精品解析：山东省东营市利津县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

山东省东营市利津县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试题分为第I卷和第II卷两部分。第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，90分；全卷共5页。 2．数学试题答题卡共4页，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡。 3．第I卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。第II卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上。 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列式子中，一定是二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，若，，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 5. 如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 6. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 7. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（ ） A. 5 B. 4.8 C. 3 D. 2.4 9. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论： ①； ②； ③； ④四边形的面积为正方形面积的； ⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，11－14每题3分，15－18题每题4分，共28分） 11. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是________． 12. 已知|a+2|+＝0，则a+b＝___． 13. 若与最简二次根式是同类二次根式，则______． 14. 如图，在菱形ABCD中，，，垂足分别为点E，F．若，则等于______度． 15. 等腰的底和腰分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长为______． 16. 如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长等于______． 17. 如果关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|﹣3x＋1＝0是一元二次方程，则m＝_____． 18. 如图，以边长为1的正方形的边为对角线作第二个正方形，再以为对角线作第三个正方形，如此作下去，…，则所作的第2025个正方形的面积___________ 三、解答题（本大题共7小题，共62分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 21. 已知：关于的方程． （1）试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程有一个根为3，试求的值． 22. 如图，在四边形中，． （1）求证：四边形是矩形； （2）点是上一点，点F是的中点，连接，若，，求的长． 23. 在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由． 24. 小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：可以直接带入求值，但是有些麻烦，于是他又想出了另外两种方法 方法一：因为， 所以． 所以，即． 所以． 所以． 方法二： 当时，原式． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：_____________． （2）计算：； （3）若，求的值．（选择一种解法即可） 25. 如图，点是正方形内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，延长交直线于点． （1）如图1，试猜想线段和有怎样的数量关系和位置关系，并证明你的结论； （2）如图2，若是等边三角形，判断的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省东营市利津县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试题分为第I卷和第II卷两部分。第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，90分；全卷共5页。 2．数学试题答题卡共4页，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡。 3．第I卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。第II卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上。 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列式子中，一定是二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，解决本题的关键是根据二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A选项：是二次根式，故A选项符合题意； B选项：其中被开方数，无意义，不是二次根式，故B选项不符合题意； C选项：当，即时，无意义，不一定是二次根式，故C选项不符合题意； D选项：是三次根式，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选： A． 2. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，若，，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是菱形的性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握菱形的性质． 结合菱形的性质求得、后，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：菱形中，，且、互相平分， ，， 中，， 即菱形的边长是． 故选：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算．逐一分析各选项的运算是否正确，利用二次根式的性质和运算法则进行判断． 【详解】A. 与非同类二次根式，无法直接相加，故错误； B. ，故错误； C. ，故错误； D.，则，计算正确． 故选D． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】把a=2，b=-3，c=-1代入 并计算其值，最后根据计算结果判断方程的根的情况即可． 【详解】解：∵ a=2，b=-3，c=-1， ∴ ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，正确掌握根的判别式是解题的关键． 5. 如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形中，对角线，交于点，，判定是等边三角形，得到，解答即可． 【详解】解：∵矩形中，对角线，交于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，不符合题意； B．矩形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； C．正方形的每一条对角线平分一组对角，正确，符合题意； D．平行四边形不一定是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义，熟练掌握基础知识是解题的关键． 7. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：由原方程移项，得， 等式的两边同时加上，得， 配方，得． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 8. 如图，在ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（ ） A. 5 B. 4.8 C. 3 D. 2.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形EDFB是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=BD，则EF的最小值即为BD的最小值，根据垂线段最短，知：BD的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高． 【详解】如图，连接BD． ∵在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10， ∴AB2+BC2=AC2，即∠ABC=90°． 又∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F， ∴四边形EDFB是矩形， ∴EF=BD． ∵BD的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即4.8， ∴EF的最小值为4.8， 故选：B． 【点睛】此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段． 9. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、根的情况，利用一元二次方程的定义和判别式判断根的情况是解题的关键．根据一元二次方程的定义得到，再利用根的判别式，解出不等式组即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 解得：且． 故选：D． 10. 如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论： ①； ②； ③； ④四边形的面积为正方形面积的； ⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，，利用全等三角形判定推出，可判断①；由全等三角形的性质可得，，可判断②；由和得出，可判断③；由得到，可判断④；利用勾股定理可判断⑤，即可得出结论． 【详解】解：正方形， ，，，， ， ， ，即， ，故①正确； ， ，， ，即，故②正确； ，， 是等腰直角三角形， ， 若需证，则需证，而题目条件无法证明，故③不正确； ， ， ， 正方形， ， 四边形的面积为正方形面积的，故④正确； ， ，故⑤正确； 综上所述，其中正确的有①②④⑤，正确的个数是4． 故选：C． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，11－14每题3分，15－18题每题4分，共28分） 11. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可； 【详解】解：由题可知， 解得： 故答案为： ． 12. 已知|a+2|+＝0，则a+b＝___． 【答案】3 【解析】 【分析】根据非负性即可求出a，b，故可求解． 【详解】根据题意得：a+2＝0，b﹣5＝0， 解得：a＝﹣2，b＝5， ∴a+b＝﹣2+5＝3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知绝对值与二次根式的非负性． 13. 若与最简二次根式是同类二次根式，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，先利用二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的被开方数相同即为同类二次根式求解即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，且， ∴，则， 故答案为：1． 14. 如图，在菱形ABCD中，，，垂足分别为点E，F．若，则等于______度． 【答案】50 【解析】 【分析】首先根据菱形的性质得出∠A＝∠C，AD＝CD，结合垂直的性质进而利用全等三角形的判定证明△ADE≌△CDF，证明，根据直角三角形两锐角互余得，根据菱形的性质得，从而可求出． 【详解】解：∵DE⊥AB，DF⊥BC ∴∠AED＝∠CFD＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠A＝∠C，AD＝CD， ∵在△AED和△CFD中， ， ∴△AED≌△CFD（AAS）． ∴ ∵ ∴ ∵∠AED＝∠CFD＝90° ∴ ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD//BC ∴ ∴ ∴ 故答案为：50 【点睛】此题主要考查了菱形的性质和全等三角形的判定等知识，根据已知得出∠A＝∠C是解题关键． 15. 等腰的底和腰分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】先利用因式分解法解方程，再根据三角形的三边关系得出底和腰，进而求周长； 【详解】解：， （x－4）（x－1）=0， x1=4，x2=1， ∵1＋1=2＜4，不符合三角形的三边关系， ∴等腰三角形的底为1，腰是4， 周长=1＋4＋4=9， 故答案为：9 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：因式分解法即利用因式分解求方程的解，这种方法简便易用是解一元二次方程最常用的方法；也考查了三角形的三边关系． 16. 如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长等于______． 【答案】3 【解析】 【分析】先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：∵在矩形中， ∴，，， ∵由折叠的性质可知：，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设：，则， ∵在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，根据折叠前后的图形全等得到相关条件是解答本题的关键． 17. 如果关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|﹣3x＋1＝0是一元二次方程，则m＝_____． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义可得：|m-1|=2，且m-3≠0，再解即可． 【详解】解：由题意得：|m-1|=2，且m-3≠0， 解得：m=-1， 故答案为：-1． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 18. 如图，以边长为1的正方形的边为对角线作第二个正方形，再以为对角线作第三个正方形，如此作下去，…，则所作的第2025个正方形的面积___________ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质．解题的关键是找到规律：所作的第n个正方形的面积． 由正方形的边长为1，根据正方形的性质，即可求得，的值，则可求得，，的值，即可求得规律所作的第n个正方形的面积，把代入表达式可得答案． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∴第n个正方形的面积是， ∴第个正方形的面积是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共62分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和乘法公式是解题的关键． （1）先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再进行加法运算即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 20. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选用恰当的方法进行求解是解题的关键． （1）根据直接开平方法进行求解即可； （2）根据配方法进行求解即可； （3）根据因式分解法进行求解即可． 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 ， 或， ． 21. 已知：关于的方程． （1）试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程有一个根为3，试求的值． 【答案】（1）见解析 （2）2009 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程. （1）根据根的判别式计算即可； （2）将代入原方程得到，再代入计算即可. 【小问1详解】 证明：， 无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：方程有一个根为3， ，即． ． 22. 如图，在四边形中，． （1）求证：四边形是矩形； （2）点是上一点，点F是的中点，连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理的逆定理；解决本题的关键是掌握矩形的性质． （1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题； （2）根据勾股定理的逆定理证明，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求解． 【小问1详解】 证明：， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， ，， ， 是直角三角形，且， 又点是的中点， ． 23. 在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴∠ABE=∠ADF， 在△ABE与△ADF中 ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）； （2）如图，连接AC， 四边形AECF是菱形． 理由：在正方形ABCD中， OA=OC，OB=OD，AC⊥EF， ∴OB+BE=OD+DF， 即OE=OF， ∵OA=OC，OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可； （2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断； 【详解】（1）略 （2）略 24. 小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：可以直接带入求值，但是有些麻烦，于是他又想出了另外两种方法 方法一：因为， 所以． 所以，即． 所以． 所以． 方法二： 当时，原式． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：_____________． （2）计算：； （3）若，求的值．（选择一种解法即可） 【答案】（1） （2）14 （3）5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）分母有理化即可； （2）分别将每个分式分母有理化计算即可； （3）方法一：参照题干作答即可； 方法二：参照题干作答即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：方法一：因为， 所以．所以，即． 所以． 所以． 方法二：． 当时，原式． 25. 如图，点是正方形内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，延长交直线于点． （1）如图1，试猜想线段和有怎样的数量关系和位置关系，并证明你的结论； （2）如图2，若是等边三角形，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2）为等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设与交于点，根据正方形性质得出，根据旋转的性质得出，，从而，从而利用“”证明，根据全等得出，根据对顶角得出，从而说明； （2）根据等边三角形的性质得出，则，再求出，然后根据得出，从而得出答案． 【小问1详解】 证明：如图，设与交于点， 四边形是正方形， ， 由旋转的性质得出，， ， ， 在和中， ， 又， ， ； 【小问2详解】 解：为等腰直角三角形． 理由如下：为等边三角形， ， ， ， 又， ， ∵， ， 为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用以及等腰直角三角形的判定，综合性强，较难．利用数形结合的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $