精品解析：湖北省荆门徳艺学校南校（碧桂园）人教版2024-2025年下学期期中测试八年级数学

2024-2025年下学期期中测试 八年级数学 一、单选题（共30分） 1. 下面各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，同时满足以上条件的二次根式是最简二次根式，据此逐项判断即可求解，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、被开方数是分数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、被开方数是小数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、是最简二次根式，该选项符合题意； 、，不是最简二次根式，该选项不合题意． 故选：． 2. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，三角形的内角和定理等知识点，根据勾股定理的逆定理以及三角形的内角和为180度，即可判断出三角形的形状，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键． 【详解】A、∵， ∴可设， ∵， ∴， ∴为直角三角形，不符合题意； B、∵，， ∴， ∴为直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴设，则， ∵ ∴， 解得，，，， ∴是锐角三角形，符合题意； D、∵，，，， ∴， ∴为直角三角形，不符合题意； 故选：C． 3. 函数中，自变量x的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，二次根式被开方数的非负性，正确理解代数式的形式列式计算是解题的关键． 根据分式的分母不等于0得到，根据二次根式的被开方数大于等于0得到，求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， 故选D． 4. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系的特点，掌握菱形的性质，勾股定理是关键． 根据点的坐标得到，由勾股定理得到，结合菱形的性质即可求解． 【详解】解：顶点的坐标分别为， ∴，且， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴顶点的坐标为， 故选：B ． 5. 如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．根据矩形的性质及平分分别判定及为等边三角形，然后求得，则可在中求得的度数． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵平分， ， ， ∴， ． ， ，又， 为等边三角形， ， ∴， ∵， ∴， ． 故选：D． 6. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为，则AC长为（ ） A. B. C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】首先连接OB，根据两点间距离公式即可求得OB，再根据矩形的性质可得OB=AC，即可求得AC的长． 【详解】解：如图：连接OB 点B的坐标为， ， 又四边形OABC是矩形， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了两点间距离公式，矩形的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 7. 如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ，，， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ∵， ∴， ． 故选：B． 8. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 9. 正方形的边长为4，点E为中点，连接，于点F，连接，则长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 延长、交于点H，根据中点定义和正方形的性质，证明，得，再根据直角三角形斜边中线定理即可解答． 【详解】解：延长、交于点H， E为的中点， ， 四边形正方形， ，， ， 在和中 ， ， ， ， 点D为的中点， ， ， 在中，为斜边的中线， ， 故选D． 10. 如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以为邻边作矩形，连接．在下列结论中：①；②；③；④．其中正确的结论序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，等角对等边，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，等角对等边，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键． 如图，作于，于，则四边形是矩形，证明四边形是正方形，则，，证明，则，可判断①的正误；证明，可判断②的正误；由，可得，可判断③的正误；由题意知，当时，，此时，可判断④的正误． 【详解】解：如图，作于，于，则四边形是矩形， ∵正方形， ∴， ∴，即， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴，①正确，故符合要求； ∴四边形是正方形，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴，②正确，故符合要求； ∴， ∴，即，③正确，故符合要求； 由题意知，当时，，此时，④不一定成立，故不符合要求； 故选：B． 二、填空题（共15分） 11. 写出一个能与合并的最简二次根式：____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，正确理解其概念是解题的关键． 同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式；根据定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴能与其合并的最简二次根式可以是． 故答案为：（答案不唯一） ． 12. 如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于两点；分别以点为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由作图可知平分，得到，根据平行四边形的性质得到，得出，继而得到，得到，得出． 【详解】解：由作图可知平分， ， ， ， ， ， ， ． 13. 如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则___． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形面积=对角线积的一半可求，再根据勾股定理求出，然后由菱形的面积即可得出结果. 【详解】∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式.熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出是解题的关键. 14. 如图，在中，E是的中点，平分，于点D，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长交于F，证明，得到，结合中位线定理，得到，代入计算即可．． 【详解】解：如图，延长交于F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴ ∴， ∵E是的中点，， ∴是的中位线， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：． 15. 如图，C为平行四边形外一点，连接，分别交边于点F，E，使，，，若，，则（1）的长为______；（2）的长为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质证明．可得，过点作于点，利用含30度角的直角三角形可得，，再利用勾股定理即可求出的长，进而可得的长．