精品解析：黑龙江省佳木斯市富锦市三江联合学校、大兴学校2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

九年级数学下册期中测试卷 满分120分，限时120分钟 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标（　　） A. （3，4） B. （-3，4） C. （3，-4） D. （-3，-4） 2. 反比例函数的图象经过点（1，-2），则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 中，，，（ ） A. B. C. D. 4. 若△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，则这两个三角形的面积比为（ ） A. 2：3 B. 3：2 C. 4：9 D. 9：4 5. 二次函数的图象与轴交点的坐标是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，在中，，，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（　　） A. 点（﹣2，﹣1）在它图象上 B. 它的图象在第一、三象限 C. 当x＞0时，y随x的增大而增大 D. 当x＜0时，y随x的增大而减小 8. 二次函数图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 9. 如图，在中，，，，是的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，若，则的长为（ ） A. B. 7 C. D. 5 10. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若反比例函数，在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是__________． 12. 已知△ABC∽△DEF，与的相似比为4:1，则与对应边上的高之比为____________． 13. 二次函数配方后化为的形式为______． 14. 如图，在中，，D为的中点，于点E，若，，则的长为______． 15. 如图，菱形顶点C的坐标为，顶点A在x轴的正半轴上.反比例函数的图象经过顶点B，则k的值为__． 三、解答题（共75分） 16. 计算： 17. 已知二次函数的图象经过点和 （1）求该二次函数的解析式． （2）求该二次函数图象与x轴的另一个交点坐标． 18. 如图，在中，，，，． （1）求的值； （2）求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为， ． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式． （2）求的面积． （3）P是x轴上的点，且的面积与的面积相等，求P点的坐标． 20. 如图，为测量一座山峰的高度，将此山的某侧山坡划分为和两段，每一段山坡近似是直的，测得坡长米，米，坡角，． （1）求段山坡的高度； （2）求山峰的高度．（结果保留根号） 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？ 22. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作，垂足为，连接． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线（）经过B，C两点，已知，，且． （1）分别求直线和抛物线的解析式（关系式）； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学下册期中测试卷 满分120分，限时120分钟 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（　　） A. （3，4） B. （-3，4） C. （3，-4） D. （-3，-4） 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标． 【详解】解：因为y=2（x-3）2+4是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（3，4）． 故选A． 【点睛】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法． 2. 反比例函数图象经过点（1，-2），则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，此题得解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点（1，-2）， ∴k=1×（-2）， ∴k=-2． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征找出关于k的一元一次方程是解题的关键． 3. 在中，，，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出直角三角形，根据正弦的定义和勾股定理，写出三边比例关系，再由余弦的定义求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴设，， 在中，由勾股定理可得， ∴ ． 故选． 【点睛】本题考查正弦和余弦的定义，解题的关键是画出图象结合勾股定理求出三边比例关系，并根据正弦和余弦的定义求值． 4. 若△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，则这两个三角形的面积比为（ ） A. 2：3 B. 3：2 C. 4：9 D. 9：4 【答案】C 【解析】 【分析】由△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，根据相似三角形的性质，即可求得答案． 【详解】∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3， ∴这两个三角形的面积比为4：9． 故选C． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方． 5. 二次函数的图象与轴交点的坐标是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 令，解方程求出x的值，即可得得答案． 【详解】解：令，则， 解得，， ∴二次函数的图象与轴交点的坐标是的图象与轴交点的坐标是，， 故选：A． 6. 如图，在中，，，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，先证，再根据“相似三角形对应边成比例”列比例式即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（　　） A. 点（﹣2，﹣1）在它的图象上 B. 它的图象在第一、三象限 C. 当x＞0时，y随x的增大而增大 D. 当x＜0时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【详解】把点（-2，-1）代入可得，x=-2时，y=-1，所以该点在函数图象上，A正确，不符合题意； 因为2大于0所以该函数图象在第一，三象限，所以B正确，不符合题意； 因为2大于0，所以该函数在x＞0时，y随x的增大而减小，所以C错误，符合题意； 当x＜0时，y随x的增大而减小，正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数，掌握反比例函数的基本性质以及反比例函数的在各个象限单调性的变化是解题关键． 8. 二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据抛物线的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点坐标，逐项分析判断，只有选项符合题意，由此选出答案． 【详解】解：∵开口向上， ∴，故A错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故B错误； 根据图象可得当时，，故C正确； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴，故D错误； 故选：C． 9. 如图，在中，，，，是的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，若，则的长为（ ） A. B. 7 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线的定义与性质，解直角三角形，勾股定理，折叠的性质，作出正确的辅助线是解题的关键． 作的中点M，连接，易得是的中位线，可求出，再根据，易证是等腰直角三角形，即可解答． 【详解】解：作的中点M，连接，如图 ∵，，，是的中点， ∴，是的中位线， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 由折叠，可得 ， ∴， ∴． 故选B． 10. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数间的关系，根据抛物线开口方向判断a的符号，根据对称轴及与y轴交点坐标判断b和c的符号，据此可判断①的正误；根据对称轴是直线判断②的正误；根据函数在的函数值判断④的正误；根据抛物线与x轴交点的个数判断③的正误解答即可． 【详解】解：∵开口向下， ∴， ∵对称轴位于y轴右侧， ∴a，b异号，即， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，故②错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故③正确； ∵当时，函数值为负值， ∴，故④正确； 故选：B． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若反比例函数，在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故答案为：． 12. 已知△ABC∽△DEF，与的相似比为4:1，则与对应边上的高之比为____________． 【答案】4：1． 【解析】 【详解】试题分析：相似三角形对应边上的高、对应角的平分线、对应边上的中线之比，都等于相似比．所以△ABC与△DEF对应边上的高之比等于它们的相似比4：1．故答案为4：1． 考点：相似三角形的性质． 13. 二次函数配方后化为的形式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了把二次函数解析式化为顶点式，利用配方法把二次函数解析式化为顶点式，即可求解． 【详解】解： 故答案为：. 14. 如图，在中，，D为的中点，于点E，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理和三角形的面积.连接，根据已知和等腰三角形的性质得出和，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：连接， ∵，D为的中点，， ∴，， 中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 故答案：． 15. 如图，菱形的顶点C的坐标为，顶点A在x轴的正半轴上.反比例函数的图象经过顶点B，则k的值为__． 【答案】32 【解析】 【分析】根据点C坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值． 【详解】∵C（3，4）， ∴OC==5， ∴CB=OC=5， 则点B的横坐标为3+5=8， 故B的坐标为：（8，4）， 将点B的坐标代入y=得， 4=， 解得：k=32． 故答案为32． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标． 三、解答题（共75分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，二次根式的加减计算，零指数幂，先计算特殊角三角函数值，再化简二次根式和计算零指数幂，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 17. 已知二次函数的图象经过点和 （1）求该二次函数的解析式． （2）求该二次函数图象与x轴的另一个交点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，因式分解法解一元二次方程. （1）把点和代入求解即可； （2）令，即，因式分解法解一元二次方程即可. 【小问1详解】 把点和代入， 得， 把代入，得， 解得， 所以该二次函数的解析式为． 【小问2详解】 令，即， 分解因式得， 则或， 解得，， 所以该二次函数图象与轴的另一个交点坐标为． 18. 如图，在中，，，，． （1）求的值； （2）求的长． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质. （1）由可知，则，将数据代入计算即可； （2）由（1）知，根据计算即可. 【小问1详解】 解：∵， ， ∴， ，， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为， ． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式． （2）求的面积． （3）P是x轴上的点，且的面积与的面积相等，求P点的坐标． 【答案】（1）反比例函数为，一次函数的解析式为：； （2）2； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正切函数，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）过B作x轴垂线，垂足为D，求出，根据求出，得出B的坐标，把B的坐标代入即可求出反比例函数的解析式，求出A的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，即可求出解析式； （2）求出，根据三角形面积公式求出即可； （3）设P点的坐标为根据得出，求出即可． 【小问1详解】 解：过B作x轴的垂线，垂足为D， ∵B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴B的坐标为 把代入得：， ∴反比例函数为， 把代入得：， ∴， 把和代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：在中，令，得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设P点的坐标为， 则由得：， ∴， 即|， 解得：或， 即P的坐标为或． 20. 如图，为测量一座山峰的高度，将此山的某侧山坡划分为和两段，每一段山坡近似是直的，测得坡长米，米，坡角，． （1）求段山坡的高度； （2）求山峰的高度．（结果保留根号） 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度与坡角问题． （1）如图，作于，在中根据正弦的定义可计算出的长，从而得到的长； （2）先在中利用的正弦计算出，然后计算和的和即可． 【小问1详解】 解：如图，作于， 在中，， ， ． 答：段山坡的高度为； 【小问2详解】 解：在中， ， ， ． 答：山峰的高度为． 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少？ 【答案】（1）每件衬衫应降价20元 （2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最多盈利是1250元 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用二次函数求最值是解决此题的关键． （1）若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为元，但每天多售出件即售出件数为件，因此每天赢利为元，进而可根据题意列出方程求解． （2）列出商场平均每天赢利y与衬衫降价x之间的函数关系式，利用二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设每件衬衫应降价x元， 根据题意得， 整理得， 解得，． 因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快， 故每件衬衫应降20元． 答：每件衬衫应降价20元． 【小问2详解】 解：设商场平均每天赢利y元，则 ； ∵， ∴当时，y取最大值，最大值为1250． 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元． 22. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作，垂足为，连接． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）9． 【解析】 【分析】（1）连接，利用，，证得，易证，故为的切线； （2）证得，求得，利用求得答案即可． 【详解】证明： 连接OD． ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵OD=OC， ∴∠ODC=∠C， ∴∠ODC=∠B， ∴OD∥AB， ∵DF⊥AB， ∴OD⊥DF， ∵点D在⊙O上， ∴直线DF与⊙O相切； （2）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形， ∴∠AED+∠ACD=180°， ∵∠AED+∠BED=180°， ∴∠BED=∠ACD， ∵∠B=∠B， ∴△BED∽△BCA， ∴， ∵OD∥AB，AO=CO， ∴， 又∵AE=7， ∴， ∴BE=2， ∴AC=AB=AE+BE=7+2=9． 【点睛】此题考查了切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线（）经过B，C两点，已知，，且． （1）分别求直线和抛物线的解析式（关系式）； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；； （2）存在， ，，， 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的长，确定出点B坐标，把B与C坐标代入直线解析式求出k与n的值，确定出直线解析式，把A与B坐标代入抛物线解析式求出a的值，从而得到抛物线解析式； （2）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，如图所示，分三种情况考虑：①当以点C为直角顶点时；②当以点B为直角顶点时；③当以点P为直角顶点时，根据三角形相似，分别求出P的坐标即可． 【小问1详解】 解：，即，， ∴在中，根据勾股定理得： ，即， 把B与C坐标代入中， 得：， 解得：k=，， ∴直线解析式为； 由，， 设抛物线解析式为， 把代入得：， 则抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：在抛物线的对称轴上存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点，抛物线的对称轴为直线l，直线l与x轴相交于点E． ①当以点C为直角顶点时，过点C作于点C，交l于点，作于点M， ，， ， ∴， ， ∴， 解得：， ∴点； ②当以点B为直角顶点时，过点B作于点B，交l于点， ，， ， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴点； ③当以点P为直角顶点时， ，， ， ∴，即， 解得，， ，． 综上，使得为直角三角形的点P的坐标为 ，，，． 【点睛】此题考查的是二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，二次函数的性质，以及两直线垂直时斜率的关系，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$