精品解析：四川省绵阳外国语学校2024-2025学年高二下学期期末模拟教学质量检测数学试题

绵阳外国语学校2024-2025学年下期期末模拟教学质量检测 高二年级数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.完卷时间：120分钟.满分：150分. 第Ⅰ卷（选择题 ，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知事件A，B相互独立，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用事件独立性的概率乘法公式及条件概率公式进行求解. 【详解】因为事件A，B相互独立，所以， 所以， 故选：B. 2. 某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，选手射击属于独立重复事件，属于二项分布，按照二项分布求概率即可得到答案. 【详解】设为击中目标的次数，则，从而这名射手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为．选A. 【点睛】本题考查独立重复事件发生的概率，考查二项分布公式的运用，属于基础题. 3. 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数图象判断函数的单调性，进而得出函数的极大值点个数. 【详解】依题意，记函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4， 当a＜x＜x1时，f′(x)＞0； 当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0； 当x2＜x＜x4时，f′(x)≥0； 当x4＜x＜b时，f′(x)＜0. 因此，函数f(x)分别在x＝x1，x＝x4处取得极大值. 故选：B 4. 已知是各项不相等的等差数列，若，且，，成等比数列，则数列的前10项和（ ） A. 5 B. 45 C. 55 D. 110 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d（），由等比中项的性质和等差数列的通项公式求得公差，再由等差数列的求和公式即可求得结果. 【详解】设等差数列的公差为d（）， 由题意知，，， 所以， 解得或（舍去）， 所以， 所以. 故选：C. 5. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 32 B. 64 C. 80 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【详解】因为的二项式系数之和为32， 则，解得，即二项式为， 因为展开式各项系数和为243， 令，代入可得，解得，即二项式为， 则该二项式展开式的通项为， 令，解得， 则展开式中的系数为. 故选：C. 6. 在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试.高二有名学生（百分制且卷面成绩均为整数）服从正态分布，则下列说法错误的是（ ）（人数保留整数） 参考数据：若则，. A. 年级平均成绩为82.5分 B. 成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等 C. 成绩不超过77分的人数少于150 D. 超过99分的人数约为1 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布概念判断A正确，由对称性得出B正确，根据原则和对称性判断C错误，D正确. 【详解】对于A选项：由，得出，，故平均分为82.5，A正确； 对于B选项：因为，由对称性可知成绩在95分以上（含95分） 人数和70分以下（含70分）人数相等，故B正确； 对于C选项：， 则，故C错误； 对于D选项：， 所以，则超过98分的人数约为1，故D正确. 故选：C 7. 若随机变量的分布列如下表所示，则（ ） 0 1 A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分布列的性质求，根据期望的定义求，再由期望的定义求，结合期望性质求. 【详解】由已知可得，，， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：D. 8. 为备战乒乓球赛，某体校甲､乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（ ） A. 28 B. 24 C. 32 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得甲乙两人通过训练的概率表达式，结合基本不等式及二次函数知识可得两人通过训练概率的最大值，再结合甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为满足二项分布，及二项分布期望表达式可得答案. 【详解】由题可得，甲乙两人通过训练的概率为：， 因，由基本不等式，， 当且仅当时，取等号.则 . 又注意到甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为满足二项分布，则期望为： ，结合，可得.故D正确. 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ） A. 线性回归方程至少经过点中的一个点 B. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 C. 若设直线回归方程为，则当变量增加1个单位时，平均增加2个单位 D. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用回归直线的性质即可判断选项A，C，利用线性相关系数的性质即可判断选项B，利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D. 【详解】对于A，直线由点拟合而成，可以不经过任何样本点，A错； 对于B，相关系数的绝对值越接近于，表示相关性越强，越接近于，相关性越弱，B正确； 对于C，回归直线方程为，变量x增加1个单位时，平均增加2个单位，故C正确； 对于D，样本点的中心为，所以，， 因为满足线性回归方程，所以，所以，D正确. 故选： BCD. 10. 已知数列满足：，当时，，则关于数列的说法正确的是( ) A. B. 是递增数列 C. D. 数列为周期数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式推出，说明数列是首项为，公差为1的等差数列，然后求解通项公式，即可判断选项的正误． 【详解】数列满足：，当时，， ， ∴数列是首项为，公差为1的等差数列， ， ，故C正确； ，故A正确； ∵函数在x＞－1时单调递增，故是单调递增数列，故B正确，D错误． 故选：ABC． 11. 已知函数，下列选项正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 有唯一的零点 C. 若时，恒成立，则 D. 设，为两个不相等的正数，且，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，进而求最值；由A选项知函数单调性，结合零点存性定理，即可判断选项B；构造函数，对函数进行求导，结合定点即可判断选项C；将等价变形为即，构造函数，对进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而即可判断选项D． 【详解】对于A选项：已知，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值，故选项A正确； 对于B选项：由A知，在上单调递增，又时，， 所以恒成立，即在内没有零点， 在上单调递减，又，，所以由零点存在定理可得，在内有唯一的零点，所以有唯一的零点，故B正确； 对于C选项：不妨设，函数定义域为， 可得，因为，由题意因为当时，恒成立， 即当时，恒成立，所以在单调递减， 所以此时，解得， 若，此时恒成立，所以在上单调递减， 则，符合题意， 综上，满足条件的的取值范围为，故选项C正确； 对于D选项：因为为两个不相等的正数，等价变形得， 即，所以， 由A选项知，在上单调递增，在上单调递减， 不妨设，所以， 不妨设，函数定义域为， 当时，，所以在上是单调递减， 所以，即 因为，所以， 所以，由A选项知，在上单调递减， 整理得，，即，故D错误， 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：选项A、B是导数的基础题型，关键是计算仔细；选项C的关键是构造函数，利用导数结合单调性的性质，就能求出参数范围，选项D的关键是等价变形易知恒等式，构造成题干中的函数，得到，然后借助导数进行单调性的分析可最后得出结果. 第Ⅱ卷 (非选择题，共92分) 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 已知，则的单调增区间为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】求出函数的导数，再解导函数大于0的不等式即可. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得，所以的单调增区间为. 故答案为： 13. 某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团，每个社团必须有人参加，则这5个同学中有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为__________.（用数字作答） 【答案】180 【解析】 【分析】先分组再分配，并且特殊位置优先考虑,即可得解. 【详解】根据题意，先将5个同学分成4组，为，有种分法， 再从只有1人的组中选1人参加“舞动青春”社团，有种， 其余3组同学分配到另外3个社团，有种分法， 则不同的方法数为种. 故答案为：180 14. 已知数列的前项和，，若对任意的，都有，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，则，则由得即可求出. 【详解】由题意，知，所以， 当时也满足上式，所以， 所以， 又因为对任意的，都有，所以且， 所以. 故实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查数列不等式恒成立问题，解题的关键是先由得出. 四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）若是函数的极值点，求在的切线方程； （2）若，求在区间上最大值. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据函数的导数在极值点出的函数值为零，求得的值，继而可求得点的坐标，及切线的斜率，即可求得切线方程； （2）根据函数的单调性，求出极值和端点值即可得解. 【小问1详解】 ，， ， ，， ，， 在处的切线方程为. 【小问2详解】 若，，令，得， ∴在单调递减，在单调递增， 所以为函数极小值点，且， 而，， 所以在区间上最大值为6. 16. 游乐园推出的西游主题毛绒公仔，具有造型逼真可爱、触感柔软等特点，深受学生喜爱.