本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是得到． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， 如图，过点作于点， ， ， ， ， ，， ， ． ． 故答案为：2，． 三、解答题（共75分） 16. 计算：． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，按照二次根式的运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 17. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求分式的值，解题的关键是利用完全平方公式的变形求值． （1）可先根据题意求出，，再利用完全平方公式的变形求解即可； （2）将所求式子化为，再利用完全平方公式的变形求解即可． 【小问1详解】 解：，， ，， ； 【小问2详解】 由（1）知，，， 18. 周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝高地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据抽象模型 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．小组成员测量了相关数据，并画如下示意图，测得水平距离的长为80米，且线圈里的100米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组提出以下问题： （1）根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； （2）若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短20米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？ 问题解决 …… 请你根据报告单内容完成问题解决，并写出完整的解答过程． 【答案】（1）61.5米；（2）20米 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解并掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理得到的值，由此即可求解； （2）由题意，米，米，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）在中，，米，米， 由勾股定理，可得米， ∴（米）， 答：风筝离地面的垂直高度为米； （2）如图，由题意，米，米， 在中，，由勾股定理，可得米， 则应该再放出（米）， 答：风筝上升了米． 19. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点F． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． （1）先根据线段中点的定义可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后可证出四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线的性质可得，最后根据菱形的判定即可得； （2）先根据菱形的性质可得，再根据三角形的中线的性质可得，由此即可得． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，，是的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：由（1）已得：四边形是菱形， ∴， ∵在中，，是的中点，，， ∴， ∴， 即四边形的面积为． 20. 如图，长方形中，宽，点P沿着四边按方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图所示． （1）长方形的长________，宽________； （2）直接写出________，________，_______； （3）当P点运动到中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，的面积为y，求当时，y与x之间的关系式． 【答案】（1）6；4 （2）1；4；9 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，结合，计算得到，即可得出答案． （2）根据题意，得，结合，计算得到，结合得到，继而得到运动时间为（秒），结合图像可确定a值，m的值；根据，判定点P运动在上，且速度为每秒2个单位，设运动了t秒，从而得到，计算可得到b． （3）分三种情况：当时，点P在上，当时，点P在上，当时，点P在上，分别画出图形，根据三角形面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 解：根据题意，当点P在上时，三角形的面积保持不变， 且为， ∵， ∴， 根据长方形的性质可知：； 【小问2详解】 解：根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴运动时间为（秒）， ∴（秒）， ∴（单位每秒）； 根据图像，得，点P运动在上，且速度为每秒2个单位，设运动了t秒， ∴， ∴， ∴， 解得， 故． 【小问3详解】 解：当时，点P在上，， ； 当时，点P在上，， ； 当时，点P在上，， ∴； 综上分析可知：． 【点睛】本题考查了运动问题，矩形的性质，图像信息综合题，正确读懂图像并获得信息是解题的关键． 21. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）连接OE，若BD＝10，AD＝13，求线段OE的长． 【答案】（1）见解析；（2）12． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）如图，连接，根据（1）的结论可知，根据勾股定理求得即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∵CF∥AE， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形； （2）如图，连接， 四边形AECF是矩形， ， ∵四边形ABCD是菱形， ，， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，掌握图形的基本性质是解题的关键． 22. 如图1，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上． （1）求证：； （2）如图2，过点作，垂足为点O，交线段于点，连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质： （1）连接，利用等腰三角形的性质证明，求出，利用勾股定理即可得出结论； （2）连接； 根据等腰直角三角形的性质易证垂直平分线段，设，则，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵ ∴，即； 在中，， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接； ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴垂直平分线段， ∴； 设，则， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， 即， 解得； ∴的长为． 23. 用四根一样长的木棍搭成菱形，是线段上的动点（点不与点和点重合），在射线上取一点，连接，，使． 操作探究一 （1）如图1，调整菱形，使，在射线上取一点N，使，则______，_______． 操作探究二 （2）如图2，调整菱形，使，在射线上取一点，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由． 拓展迁移 （3）在菱形中，，．若点在直线上，且当时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）长度为或 【解析】 【分析】（1）证明得到，，从而得到，推出为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可得到答案； （2）证明得到，，从而得到，作交于，则，，根据含角的性质及勾股定理得出，从而得到； （3）当时，点和点重合，再分两种情况：当点在线段的延长线时，过点作于点；当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点；利用等腰直角三角形的性质以及锐角三角形函数进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 即； （2），理由如下： 四边形是菱形，， ，， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 如图2，作交于，则，， 在中，，， ， ， ； （3）当时，点和点重合， 如图3，当点在线段的延长线时，过点作于点， 设， ，， 为等腰直角三角形， ， 四边形是菱形，，，， ，， 由菱形的对称性及可得， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ； 如图4，当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点， 设，同①可得：，， ， ， ， 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的性质、正方形的性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 24. 已知，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为正方形． （1）若正方形边长为6． ①如图1，E，F分别在边上，于H，且，请直接写出F点的坐标． ②如图2，若D为上一点，且，Q为y轴正半轴上一点，且，求点Q坐标． （2）若正方形边长为4，如图3，E、F分别在边上，当F为的中点，于H，在直线上E点的两侧有点D、G，能使线段，，且，求． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①通过证明，求出，即可求点的坐标； ②过点作交轴于点，可证明，连接，可证明，设，则，，在中由勾股定理求出，即可求； （2）在中，求出，，再由，可得，连接，，证明，分别得到，，则，再证明，可求，，推导出，在中，由勾股定理求出，在中，由勾股定理求出． 【小问1详解】 ①， ， ， ， ， ， ， ， , ， ； ②如图2，过点作交轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， 连接， ， ， 又， ， ， ，， ， 设，则，， 在中，， 解得， ， ； 【小问2详解】 为的中点，， ， 在中，，， ， ， ， ， ， 连接，， 是的中点，是的中点， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在中，， 在中，． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年下学期期中测试 八年级数学 一、单选题（共30分） 1. 下面各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 3. 函数中，自变量x的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 6. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为，则AC长为（ ） A. B. C. 5 D. 4 7. 如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 9. 正方形的边长为4，点E为中点，连接，于点F，连接，则长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 10. 如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以为邻边作矩形，连接．在下列结论中：①；②；③；④．其中正确的结论序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（共15分） 11. 写出一个能与合并的最简二次根式：____________． 12. 如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于两点；分别以点为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，则的长为________． 13. 如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则___． 14. 如图，在中，E是的中点，平分，于点D，，，则______. 15. 如图，C为平行四边形外一点，连接，分别交边于点F，E，使，，，若，，则（1）的长为______；（2）的长为______． 三、解答题（共75分） 16. 计算：． 17. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2） 18. 周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告： 活动课题 风筝高地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据抽象模型 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．小组成员测量了相关数据，并画如下示意图，测得水平距离的长为80米，且线圈里的100米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组提出以下问题： （1）根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； （2）若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短20米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？ 问题解决 …… 请你根据报告单内容完成问题解决，并写出完整的解答过程． 19. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点F． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，，求四边形的面积． 20. 如图，长方形中，宽，点P沿着四边按方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间t的关系如图所示． （1）长方形的长________，宽________； （2）直接写出________，________，_______； （3）当P点运动到中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，的面积为y，求当时，y与x之间的关系式． 21. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）连接OE，若BD＝10，AD＝13，求线段OE的长． 22. 如图1，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上． （1）求证：； （2）如图2，过点作，垂足为点O，交线段于点，连接，若，，求的长． 23. 用四根一样长的木棍搭成菱形，是线段上的动点（点不与点和点重合），在射线上取一点，连接，，使． 操作探究一 （1）如图1，调整菱形，使，在射线上取一点N，使，则______，_______． 操作探究二 （2）如图2，调整菱形，使，在射线上取一点，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由． 拓展迁移 （3）在菱形中，，．若点在直线上，且当时，请直接写出的长． 24. 已知，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为正方形． （1）若正方形边长为6． ①如图1，E，F分别在边上，于H，且，请直接写出F点的坐标． ②如图2，若D为上一点，且，Q为y轴正半轴上一点，且，求点Q坐标． （2）若正方形边长为4，如图3，E、F分别在边上，当F为的中点，于H，在直线上E点的两侧有点D、G，能使线段，，且，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $