第12讲 幂函数的图象和性质-【暑假预科讲义】2023年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第12讲 幂函数的图象和性质 【人教A版2019】 ·模块一 幂函数的概念 ·模块二 幂函数的图象与性质 ·模块三 课后作业 模块一 幂函数的概念 1．幂函数的概念 (1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 【考点1 对幂函数的概念的理解】 【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）下列函数为幂函数的是（　  ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023·全国·高一假期作业）下列函数中不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023·全国·高一假期作业）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1.2】（2023秋·云南德宏·高一统考期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【考点2 求幂函数的函数值、解析式】 【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（    ） A． B． C．3 D． 【例2.2】（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知幂函数满足，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式2.2】（2023春·湖北宜昌·高一校联考期中）已知点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 模块二 幂函数的图象与性质 1．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 ，增函数 ，减函数 在R上为增函数 在上为增函数 ，减函数 ，增函数 定点 （1,1） 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 2．一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 3．对勾函数的图象与性质 参考幂函数的性质，探究函数的性质. (1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近. (2)函数的定义域为； (3)函数的值域为(-,-2]∪[2,+). (4)奇偶性：，函数为奇函数. (5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-,-1)，(1,+)上单调递增，在 (-1,0)，(0,1)上单调递减. 【考点1 幂函数的定义域、值域】 【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图像过点，则 的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023·全国·高一假期作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023秋·北京·高一校考期末）下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（    ） A． B． C． D． 【考点2 幂函数的图象】 【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（   ） A．①，②，③ B．①，②，③ C．①，②，③ D．①，②，③ 【例2.2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）若点在幂函数的图象上，则的图象