某调查机构在参观西游乐园的游客中随机抽取了200名学生，对是否有购买西游主题毛绒公仔的意愿进行调查，得到以下的2×2列联表： 有购买意愿 没有购买意愿 合计 男 40 女 60 合计 50 （1）完成上述2×2列联表，根据以上数据，根据小概率值的独立性检验，能否认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关？ （2）某文创商店为了宣传推广西游主题毛绒公仔产品，设计了一个游戏：在三个外观大小都一样的袋子中，分别放大小相同的1个红球和3个蓝球，2个红球和2个蓝球，以及3个红球和1个蓝球.游客可以从三个袋子中任选一个，再从中任取2个球，若取出2个红球，则可以获赠一套西游主题毛绒公仔.现有3名同学参加该游戏，表示3名同学中获赠一套毛绒公仔的人数，求随机变量的数学期望. 附：，其中． 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，没有99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关； （2）. 【解析】 【分析】（1）列出列联表，再进行独立性检验即可. （2）先求出一次游戏中取出2个红球的概率，再利用二项分布的期望公式求解即可. 【小问1详解】 由题可得2×2列联表如下： 有购买意愿 没有购买意愿 合计 男 90 40 130 女 60 10 70 合计 150 50 200 提出假设：购买西游主题毛绒公仔与学生的性别无关， 根据列联表中的数据，可以求得 ， 因为当成立时，的概率大于1%， 所以没有99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关. 【小问2详解】 一次游戏中取出2个红球的概率， 由题可知，则， 所以. 17. 已知数列中，，当时，，记． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据递推公式可得，累加法可得数列的通项公式 (2)先验证时不等式成立，再根据时，， 利用放缩法结合裂项相消可证得结论. 【小问1详解】 解：由题意得， 所以，即． 当时， ． 当时，也符合． 综上，． 【小问2详解】 证明：由（1）得， 当时； 当时，， 故当时， ． 综上，． 18. 国产动画电影《哪吒之魔童闹海》凭借其独特的艺术魅力与深刻的故事情节吸引了无数观众的目光，电影中的人物哪吒也深得观众喜爱.某公司适时推出20种款式不同的哪吒玩偶随机购活动，购买规则及概率如下：每次购买一个，且买到任意一种款式是等可能的.小王特别喜欢20种款式中的一种. （1）若20种款式的玩偶各有一个. （ⅰ）求小王第二次才买到特别喜欢的款式的概率； （ⅱ）设小王买到特别喜欢的款式所需次数为X，求X的数学期望. （2）若每种款式的玩偶数量足够多，每次玩偶被买后公司都会补充被买走的款式.为了满足客户的需求，引进了保底机制：在购买前指定一个款式，若前6次未买到指定款式，则第7次必定买到指定款式.设Y为小王买到某指定款式所需的次数，求Y的数学期望. （参考数据：，结果保留整数） 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据条件，利用全概率公式，即可求解；（ii）由题知的可能取值为，利用古典概率公式求出相应取值对应的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式，即可求解； （2）根据条件，求出的分布列，进而求出，再利用错位相减法，即可求解. 【小问1详解】 （i）设小王第次买到特别喜欢的款式为事件. 则小王第二次才买到特别喜欢的款式的概率为； （ii）的可能取值为， 则， 所以的分布列为 1 2 19 20 则； 【小问2详解】 记的可能取值为. 因为前6次（包含第6次）没有保底， 则，其中， ， 所以的分布列为 1 2 6 7 则. 记， 则， 两式相减，得 ， 所以. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若函数有2个不同的零点． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）极小值为，无极大值． （2）（i） （ii）由，可得，即证，即证， 不妨设，因为， 由（i）知，， 令，则且， 又因为，可得，即， 所以，可得，所以， 则， 所以等价于，即， 即为， 令，则， 所以在单调递增，所以， 即，可得，所以，即可得证. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，令，求得，得到的单调性，进而求得函数的单调区间，结合极值的概念，即可求解. （2）（i）由题意得，令，求得，得到在单调递增，再令，得到在有2个零点，且，进而得到，求得函数，即可求解； （ii）根据题意，转化为证明，设，得到，令，求得，得到，进而转化为，令，利用导数求得单调性，结合，即可得证. 【小问1详解】 解：当时，函数，可得， 令，则， 当时，；当，， 所以在单调递减，在单调递增， 因为时，，则，， 所以当时，；， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值为，无极大值． 【小问2详解】 解：（i）由函数， 令，因为，所以在单调递增， 令，即在有2个零点，且， 因为，所以时，，在单调递增， 此时不存在2个零点，所以， 因为时，；时，，所以在单调递减， 在单调递增，因为时，；时，， 所以，所以． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳外国语学校2024-2025学年下期期末模拟教学质量检测 高二年级数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.完卷时间：120分钟.满分：150分. 第Ⅰ卷（选择题 ，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知事件A，B相互独立，，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为 A. B. C. D. 3. 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 已知是各项不相等的等差数列，若，且，，成等比数列，则数列的前10项和（ ） A. 5 B. 45 C. 55 D. 110 5. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 32 B. 64 C. 80 D. 16 6. 在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试.高二有名学生（百分制且卷面成绩均为整数）服从正态分布，则下列说法错误的是（ ）（人数保留整数） 参考数据：若则，. A. 年级平均成绩为82.5分 B. 成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等 C. 成绩不超过77分的人数少于150 D. 超过99分的人数约为1 7. 若随机变量的分布列如下表所示，则（ ） 0 1 A. B. 2 C. D. 8. 为备战乒乓球赛，某体校甲､乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（ ） A. 28 B. 24 C. 32 D. 27 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ） A. 线性回归方程至少经过点中的一个点 B. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 C. 若设直线回归方程为，则当变量增加1个单位时，平均增加2个单位 D. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是. 10. 已知数列满足：，当时，，则关于数列的说法正确的是( ) A. B. 是递增数列 C. D. 数列为周期数列 11. 已知函数，下列选项正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 有唯一的零点 C. 若时，恒成立，则 D. 设，为两个不相等的正数，且，则 第Ⅱ卷 (非选择题，共92分) 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 已知，则的单调增区间为_______． 13. 某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团，每个社团必须有人参加，则这5个同学中有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为__________.（用数字作答） 14. 已知数列的前项和，，若对任意的，都有，则实数的取值范围为____________． 四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）若是函数的极值点，求在的切线方程； （2）若，求在区间上最大值. 16. 游乐园推出的西游主题毛绒公仔，具有造型逼真可爱、触感柔软等特点，深受学生喜爱.某调查机构在参观西游乐园的游客中随机抽取了200名学生，对是否有购买西游主题毛绒公仔的意愿进行调查，得到以下的2×2列联表： 有购买意愿 没有购买意愿 合计 男 40 女 60 合计 50 （1）完成上述2×2列联表，根据以上数据，根据小概率值的独立性检验，能否认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关？ （2）某文创商店为了宣传推广西游主题毛绒公仔产品，设计了一个游戏：在三个外观大小都一样的袋子中，分别放大小相同的1个红球和3个蓝球，2个红球和2个蓝球，以及3个红球和1个蓝球.游客可以从三个袋子中任选一个，再从中任取2个球，若取出2个红球，则可以获赠一套西游主题毛绒公仔.现有3名同学参加该游戏，表示3名同学中获赠一套毛绒公仔的人数，求随机变量的数学期望. 附：，其中． 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17. 已知数列中，，当时，，记． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，证明：． 18. 国产动画电影《哪吒之魔童闹海》凭借其独特的艺术魅力与深刻的故事情节吸引了无数观众的目光，电影中的人物哪吒也深得观众喜爱.某公司适时推出20种款式不同的哪吒玩偶随机购活动，购买规则及概率如下：每次购买一个，且买到任意一种款式是等可能的.小王特别喜欢20种款式中的一种. （1）若20种款式的玩偶各有一个. （ⅰ）求小王第二次才买到特别喜欢的款式的概率； （ⅱ）设小王买到特别喜欢的款式所需次数为X，求X的数学期望. （2）若每种款式的玩偶数量足够多，每次玩偶被买后公司都会补充被买走的款式.为了满足客户的需求，引进了保底机制：在购买前指定一个款式，若前6次未买到指定款式，则第7次必定买到指定款式.设Y为小王买到某指定款式所需的次数，求Y的数学期望. （参考数据：，结果保留整数） 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若函数有2个不同的零点． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $