错误； ∴正确的说法有个， 故选：． 39．已知数a的平方根与其立方根相同，数b和其相反数相等，则（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】直接利用平方根以及立方根、相反数的定义得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵数a的平方根与其立方根相同，数b和其相反数相等， ∴，， 则， 故选：B． 【点晴】本题主要考查了平方根以及立方根、相反数的定义，正确得出a，b的值是解题关键． 易错题型十四 立方根的计算 40．计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行有理数乘法，算术平方根化简，化简绝对值，求立方根，然后通过有理数加减运算法则即可求解． 【详解】解： ． 41．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查立方根． （1）根据立方根的定义求解即可； （2）根据立方根的定义求解即可； （3）根据立方根的定义求解即可； 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：． 42．正数x的两个平方根分别为3和． (1)求a的值； (2)求的立方根． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了平方根的性质和开立方运算，解题的关键是熟练掌握正数有两个平方根，且互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根；求一个数的立方根的运算就是开立方． （1）根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，即可解答； （2）由（1）求出x，再根据立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵正数x的两个平方根是3和， ∴， 解得：； （2）∵， ∴， ∴这个正数是， 即， ∴， ∴27的立方根是3， 即这个数的立方根为3． 易错题型十五 立方根的实际应用 43．如下图，将一个棱长为4的正方体盒子装满水，然后将水全部倒入一个侧面为正方形、长为侧面边长2倍的长方体盒子中．如果长方体盒子正好被装满，求长方体盒子的长（结果精确到）． 【答案】长方体盒子的长为 【分析】本题考查了立方根的应用．首先根据正方体的体积（容积）等于棱长的立方，求出正方体盒子中水的体积，再根据长方体的体积=水的体积计算即可． 【详解】解：设长方体盒子的长为，则长方体盒子的侧面正方形边长为． 依题意，得， 解得． 答：长方体盒子的长为． 44．小明有一个大正方体铁块，其体积为． (1)求这个大正方体铁块的棱长； (2)小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，求另一个小正方体铁块的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查立方根的应用、正方体的体积，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答； （2）根据题意先求得另一个小立方体铁块的体积，再根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）解：根据题意，另一个小立方体铁块的体积为， ∴另一个小立方体铁块的棱长为． 答：另一个小立方体铁块的棱长为． 45．如图，是一块体积为512立方厘米的立方体铁块．    (1)求出这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成三个棱长为4厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为5厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)8厘米 (2)8厘米 【分析】本题考查的是算术平方根与立方根的应用，理解题意是解本题的关键； （1）由立方根的含义可得答案； （2）由原立方体的体积减去三个棱长为4厘米的小立方体铁块的体积，再结合算术平方根的含义可得答案． 【详解】（1）解：（厘米） 答：棱长为8厘米； （2）解：（厘米） 答：正方形的边长为8厘米． 易错题型十六 算术平方根和立方根的综合 46．如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的综合应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义是解题的关键．根据是8的立方根，求出，再根据算术平方根定义求出结果即可． 【详解】解：∵是8的立方根， ∴， ∴的算术平方根是． 故选：C． 47．已知，的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根（    ）． A． B．12 C．13 D． 【答案】C 【分析】根据平方根，立方根的定义即可得到x、y的值，最后代入求解，再计算出其算术平方根即可得到答案． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， 又∵的立方根是3， ∴， ∴把x的值代入解得： ， ∴， ∴， ∴的算术平方根为， 故答案选：C． 【点睛】此题考查了平方根，立方根的概念，解题关键是根据定义判断出一个非负数的算术平方根，借助乘方运算来寻找答案． 48．已知，表示的算术平方根，，表示的立方根． (1)求m、n的值； (2)求M和N的值； (3)求的平方根． 【答案】(1)， (2) (3)4 【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义，即可得出m和n的值； （2）将m和n的值代入M和N即可求解； （3）将（2）中得出的M和N的值相加即可． 【详解】（1）解：∵表示的算术平方根， ∴， 解得：， ∵表示的立方根， ∴， 把代入得：， 解得：， 综上：，； （2）解：∵，， ∴，， 综上：； （3）解：∵， ∴． 【点睛】本题考查了平方根和立方根，明确平方根和立方根的意义，熟练运用相关知识求解是解题关键． 易错题型十七 实数的混合运算 49．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可得到答案； （2）先计算立方根和绝对值，再计算乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 50．实数计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先计算乘法，再去绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解； ； （2）解： ． 51．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，熟知算术平方根和立方根的意义是正确解决本题的关键． 根据算术平方根和立方根的意义、乘方的运算法则求解即可． （1）先算乘方，化简绝对值，求算术平方根，再算加减即可； （2）先算乘方，求算术平方根，立方根再计算即可． 【详解】（1）解：；      （2）解：．    ． 易错题型十八 程序设计 52．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的的值为时，输出的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与流程图有关的实数运算、求一个数的算术平方根、无理数的概念．先将输入，求出算术平方根，若结果是无理数则输出，若结果是有理数，则将有理数输入，直到求出的算术平方根是无理数为止． 【详解】解：输入的的值为时，； ∵是有理数， ∴将输入，输出的是无理数， 故输出． 故选：B． 53．如图所示的是一个数值转换器． （1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ． 【答案】 100 0或1/1或0 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，能够正确计算算术平方根是解题的关键． （1）根据两次取算术平方根运算，输出的值为，返回运算两次平方可得的值； （2）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论． 【详解】解：（1）当时，，，则； 故答案为：100； （2）当，1时，始终输不出值， ，1的算术平方根是0，1，一定是有理数， 所有满足要求的的值为0或1． 故答案为：0或1． 54．如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【答案】(1) (2)0和1 (3)5，25（5的偶次方都对） 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，是无理数，所以输出的y值为； （2）解：因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； 所以当，1时，始终输不出y值． （3）解：的算术平方根为25， 的算术平方根5， 5的算术平方根为， ∴或或（5的偶次方）都满足要求． 易错题型十九 实数运算相关的规律题 55．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2024个数应是（    ） A． B． C． D．2024 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根、立方根以及数字的变化类．根据这列数据的排列规律即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，；，，；，，；， 每三个相邻的数为一组， 由于， 2024处在第674组后的第2个数，因此可得， 第2024个数应是． 故选：C． 56．小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则 ． 【答案】73 【分析】此题考查了数字类规律，找出一系列等式的规律为的正整数），令求出与的值，即可求得的值． 【详解】解：根据题中的规律得：的正整数）， ， ，， 则． 故答案为：73． 57．阅读理解题 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为________ (2)猜想：第n个等式为________（n为正整数） (3)利用上面的解法，请化简： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索： （1）根据给出的等式找出一般规律，写出第4个等式即可； （2）根据题干中给出的一般规律，写出第n个等式即可； （3）根据（2）的规律把对应式子进行替换，然后隔项相消即可得到答案． 【详解】（1）解：第1个等式为：； 第2个等式为：； 第3个等式为：； … 第4个等式为：． 故答案为：． （2）解：解：第n个等式为：（n为正整数）； 故答案为：． （3）解： ． 压轴题型一 算术平方根、立方根的规律探索题 58．观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)已知，则_______； (2)已知，则_______； (3)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ 【答案】(1) (2) (3)规律是：数的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位 【分析】本题考查了算术平方根、规律型：数字的变化类，熟练掌握算术平方根是解决本题的关键． （1）根据规律即可得出答案； （2）根据规律即可得出答案； （3）应从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵， ∴规律是：数的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位． 59．先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面等式提供的信息，请你写出式子化简后的值：______； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上面各等式的规律：______（直接写出）； (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，请直接写出式子的值：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息计算即可； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 故答案为：； （2）解：根据题意得； 故答案为：； （3）解： 故答案为： 60．口算求立方根：我国数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口说出答案．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗?请按照下面的方法试一试： (1)求． ①由，可以确定计算的结果是_____位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是_______； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是_______，由此求得_________． (2)请你根据（1）中求立方根的方法，请确定它们的立方根（直接写出结果）： ①19683       ②110592     ③     ④0.531441 【答案】(1)①二；②9；③； (2)①；②；③；④． 【分析】本题主要考查了立方根的估算与求解，熟练掌握立方数的特征（不同位数立方数的范围、个位数字对应关系等 ）是解题的关键． （1）对于求，思路是先根据与的范围确定立方根的位数；再依据立方数个位数字特征确定个位数字；最后通过划去后三位，对比立方数确定十位数字． （2）对于求其他数的立方根，同样按照（1）的步骤，先定位数，再定个位、十位数字（或小数位对应数字 ）． 【详解】（1）解：①因为，，， 所以是两位数． 故答案为：二； ②因为只有个位数字是， 所以个位数字是． 故答案为：9； ③划去后面三位得，，，， 所以十位数字是，故 ． 故答案为：； （2）解：①，，，是两位数；个位， 因为个位是， 所以个位是； 划去后三位得，，，，十位是，即 ． ②，，，是两位数（实际是 ，按步骤：个位，个位，个位是； 划去后三位得，，，，十位是 ），即 ． ③，，，是两位数；个位， ，按步骤：个位，个位，个位是；划去后三位得，，，，十位是，即 ． ④，，，是一位小数；个位，， ，这里看小数， ，按步骤：个位（对应个位 ）；，，在与之间，划去后三位（小数三位 ）得，接近，更准确计算得 ． 压轴题型二 无理数整数部分的计算综合 61．确定一个用算术平方根表示的数的整数部分和小数部分时，可以用如下办法：例如，因为，所以，即．故的整数部分是3，小数部分是．又例如，因为，所以，即，故的整数部分是7，小数部分是．请你根据上述办法，解答下列各题： （1）确定的整数部分和小数部分； （2）若的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． 【答案】（1）整数部分是3，小数部分是；（2）12 【分析】（1）仿照题例，可直接求出的整数部分和小数部分； （2）根据题例，先确定a、b，再计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，即． 故的整数部分是3，小数部分是； （2）∵， ∴，即， 同理：， ∴的小数部分为a=， 的小数部分为b=， ∴=4×（+）+8=12． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出各无理数的小数部分是解题关键． 62．阅读理解，回答问题. 我们都知道是无理数，因为无理数是无限不循环小数，因此不可能把的小数部分全部写出来，于是小磊用表示的小数部分，请你根据小磊的思路完成下列问题： （1）的小数部分是 ； （2）已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分. ①的取值范围是 ； ②当是5的倍数时，求的值. 【答案】（1）；（2）①；②当是5的倍数时，的值为24或31. 【分析】（1）仿照小磊的方法表示即可； （2）①根据表示的小数部分可得m的取值范围； ②根据①中的结果，可求出m的值，分别代入中计算即可. 【详解】解：（1）∵＜＜， ∴2＜＜3， ∴的小数部分是； （2）①∵表示的小数部分， ∴3＜＜4， ∴； ②∵且是5的倍数， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上，当是5的倍数时，的值为24或31. 【点睛】本题考查了无理数的估算，利用被开方数越大算术平方根越大得出2＜＜3和3＜＜4是解题的关键. 63．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为。 请解答 （1）的整数部分是______，小数部分是_______。 （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值。 （3）已知x是的整数部分，y是其小数部分，直接写出的值. 【答案】（1）3；﹣3； （2）4；（3）x﹣y=7﹣． 【分析】（1）由3＜＜4可得答案； （2）由2＜＜3知a=﹣2，由6＜＜7知b=6，据此求解可得； （3）由2＜＜3知5＜3+＜6，据此得出x、y的值代入计算可得． 【详解】（1）∵3＜＜4， ∴的整数部分是3，小数部分是﹣3； 故答案为3；﹣3． （2）∵2＜＜3， ∴a=﹣2， ∵6＜＜7， ∴b=6， ∴a+b﹣=﹣2+6﹣=4． （3）∵2＜＜3， ∴5＜3+＜6， ∴3+的整数部分为x=5，小数部分为y=3+﹣5=﹣2． 则x﹣y=5﹣（﹣2）=5﹣+2=7﹣． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是熟记估算无理数的大小． 压轴题型三 实数的新定义运算 64．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是_________； (2)若其中一个无理数的“麓外区间”为且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求值． (3)实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“麓外区间”． 【答案】(1) (2)1或37 (3) 【分析】（1）只需要估算出的取值范围即可得到答案； （2）由是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，得到是一个完全平方数，，再由，可得满足题意的m、n的值为：或，由此代入方程中进行求解即可； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“麓外区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴无理数的“麓外区间”是， 故答案为： （2）解：由题意得，m、n是两个相邻的正整数， ∵是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解， ∴是一个完全平方数，， ∵， ∴满足题意的m、n的值为：或， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， 综上所述，C的值为1或37； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，， 两式相减，得， ∴， ∴的算术平方根为， ∵， ∴， ∴的算术平方根的“麓外区间”是． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、无理数的估算，非负数的性质，解二元一次方程组，题目较为新颖，解题的关键是理解题目中“麓外区间”的定义． 65．定义：若正整数和满足，则称的“共同体区间”为，例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为_____； (2)若的“共同体区间”为，求的“共同体区间”． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点，掌握相关知识是解题的关键． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“共同体区间”求出a的取值范围，再求出的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解． 【详解】（1）解：， 的“共同体区间”是， 故答案为：； （2）解：∵无理数的“共同体区间”为， ， 即， ∴， 的“共同体区间”为． 66．定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． (1)点，，中，不是“理想点”的是_____． (2)若点是“理想点”，求x的值． (3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)和 (2)； (3)的值为0或． 【分析】本题主要考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“理想点”的定义是解题的关键． （1）根据“理想点”的定义，计算即可判断； （2）根据“理想点”的定义，列出方程，解方程即可求解； （3）根据“理想点”的定义，求得的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴点是“理想点”； ∵，， 又∵， ∴点不是“理想点”； ∵，， 又∵， ∴点是“理想点”； 故答案为：和； （2）解：∵点是“理想点”， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵点是“理想点”， ∴，整理可得， ∴或， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为0或． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 实数章末易错压轴题型 （19易错+3压轴） 易错题型一 算术平方根 1．若一个自然数的算术平方根为，则比这个自然数大的数可以表示为（      ） A． B． C． D． 2．的算术平方根是 ． 3．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 易错题型二 利用算术平方根的非负性解题 4．已知，则的平方根是（      ） A． B． C． D． 5．若，则的值为 ． 6．已知实数a，b满足关系式． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 易错题型三 估计算术平方根的取值范围 7．估算的值在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 8．根据以下表格里的数据： 2.024 20.24 202.4 2024 20240 1.422 4.499 14.22 44.99 142.2 则 ． 9．【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 易错题型四 求算术平方根的整数部分与小数部分 10．若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 11．已知，若是整数，则a＝ ． 12．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 易错题型五 与算术平方根有关的规律探索题 13．若．则（   ） A．0.0101 B．0.101 C．1.01 D．10.1 14．，则 ． 15．观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … (1)表格中______，______； (2)由表格中数据，归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位； (3)①已知，则______； ②已知，，求m的值． 易错题型六 算术平方根的实际应用 16．某农场有一块长，宽的长方形场地，现要在这块场地上建一个底面为正方形的鱼塘，使其底面面积为长方形场地面积的一半，问：能否建成？若能建成，鱼塘的底面边长大约为多少？ 17．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为．求绣布的周长． 18．如图，用两个面积为的小正方形剪拼成一个大的正方形． (1)则大正方形的边长是_________； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由． （参考数据：） 易错题型七 平方根 19．下列说法：①36的平方根是6；②的平方根是；③；④是的平方根；⑤的平方根是4；⑥81的算术平方根是，其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 20．下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．40的平方根是20 D．负数没有平方根 21．一个正数x的两个不同的平方根是和，则a的值为 ． 易错题型八 平方根的计算 22．求下列各数的平方根： (1)121； (2)0.81； (3)； (4)． 23．一个正数b的两个平方根分别是与， (1)求和的值． (2)求平方根． 24．如图所示，数轴上原点O的右侧有A，B，C三点，A和B两点表示的数分别为1和，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x．    (1)请你写出数x的值； (2)求的平方根． 易错题型九 平方根的应用 25．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 26．勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他先做了一张边长为的正方形桌子，结果涛涛说桌子太大，想让爷爷做成面积为的桌子，于是爷爷在原有桌子的基础上，在两边等距消去宽为的阴影部分，于是空白部分成为了涛涛想要的为的桌子，请问的长度为多少？      27．公元3世纪初，东吴数学家赵爽用著名的“勾股圆方图”找出了直角三角形中求斜边的方法．李明同学在数学思维拓展课上效仿赵爽，如图1，先将一个边长为2的正方形纸片沿两对边中点处剪开，得到两个长方形，再分别沿对角线剪开，得到四个一模一样的直角三角形，再将它们按图2所示无重叠、无缝隙摆放，形成一个外部轮廓为正方形，内部缺口（阴影部分）也是正方形的图形． (1)图1中每个直角三角形的面积是_________，图2中内部缺口正方形的边长为_________． (2)求图1中直角三角形的斜边长． 易错题型十 实数的概念与分类 28．下列说法正确的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数都是无理数 D．无理数与数轴上的点是一一对应的 29．在，，0，，2，，（两个2之间依次多一个1），中． (1)是有理数的有____________； (2)是无理数的有____________； (3)是整数的有____________； (4)是分数的有____________． 30．数学文化节邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位：（每两个“1”之间依次多一个“0”） (1)主办方需要准备_______个“无理数”的席位； (2)请为下列席位找到对应的嘉宾： “整数”席：{     } “分数”席：{     } 易错题型十一 实数与数轴 31．如图，数轴上的数a，b，c，d中，小于的是（    ） A．a B．b C．c D．d 32．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为 ． 33．如图①是由4个面积相同的小正方形组成的图形，面积为4． (1)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (2)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与重合，那么点在数轴上表示的数为 ． 易错题型十二 无理数整数部分的有关计算 34．若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．2 C．4 D． 35．已知的小数部分是，的小数部分是，则 ． 36．【阅读理解】 如何判断无理数的大小范围呢？我们可这样做： 因为： 所以： 即： 因此：是介于5到6的一个数． 由此我们也可以得到这样的结论：的整数部分是5，小数部分是． 【问题解决】 (1)下列无理数中，大小在3与4之间的是（   ） A．　B．　C．　D． (2)的整数部分是_______，小数部分是_______． (3)的整数部分为，小数部分为，则_______． 易错题型十三 立方根 37．下列说法正确的是（ ） A．没有立方根 B．是的立方根 C．一个非零数的立方根，仍然是一个非零的数 D．的立方根是 38．下列说法：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②负数没有立方根；③任何数的立方根都只有一个；④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．其中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 39．已知数a的平方根与其立方根相同，数b和其相反数相等，则（　　） A． B．0 C．1 D．2 易错题型十四 立方根的计算 40．计算：． 41．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 42．正数x的两个平方根分别为3和． (1)求a的值； (2)求的立方根． 易错题型十五 立方根的实际应用 43．如下图，将一个棱长为4的正方体盒子装满水，然后将水全部倒入一个侧面为正方形、长为侧面边长2倍的长方体盒子中．如果长方体盒子正好被装满，求长方体盒子的长（结果精确到）． 44．小明有一个大正方体铁块，其体积为． (1)求这个大正方体铁块的棱长； (2)小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，求另一个小正方体铁块的棱长． 45．如图，是一块体积为512立方厘米的立方体铁块．    (1)求出这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成三个棱长为4厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为5厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 易错题型十六 算术平方根和立方根的综合 46．如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 47．已知，的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根（    ）． A． B．12 C．13 D． 48．已知，表示的算术平方根，，表示的立方根． (1)求m、n的值； (2)求M和N的值； (3)求的平方根． 易错题型十七 实数的混合运算 49．计算 (1)； (2)． 50．实数计算： (1)； (2)； 51．计算 (1) (2) 易错题型十八 程序设计 52．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的的值为时，输出的值是（    ）    A． B． C． D． 53．如图所示的是一个数值转换器． （1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ． 54．如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 易错题型十九 实数运算相关的规律题 55．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2024个数应是（    ） A． B． C． D．2024 56．小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则 ． 57．阅读理解题 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为________ (2)猜想：第n个等式为________（n为正整数） (3)利用上面的解法，请化简： 压轴题型一 算术平方根、立方根的规律探索题 58．观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)已知，则_______； (2)已知，则_______； (3)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ 59．先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面等式提供的信息，请你写出式子化简后的值：______； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上面各等式的规律：______（直接写出）； (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，请直接写出式子的值：______． 60．口算求立方根：我国数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口说出答案．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗?请按照下面的方法试一试： (1)求． ①由，可以确定计算的结果是_____位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是_______； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是_______，由此求得_________． (2)请你根据（1）中求立方根的方法，请确定它们的立方根（直接写出结果）： ①19683       ②110592     ③     ④0.531441 压轴题型二 无理数整数部分的计算综合 61．确定一个用算术平方根表示的数的整数部分和小数部分时，可以用如下办法：例如，因为，所以，即．故的整数部分是3，小数部分是．又例如，因为，所以，即，故的整数部分是7，小数部分是．请你根据上述办法，解答下列各题： （1）确定的整数部分和小数部分； （2）若的小数部分为a，的小数部分为b，求的值． 62．阅读理解，回答问题. 我们都知道是无理数，因为无理数是无限不循环小数，因此不可能把的小数部分全部写出来，于是小磊用表示的小数部分，请你根据小磊的思路完成下列问题： （1）的小数部分是 ； （2）已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分. ①的取值范围是 ； ②当是5的倍数时，求的值. 63．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为。 请解答 （1）的整数部分是______，小数部分是_______。 （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值。 （3）已知x是的整数部分，y是其小数部分，直接写出的值. 压轴题型三 实数的新定义运算 64．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是_________； (2)若其中一个无理数的“麓外区间”为且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求值． (3)实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“麓外区间”． 65．定义：若正整数和满足，则称的“共同体区间”为，例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为_____； (2)若的“共同体区间”为，求的“共同体区间”． 66．定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． (1)点，，中，不是“理想点”的是_____． (2)若点是“理想点”，求x的值． (3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$