精品解析： 湖南省永州市道县2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试题

2025年上期九年级期中考试试卷 数学 本试题卷共6页，时量：120分钟，满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题（本小题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 国家统计局2025年2月28日发布数据，2024年国内生产总值首次超过130万亿元，比2023年增长，中国式现代化迈出新的坚实步伐．将1300000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，该领奖台的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则实数m的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 反比例函数的图像一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 8. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ） A. 可以找到一个实数，使得 B. 无论实数取什么值，都有 C. 可以找到一个实数，使得 D. 无论实数取什么值，都有 二、填空题（本小题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上记作，则零下记作_________． 12. 计算：______． 13. 如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为__________ 14. 甲、乙、丙三名学生参加仰卧起坐体育项目测试，他们一周测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是________． 15. 如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为__________ 16. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____________________． 17. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为______． 18. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的割圆术：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416.如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某校为丰富课后服务内容，计划开设一些社团活动．受时间限制，每位学生只能参加一类社团活动．为了解学生对舞蹈、声乐、人工智能三类社团活动的喜爱情况，随机选取部分学生进行调查，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，回答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了______名学生，扇形统计图中圆心角______度； ②补全条形统计图； （2）若该校共有400名学生喜欢这三类社团活动，请估计喜欢舞蹈社团活动的学生人数． 22. 如图，在中，，D是的中点，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 23. 某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． （1）求纪念品A、B的单价分别是多少元？ （2）商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 24. 某校数学项目式学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 项目 测量古塔的高度及古塔底面圆的半径 测量工具 测角仪、皮尺、计算器等 活动过程 模型抽象 某景区有一座古塔，其底座的底面为圆形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①点为古塔底面圆圆心，测角仪高度； ②在处分别测得古塔顶端的仰角为； ③测角仪所在位置与古塔底部边缘距离．点在同一条直线上． ④用计算器计算得： 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： （1）求出古塔的高度； （2）求出古塔底面圆的半径． 25. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． （1）求抛物线的解析式； （2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； （3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 26. 在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图① 小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由： 【实践探究】 连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值． 请求出当．时，长的最大值； 【问题解决】 在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上期九年级期中考试试卷 数学 本试题卷共6页，时量：120分钟，满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题（本小题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【详解】解：A．，是负数，符合题意； B．，是正数，不符合题意； C．，是正数，不符合题意； D．，是正数，不符合题意； 故选：A． 2. 国家统计局2025年2月28日发布数据，2024年国内生产总值首次超过130万亿元，比2023年增长，中国式现代化迈出新的坚实步伐．将1300000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 3. 如图，该领奖台的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，根据俯视图的画法即可解决，注意看得见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线． 【详解】解：俯视图是 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项运算法则． 利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项计算后判断正误． 【详解】解：，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项错误； ，D选项错误； 故选：B． 5. 已知，则实数m的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵，而， ∴， 故选：B． 6. 如图，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，根据邻补角的定义求出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 反比例函数的图像一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．据此解答即可． 【详解】解：A．点，计算，故本选项符合题意； B．点，计算，故本选项不符合题意； C．点，计算，故本选项不符合题意； D．点，计算，故本选项不符合题意； 故选：A． 8. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，选中“巴蜀文化”的概率是， 故选：A． 9. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理． 根据垂径定理可得，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵直径， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 10. 已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ） A. 可以找到一个实数，使得 B. 无论实数取什么值，都有 C. 可以找到一个实数，使得 D. 无论实数取什么值，都有 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，再分情况讨论，当时，当时，， 的大小情况，即可解题． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为， 当时，， 当时，， ， 当时，， ， 故A、B错误，不符合题意； 当时，， 由二次函数对称性可知，， 当时，，由二次函数对称性可知，，不一定大于， 故C正确符合题意；D错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本小题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上记作，则零下记作_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若零上的温度用“”表示，那么零下的温度就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：∵零上记作， ∴零下记作． 故答案为： 12. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算．直接按同分母分式加减运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：1． 13. 如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为__________ 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：∵与相切， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 14. 甲、乙、丙三名学生参加仰卧起坐体育项目测试，他们一周测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是________． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查方差，掌握方差越小越稳定是解题的关键． 先比较甲、乙、丙的方差的大小，再找出方差最小的学生即可． 【详解】解：∵，，． ∴， ∴成绩最稳定的学生是丙， 故答案为：丙． 15. 如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为__________ 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：4 16. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：． 17. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求解即可． 【详解】解：过F作于G， 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 故答案为：． 18. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的割圆术：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416.如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．过作于，求得，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正十二边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心， 过作于， 在正十二边形中，， ， ， 正十二边形的面积为， ， ， 的近似值为3， 故答案为：3． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分） 19. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查含绝对值，特殊角三角函数值，负整数指数幂，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据绝对值，特殊角三角函数值，负整数指数幂，二次根式进行计算，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值．先根据单项式乘多项式，平方差公式进行计算，再合并同类项进行化简，最后把m的值代入求值即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 21. 某校为丰富课后服务内容，计划开设一些社团活动．受时间限制，每位学生只能参加一类社团活动．为了解学生对舞蹈、声乐、人工智能三类社团活动的喜爱情况，随机选取部分学生进行调查，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，回答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了______名学生，扇形统计图中圆心角______度； ②补全条形统计图； （2）若该校共有400名学生喜欢这三类社团活动，请估计喜欢舞蹈社团活动的学生人数． 【答案】（1）①40；54；②故补全条形统计图如下： （2）160人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，由样本估计总体等知识．由条形统计图和扇形统计图得出必要的信息和数据是解题关键． （1）①用舞蹈社团的人数除以其所占百分比即可解答；用人工智能社团的人数除以总人数得出其所占比例，再乘以即可；②先求出声乐社团的人数，进而即可补全条形统计图； （2）用舞蹈社团的人数除以总人数得出其所占比例，再乘以该校总人数即可． 【小问1详解】 解：①此次调查一共随机抽取了名学生． 扇形统计图中圆心角． 故答案为：40；54； ②此次调查声乐小组的人数为名， 【小问2详解】 解：名， 答：估计喜欢舞蹈社团活动的学生有160人． 22. 如图，在中，，D是的中点，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， D是BC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等腰三角形三线合一的性质得出，有平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由已知条件可得出，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知四边形是矩形． ∴，，， ∵D是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ 即， ∴． 23. 某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． （1）求纪念品A、B的单价分别是多少元？ （2）商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 【答案】（1）纪念品A、B的单价分别是元和元 （2）A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是元，利用数量总价单价，结合“用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可； （2）设购买a件A种纪念品，总费用为元，利用总价单价数量，可得出关于a的一次函数，求出a的取值范围，根据函数的增减性解题即可． 【小问1详解】 解：设A种纪念品的单价为元，则B种纪念品的单价为元， ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴B种纪念品的单价为元， 答：纪念品A、B的单价分别是元和元． 【小问2详解】 解：设A种纪念品购进件，总费用为元， 则， 又∵， 解得， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，购买这两种纪念品使总费用最少， 这时A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少． 24. 某校数学项目式学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 项目 测量古塔的高度及古塔底面圆的半径 测量工具 测角仪、皮尺、计算器等 活动过程 模型抽象 某景区有一座古塔，其底座的底面为圆形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①点为古塔底面圆圆心，测角仪高度； ②在处分别测得古塔顶端的仰角为； ③测角仪所在位置与古塔底部边缘距离．点在同一条直线上． ④用计算器计算得： 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： （1）求出古塔的高度； （2）求出古塔底面圆的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）延长交于点H，则四边形、四边形都为矩形，得出，，，，设，则，，由锐角三角函数定义得出，求出，再由，即可得出答案． （2）根据（1）即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点H， 则四边形、四边形都为矩形， ∴，，，， 由题意得：，，古塔的高度为，古塔底面圆的半径为， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 所以，古塔的高度为； 【小问2详解】 解：由（1）得古塔底面圆的半径为． 25. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． （1）求抛物线的解析式； （2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； （3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或（3，4） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解； （3）由已知条件可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据，根据二次函数的性质即可求的最大值． 【小问1详解】 解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入， 得， 解得． 所以抛物线的解析式为． 【小问2详解】 设直线AB的解析式为， 将A（4，0），B（1，4）代入， 得， 解得． 所以直线AB的解析式为． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N． 过点B作BE⊥PM，垂足为E． 所以 ． 因为A（4，0），B（1，4），所以． 因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍， 所以，． 设，则． 所以， 即， 解得，． 所以点P的坐标为或（3，4）． 【小问3详解】 记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点 ， ， 设 直线AB的解析式为． 设，则 整理得 时，取得最大值，最大值为 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键． 26. 在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图① 小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由： 【实践探究】 连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值． 请求出当．时，长的最大值； 【问题解决】 在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明． 【答案】操作发现：与相切， 理由：如图①，连接并延长交于点M，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， 由旋转的性质，得， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴与相切； 实践探究：； 问题解决：证明：过点E作交于点N， 由旋转的性质知：， ， ， ， ， 由旋转的性质得：， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】操作发现：连接并延长交于点M，连接，根据直径所对圆周角为直角得到，根据旋转的性质得到，由圆周角定理推出，等量代换得到，利用直角三角形的性质即可证明，即可得出结论； 实践探究：证明，得到，结合三角形外角的性质得到，易证，得到，设，则，得到，利用二次函是的性质即可求解； 问题解决：过点E作交于点N，由旋转的性质知：，证明，推出，由旋转的性质得：， 得到，根据，易证，得到，即可证明结论． 【详解】操作发现：略 实践探究： 解： 由旋转的性质得：， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值为； 问题解决：略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $