精品解析：上海市普陀区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

2024学年度第二学期七年级数学学科自适应练习 （本卷分两个部分，第一部分为必做题，满分100分； 第二部分为选做题，满分10分．本卷完成时间90分钟） 第一部分必做题 一、选择题（本大题共有8题，每题3分，满分24分） 1. 已知，下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（ ） A. 垂线段相等 B. 两点确定一条直线 C. 在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D. 在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 3. 如图，在下列条件中，不能说明的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是（ ） A. B. C. D. 5. 下列平面图形沿轴旋转一周，可以得到如图所示的几何体的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为和，斜边长为．如果将这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为（ ） A. 16 B. 18 C. 16或18 D. 14或16 7. 小普在学习了三角形相关知识后，得出如下两个结论：①三角形一边上高的长度必定小于这条边上中线的长度；②三角形一边上的中线小于另两边和的一半．对于结论①和②，下列说法正确的是( ) A. ①、②都正确 B. ①、②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 二、填空题（本大题共有10题，每题3分，满分30分） 8. 用适当的不等号填空：如果，那么___________． 9. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 10. 已知三个连续自然数的和不小于21，求满足条件的最小自然数．如果设满足条件的最小自然数为，那么根据题意可列出不等式为___________． 11. 如图，一束平行光线照射在等边上，如果，那么___________°． 12. 等腰三角形的周长为12cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为___________. 13. 在中，边的垂直平分线相交于点，如果点在边上，那么___________°． 14. 如图，把一个底面周长为厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，切拼后表面积增加了80平方厘米，那么原来这个圆柱的高是___________厘米． 15. 在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是___________．（只需写出一个） 16. 如图，在3×3的正方形网格中，则_________°． 17. 如图，在中，，，将绕点旋转得，点、的对应点分别是点、，线段交边于点，连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是___________． 三、解答题（本大题共有7题，第19、20题每题4分，第21、22题每题6分，第23、24题每题8分，第25题10分，满分46分） 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示 19. 如图，已知：、相交于点，，，、是上的两点，且．求证：． 证明：， （___________）． 在和中， （___________）． （___________）． ， ． ． 20. 用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以上说理过程） 21. 如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． （1）求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； （2）当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 22. 如图，已知：在中，点分别在边上，．． （1）求证：； （2）连接，如果平分，求证：． 23. 如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． （1）求证：； （2）、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 24. 已知小于的，点是边上的一个定点，点在边上． （1）如图1，，将沿着直线翻折得，点的对应点为点，如果，求的度数； （2）在图2中，用尺规作，使；（保留作图痕迹，简要说明作图步骤） （3）在（2）所作的图中，当时，求的面积．（用含的代数式表示） 第二部分 选做题（本题满分10分） 25. 如图1，四个底面形状、大小都相同且材质相同、均匀的长方体积木对齐叠放，从上至下编号依次为①、②、③、④，积木②、③、④的高度相同，都是积木①高度的2倍．设长方形积木的初始边缘所在直线为． 【预备知识】 1．两个长方体积木组合叠在一起组成一个新的组合，当上方组合的重心在水平方向上超过下方组合的边缘时，就会倒下． 2．一个长方体积木组合的重心偏移的水平距离，等于组合中各个长方体积木重心偏移的水平距离分别乘其各自的质量，再把它们相加所得的和除以长方体积木组合的总质量所得的结果． 3．积木的质量比等于它们的高度比． 假设每块积木长为，在不倾倒的前提下按照要求推动积木． （1）如图2，推动积木①至最远， ①积木①的最远延伸长度为________； ②此时积木①②组合的重心偏移的距离为________．（结果用含的代数表示）（提示：请结合预备知识解决） （2）在（1）的基础上，保持积木①②组合的相对位置不变，先按图3中食指所指的方向推动积木①②组合至最远，再继续推动积木③，求积木①②③组合的最远延伸长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年度第二学期七年级数学学科自适应练习 （本卷分两个部分，第一部分为必做题，满分100分； 第二部分为选做题，满分10分．本卷完成时间90分钟） 第一部分必做题 一、选择题（本大题共有8题，每题3分，满分24分） 1. 已知，下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．两边同时加1，不等式方向不变，原式变为，故A错误，不符合题意． B．两边同时减1，不等式方向不变，原式变为，故B错误，不符合题意． C．两边同时乘正数2，不等式方向不变，原式变为，故C错误，不符合题意． D．两边同时乘负数，不等式方向反转，原式变为，故D正确，符合题意． 故选：D． 2. 如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（ ） A. 垂线段相等 B. 两点确定一条直线 C. 在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D. 在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂线的定义，直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案，掌握垂线的定义是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：． 3. 如图，在下列条件中，不能说明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，利用平行线的判定定理，逐一判断即可得出结论． 【详解】解：、， （同位角相等，两直线平行），故能判定； 、， （内错角相等，两直线平行），故能判定； 、， （同位角相等，两直线平行），故不能判定； 、， （同旁内角互补，两直线平行），故能判定； 故选：C． 4. 已知是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和直角三角形的定义，求出每一个内角的度数是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出每一个内角度数即可判断． 【详解】解：选项A：，三个角相等，每个角为，均为锐角，无直角，不符合条件，排除． 选项B：，总份数为，对应角度分别为：，，存在90°角，且另两角之和为，符合条件． 选项C：，总份数为，对应角度分别为：，，，均为锐角，无直角，排除． 选项D：总份数为，对应角度分别为：，，，均为锐角，无直角，排除． 综上，正确答案为B． 故选：B． 5. 下列平面图形沿轴旋转一周，可以得到如图所示的几何体的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟悉并判断出旋转后的立体图形是解题的关键．根据面动成体判断出各选项中旋转得到立体图形即可得出答案． 【详解】A、旋转一周为圆锥，不符合题意； B、旋转一周为倒立的圆锥且底面凹进去一个圆锥，不符合题意； C、旋转一周能够得到的几何体与原题图形位置反过来了，不符合题意； D、旋转一周能够得到原题图形，符合题意； 故选：D． 6. 已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为和，斜边长为．如果将这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为（ ） A. 16 B. 18 C. 16或18 D. 14或16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，将两个全等的直角三角形拼成等腰三角形时，有两种可能的拼接方式：沿直角边或拼接，形成底边为或的等腰三角形，两腰均为斜边；或者沿斜边拼接，但此时无法形成三角形．根据分析求出周长即可． 【详解】解：①沿直角边拼接：将两个直角边重合，形成底边为，两腰为斜边的等腰三角形．周长． ②沿直角边拼接：将两个直角边重合，形成底边为，两腰为斜边的等腰三角形．周长． ③沿斜边拼接，但此时无法形成三角形． 综上，等腰三角形的周长为或， 故选：C． 7. 小普在学习了三角形相关知识后，得出如下两个结论：①三角形一边上高的长度必定小于这条边上中线的长度；②三角形一边上的中线小于另两边和的一半．对于结论①和②，下列说法正确的是( ) A. ①、②都正确 B. ①、②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质以及三角形三边关系，①等腰三角形底边上高的长度等于这条边上中线的长度，②倍长中线后利用三角形全等，可得到三角形中线的2倍小于其它两边和，即其一边上的中线小于其他两边和的一半，即可． 【详解】解：①等腰三角形底边上高的长度等于这条边上中线的长度，故①不正确； ②如图，是的中线，且，延长至点，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 结论②正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共有10题，每题3分，满分30分） 8. 用适当的不等号填空：如果，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是正确解答的前提． 根据不等式的性质可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【解析】 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 10. 已知三个连续自然数的和不小于21，求满足条件的最小自然数．如果设满足条件的最小自然数为，那么根据题意可列出不等式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，设满足条件的最小自然数为，根据三个连续自然数的和不小于21列出不等式即可． 【详解】解：设满足条件的最小自然数为， 根据题意得． 故答案为：． 11. 如图，一束平行光线照射在等边上，如果，那么___________°． 【答案】85 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质，先求解，再结合等边三角形与三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵为等边三角形， ∴， ∴； ∵平行光线， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 等腰三角形的周长为12cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为___________. 【答案】4.5cm 【解析】 【分析】此题要分情况考虑：3cm是底或3cm是腰．根据周长求得另一边，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断是否能够组成三角形． 【详解】当3cm是底时,则腰长是(12−3)÷2=4.5(cm)，此时能够组成三角形； 当3cm是腰时,则底是12−3×2=6(cm)，此时3+3=6，不能组成三角形，应舍去. 故答案为4.5cm 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，解题关键在于分情况讨论 13. 在中，边的垂直平分线相交于点，如果点在边上，那么___________°． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理．由线段垂直平分线的性质，得到，，由等边对等角，得到，，再根据三角形内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵边的垂直平分线相交于点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：90． 14. 如图，把一个底面周长为厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，切拼后表面积增加了80平方厘米，那么原来这个圆柱的高是___________厘米． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了圆柱的表面积，设圆柱的底面半径为，高为，由图可知：增加的表面积为，据此即可求解． 【详解】解：设圆柱的底面半径为，高为， 由题意得：， 解得， 由图可知：增加的表面积为， ∴； 解得：， 故答案为：20． 15. 在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是___________．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，等边三角形的判定．根据题意要证明垂直平分，推出，再根据等边三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，添加时，为等边三角形， ∵在中，平分，， ∴是中边上的中线， ∴是中边上的高（三线合一）， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 16. 如图，在3×3的正方形网格中，则_________°． 【答案】180 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． 通过观察正方形网格，找出全等的直角三角形，利用全等三角形的性质得到角的互余关系，进而计算出四个角的和． 【详解】解：∵在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：180． 17. 如图，在中，，，将绕点旋转得，点、的对应点分别是点、，线段交边于点，连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了图形旋转，等腰三角形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． 由图形旋转可得两个等腰三角形底角对应相等，分类讨论，根据三角形的内角和定理，分别可得每种情况下的度数，从而可得的度数． 【详解】解：∵将绕点旋转得，， ∴，，， ∴， ∵是等腰三角形， ∴或， 当时，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，设，则， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：或． 三、解答题（本大题共有7题，第19、20题每题4分，第21、22题每题6分，第23、24题每题8分，第25题10分，满分46分） 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、将不等式组的解集表示在数轴上，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将不等式组的解集表示在数轴上即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为， 把解集在数轴上表示如下： ． 19. 如图，已知：、相交于点，，，、是上的两点，且．求证：． 证明：， （___________）． 在和中， （___________）． （___________）． ， ． ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的判定是解题的关键．先根据平行线的性质得到，再证明即可证明，进而求解即可． 【详解】证明：， （两直线平行，内错角相等）． 在和中， ． （全等三角形的对应边相等）． ， ． ． 20. 用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以上说理过程） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 利用等腰三角形的性质和大边对大角进行分析作答． 【详解】证明：假设， （等边对等角）． 假设， （大边对大角）． 上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立． ． 21. 如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． （1）求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； （2）当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握扇形的面积两个计算公式是解题的关键． （1）设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为，根据扇形面积的两个公式，即和列关于的方程并求解即可； （2）根据扇形面积公式解：计算即可． 【小问1详解】 解：设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． 根据题意，得， 解得． 答：该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． 【小问2详解】 解：． 答：此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积为． 22. 如图，已知：在中，点分别在边上，．． （1）求证：； （2）连接，如果平分，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，而，所以，则，而，，即可根据“”证明，得，所以； （2）由平分，得，而，，即可根据“”证明，得，即可由，平分，根据等腰三角形的“三线合一”证明． 【小问1详解】 证明： ， （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 且， ． 在和中， ． （全等三角形的对应角相等）． （等角对等边）． 【小问2详解】 证明：平分， ． 在和中， ． （全等三角形的对应角相等）． 又 （等腰三角形三线合一）． 23. 如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． （1）求证：； （2）、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）由角平分线的定义得到，由垂线的性质可得．导角证明，则可利用证明． （2）由全等三角形的性质得到，证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【小问1详解】 证明：分别是的平分线， ． ， ． 又， ． 同理，． ． 在和中， ． 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）得， ∴， 在和中， ， ． ． ， ． 24. 已知小于的，点是边上的一个定点，点在边上． （1）如图1，，将沿着直线翻折得，点的对应点为点，如果，求的度数； （2）在图2中，用尺规作，使；（保留作图痕迹，简要说明作图步骤） （3）在（2）所作的图中，当时，求的面积．（用含的代数式表示） 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，则，再由平行线的性质即可得到答案； （2）作线段的垂直平分线交射线于D，以点B为圆心，的长为半径画弧交于C，连接，则即为所求； （3）过点C作于F，设线段的垂直平分线交于E，则，可证明，得到，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，作线段的垂直平分线交射线于D，以点B为圆心，的长为半径画弧交于C，连接，则即为所求； 由线段垂直平分线的性质可得，则，则， 再由可得； 【小问3详解】 解：如图所示，过点C作于F，设线段的垂直平分线交于E， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第二部分 选做题（本题满分10分） 25. 如图1，四个底面形状、大小都相同且材质相同、均匀的长方体积木对齐叠放，从上至下编号依次为①、②、③、④，积木②、③、④的高度相同，都是积木①高度的2倍．设长方形积木的初始边缘所在直线为． 【预备知识】 1．两个长方体积木组合叠在一起组成一个新的组合，当上方组合的重心在水平方向上超过下方组合的边缘时，就会倒下． 2．一个长方体积木组合的重心偏移的水平距离，等于组合中各个长方体积木重心偏移的水平距离分别乘其各自的质量，再把它们相加所得的和除以长方体积木组合的总质量所得的结果． 3．积木的质量比等于它们的高度比． 假设每块积木长为，在不倾倒的前提下按照要求推动积木． （1）如图2，推动积木①至最远， ①积木①的最远延伸长度为________； ②此时积木①②组合的重心偏移的距离为________．（结果用含的代数表示）（提示：请结合预备知识解决） （2）在（1）的基础上，保持积木①②组合的相对位置不变，先按图3中食指所指的方向推动积木①②组合至最远，再继续推动积木③，求积木①②③组合的最远延伸长度． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探究，列代数式，理解预备知识的说明是解答本题的关键． （1）①根据预备知识1列式计算即可；②根据预备知识2列式计算即可； （2）由（1）中②的计算发现规律求解即可． 【小问1详解】 解：①积木①的重心偏离积木②的重心的距离为； ②设积木①质量为m，则积木②的质量为， 则积木①②组合的重心偏移的距离为， 故答案为：①；②． 【小问2详解】 解：设积木①的质量为，根据题意可得积木②、③、④的质量为． 由（1）可得积木①②的组合的最远推动距离为 ． 根据预备知识2可得将积木①②的组合推至最远时， 积木①②③组合的重心偏移的水平距离 ． 根据预备知识可得积木组合的重心偏移的水平距离为时，积木会倒下． 所以积木③的最远推动距离为． 所以积木①②③组合的延伸长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $