精品解析：河南省新乡市第一中学2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

新乡市一中2024-2025学年下期初二年级期末考试 数学试卷 总分：120分 时间：100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在二次根式，，，中，最简二次根式的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母，且不含能开方的因数或因式，进行判断即可． 【详解】：被开方数为，其中3是质数，为未知数，无平方因子，且不含分母，故为最简二次根式． ：，被开方数含分母5，故不是最简二次根式． ：被开方数含分母7，故不是最简二次根式． ：被开方数为多项式，无法分解为平方形式，且不含分母，故为最简二次根式． 综上：最简二次根式的个数有2个； 故选C． 2. 三角形的三边分别为、、，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴b2+c2≠a2， 即此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； B、∵a2-b2=c2， ∴b2+c2=a2， 即此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵a2=（b+c）（b-c）=b2-c2， ∴a2+c2=b2， 即此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵a：b：c=13：5：12， ∴b2+c2=a2， 即此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 3. 如图数轴上的点O表示的数是0，点A表示的数是2，OB⊥OA，垂足为O，且OB＝1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（　　） A. ﹣ B. ﹣2+ C. 2﹣ D. ﹣2﹣ 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用勾股定理求出AB的长，可得AB=AC=，推出OC=-2以此进行分析即可． 【详解】解：在Rt△AOB中，， ∴AB=AC=， ∴OC=AC-OA=-2， ∵C点在x轴负半轴， ∴点C表示的数为2-． 故选：C． 【点睛】本题考查实数与数轴以及勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4. 若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选C． 5. 关于一次函数有如下说法： ①函数的图象从左到右下降，随着x的增大，y反而减小； ②函数的图象与y轴的交点坐标是； ③函数的图象经过第一、二、三象限； 则说法正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】①一次函数，当时，图象从左到右呈上升，y随着x的增大而增大，当时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小，据此判断①；②令x=0，据此解得函数与y轴的交点坐标；③一次函数，当时，图象经过第一、三、四象限． 【详解】解：①正比例函数，，图象从左到右下降，y随x的增大而减小，故①正确； ②令x=0，解得，图象与y轴的交点坐标是，故②正确； ③函数的图象经过第一、三、四象限，故③错误，故正确的有①②， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图象的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6. 某校三好学生评选的综合成绩由三部分组成：文化课成绩占60%，体育成绩占20%，社会活动成绩占20%，小刚上述三部分成绩依次为90分、85分、92分，则小刚评选三好学生的综合成绩为（ ） A. 90.8分 B. 90.2分 C. 89.4分 D. 87.4分 【答案】C 【解析】 【分析】利用加权平均数公式即可求出答案． 【详解】解：小刚评选三好学生的综合成绩为90×60%+85×20%+92×20%＝89.4(分)， 故选：C． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 7. 已知一次函数与坐标轴交于点A和点B，如图，以为边作正方形，点C到y轴的距离是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，点到坐标轴的距离，过点作轴于点，根据正方形的性质得到，，导角可证明，进而证明，得出，，再根据一次函数解析式求出点A和点B的坐标，即可得出点的坐标，最后根据点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值即可得到答案． 【详解】解：过点作轴于点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，当时，；当时，则，解得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标是， ∴点C到y轴的距离是， 故选：C． 8. 将一组数据中每一个数都减掉1，得到一组新的数据，比较这两组数据，以下选项一定不发生改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的意义及平均数、众数、中位数的定义求解可得． 【详解】解：将一组数据中的每一个数都减掉1，得到一组新的数据，那么这组数据的波动幅度保持不变，即方差不变，而平均数和众数、中位数均改变． 故选：D． 【点睛】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是熟练掌握方差的意义与平均数、众数和中位数的定义． 9. 如图，在平行四边形中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，由四边形是平行四边形，得，，从而有，根据等边对等角得，最后由平行线的性质和三角形外角的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD， ∵OD≤OE+DE， ∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大， 此时，∵AB=2，BC=1， ∴OE=AE=AB=1． DE=， ∴OD的最大值为：． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则实数x的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数，分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：若分式在实数范围内有意义， 则， 解得，且． 故答案为：且． 12. 如图，一棵垂直于地面大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是__________米． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】解：一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处， 折断部分长为， 折断之前的高度为（米）， 故答案为：8． 13. 已知直线向下平移个单位后经过点，则值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值． 【详解】解：直线向下平移个单位后得到 ∵经过点， ∴ 解得：， 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，点E，F分别是的中点．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线的判定与性质，勾股定理，作出正确的辅助线是解题的关键． 设边的中点为G，连接，，易证，，，，，．继而证明．在中，．即可解答． 【详解】解：如图，设边的中点为G，连接，． ∵点E，G分别是，的中点， ∴，， ∴． ∵点F，G分别是，的中点， ∴，， ∴． ∵， ， ∴． 在中，． 故答案：． 15. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为_____． 