精品解析：广东省韶关市翁源县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年广东省韶关市翁源县八年级（下）期中数学试卷 一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列式子是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案． 【详解】解：A、原式=，故A不是最简二次根式； B、原式=，故B不是最简二次根式； C、是最简二次根式，故C正确； D、原式=4，故D不是最简二次根式； 故选C． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 2. 要使在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”解答即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．掌握二次根式被开方数为非负数是解题关键． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案． 【详解】解：A、，无法合并，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 顺次连接任意四边形各边的中点所得四边形是平行四边形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 两组邻边分别垂直的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊平行形的判定及中点四边形的性质逐个判断即可． 【详解】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以是假命题； B、顺次连接任意四边形各边的中点所得四边形是平行四边形正确，所以B是真命题； C、对角线相等的平行四边形是矩形，所以C是假命题； D、每组邻边分别垂直的四边形是矩形，所以D是假命题． 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的判定及中点四边形的性质，掌握各个判定的关键词是解题关键． 5. 在平行四边形中，，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形的对角相等求出的度数，然后利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质等知识，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键． 6. 已知菱形ABCD的对角线AC＝2，BD＝4，则菱形ABCD的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】解：∵菱形 ABCD 的对角线 AC=2， BD=4 ， ∴菱形的面积 =×AC×BD=×2×4=4． 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟记菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 7. 如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半在作弧交数轴的正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ） A. B. -1 C. +1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出AC，根据AC=AM，求出OM，由此即可解决问题， 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵AB＝3，AD＝BC＝1， ∴ ∴OM＝﹣1， ∴点M表示点数为﹣1． 故选B. 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边边长的平方. 8. 图中的两个图形都是由边长为1的小正方形拼成的，甲、乙两名同学将它们分别沿着两条垂直的虚线（乙：，分别是小正方形一边上的中点）剪开，准备拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ） A. 甲、乙都可以 B. 甲、乙都不可以 C. 甲不可以、乙可以 D. 甲可以、乙不可以 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用图形的剪拼方法结合正方形的性质分别分析得出答案． 【详解】解：∵原来图形的面积为5， ∴拼成与原来面积相等的正方形边长为， 甲图可以拼成，如图所示： 乙图可以拼成，如图所示： 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形的剪拼以及正方形的性质，正确应用正方形的性质是解题的关键． 9. 如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上点F处，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理．弄清题目中各线段间的关系是解题的关键． 由轴对称的性质可得：，则，；在中，由勾股定理可得，则；设，则，在中，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：∵是由沿直线翻折得到， ∴， 则，． ∵四边形矩形， ∴，，． 在中，， ∴． 设，则，， 在中， ∵， ∴， 解得：． 则． 故选：B． 10. 如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F分别在BC、CD上，BE=CF，AE、BF分别交BD、AC于M、N，连结OE、OF，下列结论：①AE=BF ②AE⊥BF；③OM=ON；④CE+CF=；其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ①② C. ①②③④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质和SAS可证明△ABE≌△BCF，然后根据全等三角形的性质即可判断①；根据全等三角形的性质可得∠FBC＝∠BAE，进而可得∠BAE+∠ABF＝90°，于是可判断②；根据正方形的性质和ASA可证明△AOM≌△BON，然后根据全等三角形的性质即可判断③；根据正方形的性质可得△BOC是等腰直角三角形，进而可得，再结合已知条件和线段的和差即可判断④，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°， 在△ABE和△BCF中， ∵AB=AC，∠ABE=∠BCF，BE=CF， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴AE＝BF；故①正确； 由①知：△ABE≌△BCF， ∴∠FBC＝∠BAE， ∴∠FBC+∠ABF＝∠BAE+∠ABF＝90°， ∴AE⊥BF，故②正确； ∵四边形ABCD是正方形， ∴AO＝BO，∠BAE＝∠OBC＝45°， ∵∠FBC＝∠BAE， ∴∠OAM＝∠OBN， 在△AOM和△BON中， ∵∠AOB＝∠BON＝90°，AO=BO，∠OAM＝∠OBN， ∴△AOM≌△BON（ASA）， ∴OM＝ON；故③正确； ∵BE=CF， ∴CE+CF= CE+BE=BC， 又∵OB=OC，∠BOC=90°， ∴， ∴CE+CF=；故④正确； 综上，正确的结论是①②③④． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性以及等腰直角三角形的性质等知识，属于常考题型，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（共5个小题，每小题4分，满分20分） 11. 化简：___________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：． 12. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点．添加一个条件：________，则可判定四边形是矩形． 【答案】（或）（答案不唯一，正确即可） 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定定理是解答此题的关键． 根据矩形的判定定理求解即可． 【详解】解：若使变为矩形，可添加的条件是： ；（对角线相等的平行四边形是矩形） 等．（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 故答案为：或． 13. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、 的面积依次为5、6、20，则正方形的面积是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据勾股定理的几何意义：，解得即可． 【详解】解：由题意：，， 正方形、、的面积依次为5、6、20， ， ． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 14. 某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高 米的市民正对门缓慢走到离门米的感应器地方时（即米），则人头顶离测温仪的距离等于________ 米． 【答案】1 【解析】 【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：过点D作，如图所示， ∵，，， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：米， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了勾股定理应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度． 15. 如图，菱形ABCD的周长为16 cm，∠ABC＝60°，E是AB的中点，点P是BD上的一动点，那么AP+PE的最小值等于_____cm． 【答案】2 【解析】 【分析】由于A、C两点关于BD对称，P在BD上，则连接AC，EC，EC与BD的交点即为点P，此时PA+PE的值最小，再根据线段垂直平分线的性质，即可求解． 【详解】解：如图，∵菱形ABCD的周长为16， ∴AB=4， 连接EC，与BD交于点P，连接AC，此时PA+PE=CP+EP=CE，即PA+PE的最小值等于CE的长． ∵∠ABC=60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AC=AB=4， ∵E是AB中点， ∴∠ACE=30°，CE⊥AB， ∴CE=， ∴AP+EP=CE=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定，根据菱形的对称性确定点P的位置是解题的关键． 三、解答题（一）（共4个小题，每小题6分，满分24分） 16. 计算： 【答案】-6. 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则进行计算即可. 【详解】解：原式= = =-6. 故答案为-6. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算. 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先通分括号内，再把除法化为乘法，然后化简，得，再把代入，即可作答． 【详解】解： 当时，原式． 18. 如图，四边形是平行四边形，平分交于点，平分交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请添加一个条件，使四边形为菱形． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质、菱形的判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，，，，，证出，由即可得出，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可． （2）根据菱形的判定定理，添加即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，，，，， 平分，平分， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：添加 由（1）知：四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 19. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）在图①中，以格点为端点画一条长度为的线段MN； （2）在图②中，A、B、C是格点，求∠ABC的度数． 【答案】（1）见解析；（2）45° 【解析】 【分析】（1）根据网格和勾股定理即可在图①中，以格点为端点画一条长度为的线段MN； （2）连接AC，根据勾股定理及逆定理可得三角形ABC是等腰直角三角形，进而可求∠ABC的度数． 【详解】解：（1）如图 根据勾股定理，得 MN＝＝＝； （2）连接AC ∵，，， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°． 【点睛】此题考查的是勾股定理和网格问题，掌握勾股定理及逆定理是解决此题的关键． 四、解答题（二）（共3个小题，每小题8分，满分24分） 20. 如图，吊车是一种多功能的起重机械，它常用于搬运重型机械、物品等大型物体．现有一个大型物体要用吊车放到楼房的顶层去，吊车的吊臂需要伸长到米（米），吊车到楼房的水平距离为7米（米），吊车车身的高为3米（米）． （1）求楼房的高度； （2）由于楼房附近在施工，吊车不能太靠近楼房，吊车需要向后退3米到的位置（米），如果这辆吊车的吊臂最长能伸长到米，那么这辆吊车能否完成此次任务？请说明理由．（图中的点都在同一平面内，四边形和四边形均为平行四边形，且A、C、E三点共线，G、D、F三点共线，，） 【答案】（1）米 （2）这辆吊车能完成此次任务，见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握矩形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． （1）由题意知，四边形是矩形，则，由勾股定理得，，根据，计算求解即可； （2）由题意知，，四边形是矩形，则，，由勾股定理得，，由，进行判断作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，四边形是平行四边形， ， 则四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，米， ∴（米）， ∴楼房的高度为米； 【小问2详解】 解：这辆吊车能完成此次任务，理由如下： 同（1）知，四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴这辆吊车能完成此次任务． 21. 如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F． （1）求证：BC＝DF； （2）连接CD、AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）当BC＝AC时，四边形ADCF是矩形，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）用平行四边形的定义判定； （2）当BC＝AC时，四边形ADCF是矩形．用DE是三角形中位线证明BD=AD，用四边形DBCF是平行四边形得到CF∥BD，CF=BD，得到AD=CF，推出四边形ADCF是平行四边形，根据AC=BC，BC=DF，得到AC=DF，从而平行四边形ADCF是矩形． 【小问1详解】 （1）∵DE是△ABC的中位线， ∴2DE＝BC，DE∥BC， ∵CF∥AB， ∴四边形DBCF是平行四边形， ∴BC=DF； 【小问2详解】 （2）当BC＝AC时，四边形ADCF是矩形，理由如下： ∵DE是△ABC的中位线， ∴DB＝AD， ∵四边形DBCF是平行四边形， ∴DB＝CF， ∴AD＝CF， ∵AB∥CF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵BC＝AC，BC=CF， ∴AC=DF， ∴平行四边形ADCF是矩形． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线，平行四边形，熟练掌上三角形中位线性质，平行四边形的判定和性质，是解决此类问题的关键． 22. [阅读]大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 整数部分为2，小数部分为． 解答下列问题： （1）的小数部分是______，的整数部分是______； （2）的小数部分是______； （3）已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查阅读理解，涉及无理数的估算、无理数整数部分、无理数小数部分的表示方法、算术平方根、立方根及代数式求值等知识，读懂题意，理解无理数整数部分与小数部分的表示方法是解决问题的关键． （1）阅读材料，理解题中解法，根据无理数整数部分与小数部分的表示方法，同理即可得到答案； （2）阅读材料，理解题中解法，根据无理数整数部分与小数部分的表示方法，同理即可得到答案； （3）阅读材料，理解题中解法，根据无理数整数部分与小数部分的表示方法，求出的值，代入代数式求解，分母有理化即可得到答案． 【小问1详解】 解：，即， 的整数部分为，小教部分为； ，即， 的整数部分为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，即， 的整数部分为，小数部分为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：，其中是整数，且， 是的整数部分；是的小数部分； ，即， ，则的整数部分，的小数部分是， ． 五、解答题（三）（共2个小题，第23题10分，第24题12分，满分22分） 23. 背景知识：宽与长的比等于（约为0.618）的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）如图，经测量，帕特农神庙的面宽约为31米，那么它的高度大约是______米．（结果取整数） 实验操作：折一个黄金矩形 第一步，在矩形纸片一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形（如图4）． 问题思考： （2）图4中是否还存在其它黄金矩形，请判断并说明理由； （3）以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，若，则这个矩形的面积是______（直接写出结果）． 【答案】（1）19；（2）存在，见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，掌握黄金矩形的定义，是解题的关键： （1）直接根据黄金矩形的定义，列式计算即可； （2）设，根据题意，易得：，根据黄金分割求出，进而求出，求出的值，即可得出结论； （3）分为黄金矩形的长和黄金矩形的宽，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得：帕特农神庙的高度与面宽的比约为， ∴帕特农神庙的高度； 故答案为：19； （2）存在，理由如下： 设，则：， 由折叠可知 ， ∵矩形就是黄金矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形为黄金矩形； （3）∵，则：， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当为黄金矩形的长时，则宽为， 则矩形的面积为：； 当为黄金矩形的宽时，则长为， 则矩形的面积为：； 综上：矩形的面积为或． 24. 综合与实践 在学习完特殊的平行四边形之后，老师在数学活动课上展示了下面一道与平行四边形有关的折叠题： 【问题情境】 如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点C与点A重合，点D落在点的位置，连接，，，线段交于点O． 【独立思考】 （1） 三角形（按边分类）； 【实践探究】 （2）请判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图2，矩形纸片，，，若点M为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点B的对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）等腰 （2）四边形是菱形，理由见详解 （3）的长为或15 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质可得，由此可得，因此是等腰三角形． （2）根据矩形，折叠的性质，菱形的判定方法即可求证； （3）分两种情况讨论：①当M点在线段上时，②当M点在线段的延长线上时． ①当M点在线段上时，易得四边形是矩形，则，．由折叠的性质可得，，则可得，．设，则，在中，根据勾股定理列方程求出x的值即可； ②当M点在线段的延长线上时，则，．由折叠的性质可得，，则可得，．设，则，在中，根据勾股定理列方程求出x的值即可； 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质可知， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰 （2）四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， 即， ∴， 根据折叠的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （3）设边的垂直平分线分别交、于E、F点 ①如图，当M点在线段上时， ∵四边形是矩形，垂直平分， ∴四边形是矩形， ∴，，，， 根据折叠的性质可知 ，， ， ， 设，则， 在中， ∴， 解得， ； ②如图：当M点在线段的延长线上时， ∵，，，， 根据折叠的性质可知 ， ， ， 设，则， 在中， ∴， 解得， ， 综上，的长为或15． 【点睛】本题主要考查矩形的折叠问题，掌握折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定方法，勾股定理等知识的综合运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年广东省韶关市翁源县八年级（下）期中数学试卷 一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列式子是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 要使在实数范围内有意义，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题是真命题是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 顺次连接任意四边形各边的中点所得四边形是平行四边形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 两组邻边分别垂直的四边形是矩形 5. 在平行四边形中，，则的度数（ ） A B. C. D. 6. 已知菱形ABCD的对角线AC＝2，BD＝4，则菱形ABCD的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 7. 如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半在作弧交数轴的正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ） A. B. -1 C. +1 D. 2 8. 图中的两个图形都是由边长为1的小正方形拼成的，甲、乙两名同学将它们分别沿着两条垂直的虚线（乙：，分别是小正方形一边上的中点）剪开，准备拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ） A. 甲、乙都可以 B. 甲、乙都不可以 C. 甲不可以、乙可以 D. 甲可以、乙不可以 9. 如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上点F处，则长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F分别在BC、CD上，BE=CF，AE、BF分别交BD、AC于M、N，连结OE、OF，下列结论：①AE=BF ②AE⊥BF；③OM=ON；④CE+CF=；其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ①② C. ①②③④ D. ①②③ 二、填空题（共5个小题，每小题4分，满分20分） 11. 化简：___________________ ． 12. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点．添加一个条件：________，则可判定四边形是矩形． 13. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、 的面积依次为5、6、20，则正方形的面积是_______． 14. 某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高 米的市民正对门缓慢走到离门米的感应器地方时（即米），则人头顶离测温仪的距离等于________ 米． 15. 如图，菱形ABCD的周长为16 cm，∠ABC＝60°，E是AB的中点，点P是BD上的一动点，那么AP+PE的最小值等于_____cm． 三、解答题（一）（共4个小题，每小题6分，满分24分） 16. 计算： 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，四边形是平行四边形，平分交于点，平分交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请添加一个条件，使四边形为菱形． 19. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）在图①中，以格点为端点画一条长度为的线段MN； （2）在图②中，A、B、C是格点，求∠ABC的度数． 四、解答题（二）（共3个小题，每小题8分，满分24分） 20. 如图，吊车是一种多功能的起重机械，它常用于搬运重型机械、物品等大型物体．现有一个大型物体要用吊车放到楼房的顶层去，吊车的吊臂需要伸长到米（米），吊车到楼房的水平距离为7米（米），吊车车身的高为3米（米）． （1）求楼房的高度； （2）由于楼房附近在施工，吊车不能太靠近楼房，吊车需要向后退3米到的位置（米），如果这辆吊车的吊臂最长能伸长到米，那么这辆吊车能否完成此次任务？请说明理由．（图中的点都在同一平面内，四边形和四边形均为平行四边形，且A、C、E三点共线，G、D、F三点共线，，） 21. 如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F． （1）求证：BC＝DF； （2）连接CD、AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，请说明理由． 22. [阅读]大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 解答下列问题： （1）小数部分是______，的整数部分是______； （2）的小数部分是______； （3）已知，其中是整数，且，求的值． 五、解答题（三）（共2个小题，第23题10分，第24题12分，满分22分） 23. 背景知识：宽与长的比等于（约为0.618）的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）如图，经测量，帕特农神庙的面宽约为31米，那么它的高度大约是______米．（结果取整数） 实验操作：折一个黄金矩形 第一步，在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形（如图4）． 问题思考： （2）图4中是否还存在其它黄金矩形，请判断并说明理由； （3）以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，若，则这个矩形的面积是______（直接写出结果）． 24. 综合与实践 在学习完特殊的平行四边形之后，老师在数学活动课上展示了下面一道与平行四边形有关的折叠题： 【问题情境】 如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点C与点A重合，点D落在点的位置，连接，，，线段交于点O． 【独立思考】 （1）是 三角形（按边分类）； 【实践探究】 （2）请判断四边形的形状，并说明理由； 拓展延伸】 （3）如图2，矩形纸片，，，若点M为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点B的对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$