2025-2026学年初升高衔接第4讲 函数的单调性+最值教案（暑假衔接）

初升高精品教案 教学课题 第4讲 函数的单调性 教学目标 1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； 2.能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． 教学 重难点 1.函数的单调性及其几何意义． 2.利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 第一节 函数的单调性 引入课题 1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ( y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 ) 随x的增大，y的值有什么变化？ 能否看出函数的最大、最小值？ 新课教学 （一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）． 思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义． 注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ． 2．函数的单调性定义 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间： 3．判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 作差f(x1)－f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． 精讲精练 例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 变式1 函数在上的单调性为 （ ） A.减函数 B.增函数. C.先增后减. D.先减后增 变式2 若函数在上是增函数，那么 （ ） A.b>0 B. b<0 C.m>0 D.m<0 例3．证明函数在（1，+∞）上为增函数 当堂检测 1、函数的单调增区间为 （ ） A. B. C. D. 2、函数，当时是增函数，当时是减函数，则等于 （ ） A.-3 B.13 C.7 D.由m而定的常数 3、若函数在上是减函数，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D.[来源:Z&xx&k.Com] 4、函数的减区间是____________________. 5、若函数在上是减函数，则的取值范围是______. 函数的单调性与最值 引入课题 1. 画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题： 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ （1） （2） （3） （4） 2. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最 值． 3.试给出最小值的定义. 新课教学 例1．利用二次函数的性质确定函数（4） 的最大值和最小值． 变式1：设a，b∈R，且a＞0，函数f(x)＝x2＋ax＋2b，g(x)＝ax＋b， 在[－1，1]上g(x)的最大值为2，则f(2)等于( )． A．4 B．8 C．10 D．16 例2.函数f(x)= x2+2(a－1)x+2在区间(－∞,4)上递减,则a的取值范围是( ) A. B. C. (－∞,5) D. 当堂检测 1已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若x1<x2,x1+x2=1－a,则( ) A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)=f(x2) C.f(x1)>f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定 2已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3．若函数内为增函数，则实数a的取值范围（ ） A． B． C． D． 4.、求函数在[2，5]上的最大值和最小值 课后作业 一、 选择题 1、下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 （ ） A. B. C. D. 2、函数的单调减区间是 （ ） A. B. C. D. 二、填空题： 3、函数，上的单调性是_____________________. 4、已知函数在上递增，那么的取值范围是________.[来源:学.科.网] 三、解答题： 5.设函数为R上的增函数，令 （1）求证：在R上为增函数 （2）若，求证 6.设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)， 求f(0)、f(1)的值； 若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集． 7.设是定义在上的单调增函数，且满足，解不等式 8.讨论函数在上的单调性。 总结： 课堂收获: 关键点： 作业评价： ( 7 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$