【答案】2秒或3.5秒 【解析】 【分析】由AD∥BC，则PD=QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， ①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则得：9-3t=5-t，解方程即可； ②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则得：3t-9=5-t，解方程即可． 【详解】 ∵E是BC的中点， ∴BE=CE=BC=9， ∵AD∥BC， ∴PD=QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， ①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t， 则得：9−3t=5−t， 解得：t=2， ②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t， 则得：3t−9=5−t， 解得：t=3.5； ∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：2秒或3.5秒． 【点睛】本题是动点问题与图形的结合，分情况讨论，根据平行四边形的性质，列出关系式即可求解． 三、解答题（共8小题，75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． （1）根据二次根式的加减乘除法则运算； （2）利用完全平方公式和平方差公式计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是级． 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整． （2）补全下面的表格中的数据：________，________，________． 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 乙校测试班级 （3）若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有多少人？ 【答案】（1）见解析； （2），，； （3）人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数、中位数与众数、用样本估计总体，从统计图中获取数据求出中位数和众数是解题的关键． 根据乙学校测试班级有人的成绩是级，占总人数的，可以求出乙校参加测试的总人数人，从而可知甲校参加测试的总人数为人，用减去获得、、等于级的人数，可得获得级的人数，根据获得级的人数补全统计图； 根据平均数、中位数、众数的定义分别求出、、的值即可； 利用样本估计总体，用甲校参加测试的同学中级及以上同学占测试总人数的百分比代表全年级同学中级及以上人数占全年级人数的百分比计算即可． 【小问1详解】 解：乙学校测试班级有人的成绩是级， 从乙校测试班级成绩统计图中可以看出乙学校成绩是级的占总人数的， 乙校参加测试的学生的总人数为(人)， 甲校参加测试的学生总数也是人， 甲校成绩为级的人数为(人)， 补全甲校测试班级成绩统计图如下： ： 【小问2详解】 解：甲校参加测试的共有人，按照成绩从高到低排列第名学生应在级， 甲校测试班级的中位数是分， 即， 乙校测试成绩获得组的人数为(人)，获得级的有(人)， 获得级的有(人)，获得级的有(人)， 乙校测试成绩的平均数为：， 乙校测试成绩中获得级人数最多， 乙校测试成绩的众数是， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：甲校测试成绩为级的人数占测试总人数的， 甲校测试成绩为级的人数占测试总人数的， 甲校测试成绩为级及以上的人数占测试总人数的， 利用样本估计总体，可得：甲校测试成绩达到级及以上的人数为(人)， 答：估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有人． 18. 如图，在中，，点D为上一点，连接，，，． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求的长． 【答案】（1）是直角三角形，理由见解答 （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，从而可得，然后利用平角定义可得，即可解答； （2）设，则，然后在中，利用勾股定理进行计算即可． 【小问1详解】 解：是直角三角形， 理由：在中，．，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 是直角三角形； 【小问2详解】 解：设，则， ， ， 在中，， ， ， 即． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 19. 如图，四边形ABCD中，，对角线AC平分∠BAD，且． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果四边形ABCD的面积为24，AC＝8，则四边形ABCD的周长为______． 【答案】（1）见详解 （2）20 【解析】 【分析】（1）先证四边形ABCD是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）连接BD交AC于O，由菱形的性质得，，，，再由菱形的面积求出，则，然后由勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵ ，， ∴四边形ABCD平行四边形， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形ABCD是菱形； 【小问2详解】 连接BD交AC于O，如图所示： 由（1）得：四边形ABCD是菱形， ∴，，，， ∵菱形ABCD的面积＝， ∴， ∴， ∴， ∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 20. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： ··· ··· ··· ··· 其中， ． （2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，请画出函数图象． （3）观察函数图象，写出一条函数图象的性质 ． （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有 交点，所以对应的方程有 个实数根； ②关于的方程有两个实数根时，的取值范围是 ． 【答案】（1）；（2）如图见解析；（3）当时，随的增大而增大；（4）①；②． 【解析】 【分析】（1）将代入计算即可得到的值； （2）根据已画出的点，连线即可； （3）根据图象，描述函数的增减性即可； （4）①由函数图象可知与x轴交点个数，同时可得的根的个数； ②根据图象可得的取值范围． 【详解】（1）将代入，得； 故答案为：2． （2）如图 （3）当时，随的增大而增大等.(答案正确即可)． （4）①根据图象可知，函数图象与轴有1个交点，所以对应的方程有1个实数根； 故答案为：． ②根据图象可知，关于的方程有两个实数根时，的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数及函数图象的探究题，熟知函数的研究方法是解题的关键． 21. 2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，其周边文创产品也备受消费者追捧，某文具店果断订购了印有该影片图案的A，B两种书签．经统计，订购10张A种书签与20张B种书签，成本共计240元；而订购15张A种书签和25张B种书签，则需花费315元． （1）求两种书签每张的进价分别是多少元； （2）该文具店计划购进A，B两种书签共50张，由于B种书签更符合消费者喜好，A种书签的购进数量不超过B种书签数量的．已知两种书签的销售单价分别为10元和12元，如何规划进货方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）种书签每张进价6元，种书签每张进价9元； （2）当购买16张种书签、34张种书签时，所获利润最大，最大利润为166元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用一次函数的实际应用．解决本题的关键是列出利润与购买种书签的数量之间的函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案． （1）设种书签每张进价元，种书签每张进价元，根据两种不同的购买方案所需要的费用列方程组求解即可； （2）设文具店共购进张种书签，则购进种书签张，可以得到所获利润与购买种书签的数量之间的一次函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案即可． 【小问1详解】 解：设种书签每张进价元，种书签每张进价元， 根据题意可得：， 解方程组得：， 答：种书签每张进价6元，种书签每张进价9元； 【小问2详解】 解：设文具店共购进张种书签，则购进种书签张，所获利润为， 根据题意可得：， 解得：， 文具店在这批书签全部售出后获得利润为: ， ∵， 销售利润随着的增大而增大， 当时，销售利润最大， 最大利润为(元)， (张)， 当购买16张种书签、34张种书签时，所获利润最大，最大利润为166元． 22. 如图，在矩形中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是，与关于直线对称，且点E在对角线上． （1）求线段的长； （2）求点D的坐标及直线的函数表达式． 【答案】（1）10； （2），． 【解析】 【分析】（1）根据点B的坐标，利用勾股定理直接计算出长； （2）设，则，，，利用勾股定理可求出长，点的坐标可求，根据B、D坐标，待定系数法可求直线解析式． 【小问1详解】 ∵点B的坐标是， ∴，， 在中，由勾股定理得： ； 【小问2详解】 ∵与关于直线对称， ∴，，， 在中，设，则，，， 由勾股定理得得，， 解得， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴的解析式为． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，轴对称的性质，待定系数法求函数解析式，根据条件灵活设解析式便于简化计算． 23. （1）【问题提出】如图，在和，已知，，三点在一条直线上，，，则的长度为 ． （2）【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积． （3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为 ． 【答案】（）；（）；（）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． （）证明，得，，进而可以解决问题； （）过作交延长线于，证明，得，进而可以求的面积； （）过作于，过作交延长线于，根据面积为，且的长为，得，证明是等腰直角三角形，再根据，可得，，证明，可得，进而可以解决问题； 【详解】解：（）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （）如图，过作交延长线于， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （）如图，过作于，过作交延长线于， ∵面积为，且的长为， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴河流另一边森林公园的面积为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新乡市一中2024-2025学年下期初二年级期末考试 数学试卷 总分：120分 时间：100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在二次根式，，，中，最简二次根式的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 2. 三角形的三边分别为、、，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 3. 如图数轴上的点O表示的数是0，点A表示的数是2，OB⊥OA，垂足为O，且OB＝1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（　　） A. ﹣ B. ﹣2+ C. 2﹣ D. ﹣2﹣ 4. 若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5 关于一次函数有如下说法： ①函数的图象从左到右下降，随着x的增大，y反而减小； ②函数的图象与y轴的交点坐标是； ③函数的图象经过第一、二、三象限； 则说法正确的是（ ） A ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 6. 某校三好学生评选的综合成绩由三部分组成：文化课成绩占60%，体育成绩占20%，社会活动成绩占20%，小刚上述三部分成绩依次为90分、85分、92分，则小刚评选三好学生的综合成绩为（ ） A 90.8分 B. 90.2分 C. 89.4分 D. 87.4分 7. 已知一次函数与坐标轴交于点A和点B，如图，以为边作正方形，点C到y轴的距离是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 8. 将一组数据中每一个数都减掉1，得到一组新的数据，比较这两组数据，以下选项一定不发生改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 9. 如图，在平行四边形中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ） A B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则实数x的取值范围是__________． 12. 如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是__________米． 13. 已知直线向下平移个单位后经过点，则值为 _______． 14. 如图，在四边形中，点E，F分别是的中点．若，则的长为______． 15. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为_____． 三、解答题（共8小题，75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是级． 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整． （2）补全下面的表格中的数据：________，________，________． 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 乙校测试班级 （3）若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有多少人？ 18. 如图，在中，，点D为上一点，连接，，，． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求的长． 19. 如图，四边形ABCD中，，对角线AC平分∠BAD，且． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果四边形ABCD的面积为24，AC＝8，则四边形ABCD的周长为______． 20. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： ··· ··· ··· ··· 其中， ． （2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，请画出函数图象． （3）观察函数图象，写出一条函数图象性质 ． （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有 交点，所以对应的方程有 个实数根； ②关于的方程有两个实数根时，的取值范围是 ． 21. 2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，其周边文创产品也备受消费者追捧，某文具店果断订购了印有该影片图案的A，B两种书签．经统计，订购10张A种书签与20张B种书签，成本共计240元；而订购15张A种书签和25张B种书签，则需花费315元． （1）求两种书签每张的进价分别是多少元； （2）该文具店计划购进A，B两种书签共50张，由于B种书签更符合消费者喜好，A种书签的购进数量不超过B种书签数量的．已知两种书签的销售单价分别为10元和12元，如何规划进货方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 22. 如图，在矩形中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是，与关于直线对称，且点E在对角线上． （1）求线段的长； （2）求点D的坐标及直线的函数表达式． 23. （1）【问题提出】如图，在和，已知，，三点在一条直线上，，，则的长度为 ． （2）【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积． （3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$